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河北省故城县高级中学2017届高三数学上学期第二次月考试题理时间120分钟 满分150分
2016.11第Ⅰ卷选择题,共60分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知等差数列{an}中,a2=5,a4=11,则前10项和S10= A.55 B.155C.350D.
4002.已知a=42,b=x3,且a∥b,则x等于 A.9B.6C.5D.33.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是 A.18B.6C.2D.
34.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是 A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行
5.数列{-1n2n-1}的前2016项和S2016等于 A.-2016B.2016C.-2015D.
20156.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 A.B.C.5D.
67.如果实数x,y满足,目标函数z=kx+y的最大值为12,最小值为3,那么实数k的值为 A.2B.-2C.D.不存在
8.某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A.4B.2C.D.
89.已知向量a=cosθ,sinθ,向量b=,-1,则|2a-b|的最大值,最小值分别是 A.4,0B.44C.160D.4010.数列an=,其前n项之和为,则在平面直角坐标系中,直线n+1x+y+n=0在y轴上的截距为 A.-10B.-9C.10D.
911.在平面四边形ABCD中,AD=AB=,CD=CB=,且AD⊥AB,现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD,则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中,直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为 A.1B.C.D.
12.已知整数的数对列如下11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,24,…则第60个数对是 A.38B.47C.48D.57第Ⅱ卷非选择题,共90分
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.设0θ,向量a=sin2θ,cosθ,b=1,-cosθ,若a·b=0,则tanθ=________.
14.当实数x,y满足不等式组时,恒有ax+y≤3成立,则实数a的取值范围是________.
15.已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为________.
16.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an+2=3an+1-2an,则{an}的前n项和Sn=________.
三、解答题本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤17.本小题满分10分已知不等式mx2-2x-m+1<
0.1若对于所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围;2设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.18.本小题满分12分已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心,如图所示.1连接BC1,求异面直线AA1与BC1所成角的大小;2连接A1C,A1B,求三棱锥C1-BCA1的体积.19.本小题满分12分已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an-1n∈N*.1求数列{an}的通项公式;2在数列{bn}中,b1=5,bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式.20.本小题满分12分设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2a+c··+c··=
0.1求角B的大小;2若b=
2.试求·的最小值.21.本小题满分12分如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PCD.1求证AG∥平面PEC;2求AE的长;3求二面角E-PC-A的正弦值.22.本小题满分12分祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年,每年年初M的价值比上年年初减少10万元,从第七年开始,每年年初M的价值为上年年初的75%.1求第n年年初M的价值an的表达式;2设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则需在第n年年初对M更新,证明必须在第九年年初对M更新.高三数学(理)月考参考答案
1.答案 B
2.解析∵a∥b,∴4×3-2x=0,解得x=6,故选B.答案B
3.解析法一3a+3b≥2=2=
6.当且仅当a=b=1时取等号,故3a+3b的最小值是
6.法二由a+b=2,得b=2-a,∴3a+3b=3a+32-a=3a+≥2=
6.当且仅当3a=,即a=1时等号成立.答案B
4.答案 D解析 连接C1D,BD.∵N是D1C的中点,∴N是C1D的中点,∴MN∥BD.又∵CC1⊥BD,∴CC1⊥MN,故A,C正确.∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN⊥AC,故B正确,故选D.
5.答案 B解析 S2016=-1+3-5+7+…-2×2015-1+2×2016-1==
2016.故选B.
6.答案 C解析 ∵x+3y=5xy,∴+=
1.∴3x+4y=3x+4y×1=3x+4y+=+++≥+2=5,当且仅当=,即x=1,y=时等号成立.
7.解析如图为所对应的平面区域,由直线方程联立方程组易得A1,,B11,C52,由于3x+5y-25=0在y轴上的截距为5,故目标函数z=kx+y的斜率-k<-,即k>.将k=2代入,过B的截距z=2×1+1=
3.故C的截距z=2×5+2=
12.符合题意.故k=
2.故应选A.答案A
8.答案 D解析 由三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为
2.HD=3,BF=1,将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,所以该几何体的体积为×2×2×4=
8.
9.解析∵|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=8-4cosθ-sinθ=8-8cosθ+,易知0≤8-8cosθ+≤16,∴|2a-b|的最大值和最小值分别为4和
0.答案D
10.解析设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=a1+a2+…+an,又∵an=-,∴Sn=1-+-+…+-=,又∵=,∴n=9,∴原题变为求10x+y+9=0在y轴上的截距,令x=0,得y=-9,∴直线在y轴上的截距为-
9.故选B.
11.答案 C解析 如图所示,OA=1,OC=
2.当A′C与圆相切时,直线A′C与平面BCD所成的角最大,最大角为30°,其正切值为.故选C.
12.答案 D解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个,和为3的数对有2个,和为4的数对有3个,和为5的数对有4个,依此类推和为n+1的数对有n个,多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的,由=60⇒nn+1=120,n∈Z,n=10时,=55个数对,还差5个数对,且这5个数对的横、纵坐标之和为12,它们依次是111,210,39,48,57,∴第60个数对是57.
13.答案 解析 利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解.因为a·b=0,所以sin2θ-cos2θ=02sinθcosθ=cos2θ.因为0θ,所以cosθ0,得2sinθ=cosθ,tanθ=.
14.答案 -∞,3]解析 画出可行域,如图中阴影部分所示.要使ax+y≤3恒成立,即可行域必须在直线ax+y-3=0的下方,故分三种情况进行讨论
①当a0且≥1,即0a≤3时,恒有ax+y≤3成立;
②当a=0时,y≤3成立;
③当a0时,恒有ax+y≤3成立.综上可知,a≤
3.
15.答案 解析 正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得,如图所示,PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径,且PF⊥平面ABC.设正方体棱长为a,则3a2=12,a=2,AB=AC=BC=
2.S△ABC=×2×2×=
2.由VP-ABC=VB-PAC,得·h·S△ABC=××2×2×2,所以h=,因此球心到平面ABC的距离为
16.答案 2n-n-1解析 由an+2=3an+1-2an,得an+2-an+1=2an+1-an,a2-a1=1,∴数列{an+1-an}为等比数列,an+1-an=a2-a12n-1=2n-1,即a2-a1=1,a3-a2=2,…,an-an-1=2n-
2.再由累加法得an-a1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1,an=2n-1-1,∴Sn=-n=2n-n-
1.
17.解1分m=0和m≠0两种情况讨论,利用函数图象的性质得m∈Ø.2fm=mx2-2x-m+1=x2-1m+1-2x,看作以m为自变量的一次函数,利用图象性质,解得x的取值范围为{x|<x<}.
18.答案 1 2解析 1连接AO,并延长与BC交于点D,则D是BC边上的中点.∵点O是正△ABC的中心,且A1O⊥平面ABC,∴BC⊥AD,BC⊥A1O.∵AD∩A1O=O,∴BC⊥平面ADA
1.∴BC⊥AA
1.又AA1∥CC1,∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C.∵CC1⊥BC,即四边形BCC1B1为正方形,∴异面直线AA1与BC1所成角的大小为.2∵三棱柱的所有棱长都为2,∴可求得AD=,AO=AD=,A1O==.∴VABC-A1B1C1=S△ABC·A1O=2,VA1-B1C1CB=VABC-A1B1C1-VA1-ABC=.∴VC1-BCA1=VA1-BCC1=VA1-BCC1B1=.
19.解1当n=1时,S1=a1=a1-1,则a1=
2.当n≥2时,由Sn=an-1n∈N*
①得Sn-1=an-1-1n≥2
②由
①-
②,得an=an-1-an-1-1,则an=3an-1,又a1≠0,故an-1≠0,∴=3知数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则an=2·3n-
1.2可得bn+1=bn+2·3n-1,则当n≥2时,bn=bn-1+2·3n-2,……b3=b2+2·31,b2=b1+2·30,以上各式相加,得bn=b1+2×3n-2+…+31+30=5+2×=3n-1+
4.当n=1时,31-1+4=5=b
1.所以bn=3n-1+
4.
20.答案 1π 2-2解析 1因为2a+c·+c·=0,所以2a+caccosB+cabcosC=
0.即2a+ccosB+bcosC=
0.则2sinA+sinCcosB+sinBcosC=
0.所以2sinAcosB+sinC+B=
0.即cosB=-,所以B=.2因为b2=a2+c2-2accos,所以12=a2+c2+ac≥3ac,即ac≤
4.当且仅当a=c时取等号,此时ac最大值为
4.所以·=accos=-ac≥-
2.即·的最小值为-
2.
21.答案 1略 2 3解析 1证明∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AG.又PD⊥AG,∴AG⊥平面PCD.作EF⊥PC于点F,连接GF,∵平面PEC⊥平面PCD,∴EF⊥平面PCD.∴EF∥AG.又AG⊄平面PEC,EF⊂平面PEC,∴AG∥平面PEC.2解由1知A,E,F,G四点共面,又AE∥CD,AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.又∵平面AEFG∩平面PCD=GF,∴AE∥GF.又由1知EF∥AG,∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF.∵PA=3,AD=4,∴PD=5,AG=.又PA2=PG·PD,∴PG=.又=,∴GF==,∴AE=.3解过E作EO⊥AC于点O,连接OF,易知EO⊥平面PAC,又EF⊥PC,∴OF⊥PC.∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角.EO=AE·sin45°=×=,又EF=AG=,∴sin∠EFO==×=.
22.答案 1an= 2略思路 1根据题意,当n≤6时,数列{an}是等差数列,当n≥7时,数列{an}是等比数列,分别写出其通项公式,然后进行合并即可;2先对n进行分类,表示出An,利用数列的单调性质确定其最小项,并与80比较大小,确定n的值.解析 1当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列,故an=120-10n-1=130-10n.当n≥7时,数列{an}从a6开始的项构成一个以a6=130-60=70为首项,以为公比的等比数列,故an=70×n-
6.所以第n年初M的价值an=2设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差数列和等比数列的求和公式,得当1≤n≤6时,Sn=120n-5nn-1,An==120-5n-1=125-5n≥9580,当n≥7时,由于S6=570,故Sn=570+a7+a8+…+an=570+70××4×[1-n-6]=780-210×n-
6.因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列.因为An==,A8=≈
82.73480,A9=≈
76.82380,所以必须在第九年年初对M更新.。