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拉萨市第三高级中学2015年10月高三第三次月考理科数学试卷时间120分钟总分150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22题~第24题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.注意事项
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答,在本试题卷上作答无效.
3.考试结束后,考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,,则()(A)(B)(C)(D)
2.设复数(是虚数单位),则=()(A)(B)(C)(D)
3.已知=1=,且,则向量与向量的夹角为()(A)(B)(C)(D)
4.已知△中,内角A,B,C的对边分别为若,,则△的面积为()(A)(B)1(C)(D)
25.已知,,则函数为增函数的概率是()(A)(B)(C)(D)
6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的S为,则判断框中填写的内容可以是(A)(B)(C)(D)
7.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()(A)(B)(C)(D)
8.已知直线与抛物线交于两点,点,若,则实数()(A)(B)(C)(D)
9.对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数
①对任意的,恒有;
②当时,总有成立,则下列函数不是函数的是()(A)(B)(C)(D)
10.在平面直角坐标系中,若满足,则当取得最大值时,点的坐标是()(A)(B)(C)(D)
11.已知双曲线与函数的图象交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点,则双曲线的离心率是()(A)(B)(C)(D)
12.若对,不等式恒成立,则实数的最大值是()(A)(B)1(C)2(D)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二.填空题:(本大题共4小题每小题5分共20分把答案填在答卷纸的相应位置上)
13.函数的单调递增区间是__________.
14.的展开式中常数项为.
15.已知定义在上的偶函数在单调递增,且,则不等式的解集是.
16.同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为a,球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、,则的值是.三.解答题本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.本小题满分12分已知数列中,,其前项的和为,且满足.Ⅰ求证数列是等差数列;Ⅱ证明当时,.
18.(本小题满分12分)已知△ABC的角A,B,C的所对的边分别为abc且acosC+=bI求角A的大小;IIa=△ABC的面积为,求bc的长
19.本小题满分12分 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977Ⅰ从统计数据看,甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说明)?Ⅱ若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛,每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作和,试求和的分布列和数学期望.
20.(本小题满分12分)已知椭圆:的上顶点为,且离心率为. Ⅰ求椭圆的方程; (Ⅱ)证明过椭圆:上一点的切线方程为; (Ⅲ)从圆上一点向椭圆引两条切线,切点分别为当直线分别与轴、轴交于、两点时,求的最小值.
21.(本小题满分12分)若定义在上的函数满足,,R.(Ⅰ)求函数解析式;(Ⅱ)求函数单调区间;(Ⅲ)若、、满足,则称比更接近.当且时,试比较和哪个更接近,并说明理由.请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲 如图所示,为圆的直径,,为圆的切线,,为切点. (Ⅰ)求证; (Ⅱ)若圆的半径为2,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程已知在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).(Ⅰ)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程;(Ⅱ)已知,圆上任意一点,求△面积的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设函数.(Ⅰ)求不等式的解集;(Ⅱ)若,恒成立,求实数的取值范围.拉萨市第三高级中学2015年10月高三第三次月考数学(理科)参考答案与评分标准一.选择题
(1)C;
(2)A;
(3)B;
(4)C;5B;
(6)C;
(7)D;
(8)B;
(9)D;
(10)D;(11A;
(12)D.二.填空题
(13);
(14);15;
(16).三.解答题
(17)解(Ⅰ)当时,,…………………2分.,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列.………………………………6分(Ⅱ)由
(1)可知,,.………8分当时,.……10分从而.…12分
(18)解
(1)由acosC+=b和正弦定理得sinAcosC+sinC=sinB又sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC∴sinC=cosAsinC∵sinC≠0∴cosA=∵0<A<,∴A=…………………………………………(6分)
(2)的面积S=bcsinA=,故bc=8而故b=c=………………(12分)
(19)解Ⅰ两个班数据的平均值都为7,……………………1分甲班的方差,…………3分乙班的方差,…………5分因为,甲班的方差较小,所以甲班的成绩比较稳定.………………6分Ⅱ可能取012,,,所以分布列为012P数学期望.…………………………………9分可能取012,,,所以分布列为012P数学期望.…………………………12分
(20)解Ⅰ,,,椭圆方程为. ………………………………………2分(Ⅱ)椭圆:,当时,,故,当时,. ……………4分切线方程为,,. …………………………6分同理可证,时,切线方程也为.当时,切线方程为满足.综上,过椭圆上一点的切线方程为. ……………………7分(其它解法可酌情给分)(Ⅲ)设点为圆上一点,是椭圆的切线,切点,过点的椭圆的切线为,过点的椭圆的切线为.两切线都过点,.切点弦所在直线方程为.……………………9分,,.当且仅当,即时取等,,的最小值为.……………………………………12分
(21)(本小题满分12分)解(Ⅰ),所以,即.又,所以,所以.……………………………………4分(Ⅱ),.……………5分,
①当时,,函数在上单调递增;.……………6分
②当时,由得,∴时,,单调递减;时,,单调递增.综上,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为..……………8分(Ⅲ)解设,,在上为减函数,又,当时,,当时,.,,在上为增函数,又,时,,在上为增函数,.
①当时,,设,则,在上为减函数,,,,,比+更接近.
②当时,,设,则,,在时为减函数,,在时为减函数,,,比+更接近.综上在时,比+更接近.……………………………12分22解1连接是圆的两条切线,,又为圆的直径,,即得证,……5分2△∽△,.…………………………………………………………10分23解
(1)圆的参数方程为(为参数)所以普通方程为…………………………………………2分圆的极坐标方程…………………5分
(2)点到直线的距离为………………………6分………………………7分△的面积………………………9分所以△面积的最大值为………………………10分24解
(1),………………………2分当当当综上所述.………………………5分
(2)易得,若,恒成立,则只需,综上所述.………………………10分。