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河北定州中学2016-2017学年第一学期高三第3次月考数学试卷
一、选择题1.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.12.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种3.下列四个函数,在处取得极值的函数是()
①②③④A.
①②B.
②③C.
③④D.
①③4.过两点A(1,),B(4,)的直线的倾斜角为()A.B.C.D.5.有一个人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是()A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶6.下列说法中正确的是()(A)“”是“函数是奇函数”的充要条件(B)若,则(C)若为假命题,则,均为假命题(D)命题“若,则”的否命题是“若,则”7.若复数(i为虚数单位是纯虚数则()A.B.C.D.8.已知函数,且,则=()A.B.C.D.9.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则()A.6B.3C.D.10.关于x的方程,在上有解则实数a的取值范围是()A.B.C.D.11.已知是内的一点,且若和的面积分别为,则的最小值是()A.20B.18C.16D.912.函数的单调减区间是()A.B.C.D.
二、填空题13.等比数列中,,则等于.14.给出下列说法
①幂函数的图象一定不过第四象限;
②奇函数图象一定过坐标原点;
③已知函数的定义域为,则函数的定义域为;
④定义在R上的函数对任意两个不等实数a、b,总有成立,则在R上是增函数;
⑤的单调减区间是;正确的有.15.在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知两点,,则的面积为.16.已知正三棱锥点都在半径为的球面上若两两互相垂直则球心到截面的距离为________.
三、解答题17.已知直线经过两点A(2,1),B(6,3)
(1)求直线的方程
(2)圆C的圆心在直线上,并且与轴相切于点(2,0),求圆C的方程
(3)若过B点向
(2)中圆C引切线BS、BT,S、T分别是切点,求ST直线的方程.18.如图,是⊙的切线,是⊙的割线,,连接,分别于⊙交于点,点.(Ⅰ)求证∽;(Ⅱ)求证.19.在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序(序号为12……7),求
(1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.20.如图,在地正西方向的处和正东方向的处各有一条正北方向的公路和,现计划在和路边各维修一个物流中心和,为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路和,设.
(1)为减少对周边区域的影响,试确定的位置,使和的面积之和最小;
(2)为节省建设成本,试确定的位置,使的值最小.21.设命题p方程表示双曲线;命题q∃x0∈R,x02+2mx0+2﹣m=01若命题p为真命题,求实数m的取值范围;2若命题q为真命题,求实数m的取值范围;3求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围.22.
(1)已知是不相等正常数,正数满足,求证,并指出等号成立的条件;
(2)求函数的最小值,指出取最小值时的值23.设数列的前项和为,且首项.
(1)求证是等比数列;
(2)若为递增数列,求的取值范围.24.在平面直角坐标系中,为坐标原点,以为圆心的圆与直线相切.(Ⅰ)求圆的方程;(Ⅱ)若直线与圆交于,两点,在圆上是否存在一点,使得,若存在,求出此时直线的斜率;若不存在,说明理由.参考答案BCBACDDAAC11.B12.D13.8014.
①④15.16.17.
(1)
(2)
(3)
(1)由题可知直线l经过点
(21)
(63),由两点式可得直线l的方程为,整理得
(2)依题意设圆C的圆心的方程为圆C与轴相切于点,则,且半径,∴圆C的方程为
(3)由于,则四点四点共圆,这个圆以BC为直径其方程为,为两圆的公共弦,把两圆方程化为一般方程和,两式相减得公共弦方程18.(Ⅰ)由切割线定理,,又,故,由此∽;(Ⅱ)由四点共圆得,由(Ⅰ),则,由内错角相等,两直线平行,可得.试题解析证明(Ⅰ)据题意得AB²=AD·AE.∵AC=AB,∴AC²=AD·AE,即.又∵∠CAD=∠EAC,∴△ADC∽△ACE.(Ⅱ)∵F,G,E,D四点共圆,∴∠CFG=∠AEC.又∵∠ACF=∠AEC,∴∠CFG=∠ACF.∴FG∥AC.19.
(1)
(2)
(1)设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得.
(2)的可能取值为…………11分从而的分布列为012345所以.20.解
(1)在中,由题意可知,则,所以,同理在中,,则,所以,故,与的面积之和为,,当且仅当,即时取等号,故当时,和的面积之和最小.
(2)在中,由题意可知,则.同理在中,,则.令.则,得,所以,取得最小值,此时,,21.解(Ⅰ)当命题p为真命题时,方程表示双曲线,∴(1﹣2m)(m+2)<0,解得m<﹣2,或m>,∴实数m的取值范围是{m|m<﹣2,或m>};(Ⅱ)当命题q为真命题时,方程x02+2mx0+2﹣m=0有解,∴△=4m2﹣4(2﹣m)≥0,解得m≤﹣2,或m≥1;∴实数m的取值范围是{m|m≤﹣2,或m≥1};(Ⅲ)当“p∨q”为假命题时,p,q都是假命题,∴,解得﹣2<m≤;∴m的取值范围为(﹣2,].22.解
(1),23.解
(1),,数列是公比为2,首项为的等比数列;
(2)由
(1)得,时,为递增数列,时,时,,的取值范围是.24.(Ⅰ);(Ⅱ)存在,.(Ⅰ)设圆的半径为,因为直线与圆相切,所以所以圆的方程为.(Ⅱ)方法一因为直线与圆相交于,两点,所以,所以或,假设存在点,使得,因为,在圆上,且,而,由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形,所以与互相垂直且平分所以原点到直线的距离为即,解得,,经验证满足条件所以存在点,使得.方法二假设存在点,使得.记与交于点因为,在圆上,且,由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形,因为直线斜率为,显然,所以直线方程为由,解得,所以点坐标为因为点在圆上,所以,解得即,经验证满足条件所以存在点,使得.。