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合肥五中2016-2017年高三第二次月考数学试题卷考试范围前3章;考试时间120分钟;考试分数150分
一、选择题本大题共12小题,共60分
1.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|log2x>0},则A∪B=( )A.(1,2) B.[-1,2) C.[-1,+∞) D.(1,+∞)
2.△ABC中,“A>”是“sinA>”的( )A.必要不充分条件 B.充分必要条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知命题p∃x∈R,log3x≥0,则( )A.¬p∀x∈R,log3x≤0 B.¬p∃x∈R,log3x≤0C.¬p∀x∈R,log3x<0 D.¬p∃x∈R,log3x<
04.已知θ∈(-,)且sinθ+cosθ=a,其中a∈(0,1),则tanθ的可能取值是( )A.-3 B.3或 C. D.-3或
5.函数的图象是( )A. B. C. D.
6.设a=,b=log20142015,c=log42,则( )A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b
7.正项等比数列{an}中,a3=2,a4•a6=64,则的值是( )A.4 B.8 C.16 D.
648.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米 B.9平方米 C.12平方米 D.15平方米
9.函数f(x)=3sin(2x-)的图象为C,下列结论中正确的是( )A.图象C关于直线x=对称 B.图象C关于点(-,0)对称 C.函数f(x)在区间(-,)内是增函数 D.由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
10.若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有,则( )A.f
(3)<f
(1)<f(-2) B.f
(1)<f(-1)<f
(3)C.f(-2)<f
(1)<f
(3) D.f
(3)<f(-2)<f
(1)
11.将来自四个班级的8名同学(每班2名同学)分到四个不同小区进行社会调查,每个小区2名同学,刚恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级的分派方案有( )A.48种 B.72种 C.144种 D.288种
12.已知函数f(x)=,g(x)=kx-1,若函数y=f(x)-g(x)有且仅有4个不同的零点.则实数k的取值范围为( )A.(1,6) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞)
二、填空题本大题共4小题,共
20.0分
13.(x+cosx)dx=______.
14.(x+y)(x-y)7的展开式中,x3y5的系数为______.
15.已知函数f(x)=,若f(x)≤2,则x的取值范围是______.
16.已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-6),点A(1,0),B(2,0),C(6,0),过点C作曲线y=f(x)的切线,切点为D(D与C不重合),则下列命题中正确的是______.(写出所有正确命题的序号)
①方程f′(x)=0的两根分别位于区间(1,2)和(2,6)内;
②点D在x轴的射影为线段AB的中点;
③函数y=f(x)的图象关于点(3,-6)对称;
④函数y=f(x)在点D处取得极大值.
三、解答题本大题共6小题,共
72.0分
17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2+c2=a2+bc.
(1)求A的大小;
(2)如果sinB=,b=2,求△ABC的面积.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2log2an,数列{}的前n项和为Tn,证明Tn<.
19.已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,AB=PA=2,E、F分别为BC、PD的中点.
(1)求证PB∥平面AFC;
(2)求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
20.在一次购物抽奖活动中,假设某l0张奖券中有一等奖券1张,可获得价值100元的奖品,有二等奖券3张,每张可获得价值50元的奖品,其余6张没有奖,某顾客从此l0张奖券中任抽2张,求(I)该顾客中奖的概率;(Ⅱ)该顾客获得奖品总价值X的概率分布列和数学期望.
21.已知函数y=ax-ln(x-1).
(1)若曲线y在x=2处的切线方程为y=3x+2,求a的值;
(2)求函数y=f(x)的极值.
22.已知函数f(x)=(x-1)ex+1,g(x)=ax3+x2.(I)求f(x)的单调区间及最小值;(Ⅱ)若在区间[0,+∞)上不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.合肥五中2016-2017年高三第二次月考答案和解析【答案】
1.C
2.A
3.C
4.C
5.D
6.C
7.C
8.B
9.C
10.D
11.D
12.C
13.解(x2+sinx)|=故答案为.
14.
1415.(-∞,-2]∪[-1,4]
16.
①②③
17.解
(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2+c2=a2+bc.可得cosA==,A∈(0,π),∴A=.
(2)∵sinB=,b=2,由正弦定理可得,可得a==3,∵b2+c2=a2+bc,∴c2-2c-5=0,解得c=1+.故三角形的面积为=.
18.解
(1)由Sn+2=2an,当n=1时,a1+2=2a1,解得a1=2;当n≥2时,Sn-1+2=2an-1有an=2an-2an-1,即an=2an-1,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2×2n-1=2n.
(2)由(I)得bn=2log22n=2n,∴==().Tn=(1-)+()+()+…+()=[1-++…+]=(1-)<.
19.证明
(1)连接BD交AC于O,∵ABCD为菱形,则BO=OD(1分)连接FO,则FO∥PB(3分)∵FO⊂平面AFC,PB⊄平面AFC,∴PB∥平面AFC(4分)
(2)解∵E为BC中点,∴AB=2BE∵∠ABE=60°,∴∴AE⊥BC,∵AD∥BC,∴AE⊥AD.(6分)建立如图所示的空间直角坐标系,,则,D(90,2,0)(8分)平面PAE的一个法向量为m=(0,1,0)(9分)设平面PDC的一个法向量为n=(x,y,z)则∴∴,令y=∴(11分)∴,∴平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.(12分)
20.解(Ⅰ)由题意得该顾客没有中奖的概率为=,∴该顾客中奖的概率为P=1-=,∴该顾客中奖的概率为.(Ⅱ)根据题意可得X的所有可能取值为0,50,100,150(元),∴P(X=0)==,P(X=50)==,P(X=100)==,P(X=150)==,∴X的分布列为 X 0 50 100 150 P ∴X的数学期望为EX==50.
21.解
(1)由y=ax-ln(x-1),y′=a-.由曲线y在x=2处的切线方程为y=3x+2,.即y′丨x=2=3,即a-=3,∴a=4,
(2)函数y=ax-ln(x-1)的定义域为(1,+∞),y′=a-.
①当a=0时,y′=-.∴y=-ln(x-1).在(1,+∞)上单调递减;
②当a≠0时,y′=a-=.当a>0时,令y′=0,解得x=,∴函数y=ax-ln(x-1),在x∈(1,)时,y′<0,函数y=ax-ln(x-1),在x∈(,+∞)时,y′>0,∴函数y=ax-ln(x-1)的单调减区间为(1,),单调递增区间为(,+∞);∴当x=时,函数取极小值,极小值为a+1,当a<0时,y′=a-<0,在(1,+∞)上恒成立,所以函数在(1,+∞)上单调递减,函数无极值,综上可知函数的单调减区间为(1,),单调递增区间为(,+∞),函数有极小值,极小值为a+1;当a≤0时,函数的单调递减(1,+∞),函数无极值,
22.解(Ⅰ)f′(x)=xex;∴x<0时,f′(x)<0,x>0时,f′(x)>0;∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞),且f(x)的最小值为f
(0)=0;(Ⅱ)构造函数h(x)=f(x)-g(x)=,x∈[0,+∞);∴h′(x)=xex-ax2-x=x(ex-ax-1);∵x∈[0,+∞),∴ex-ax-1的符号就是h′(x)的符号;设φ(x)=ex-ax-1,x∈[0,+∞),φ′(x)=ex-a;∵x∈[0,+∞),∴ex≥1;
①a≤1时,φ′(x)=ex-a≥0,φ(x)在[0,+∞)上是增函数,又φ
(0)=0,∴φ(x)≥0;∴h′(x)≥0,h(x)在[0,+∞)上是增函数,又h
(0)=0,∴h(x)≥0;∴a≤1符合题意;
②a>1时,令φ′(x)=0得,x=lna>0,在[0,lna)上φ′(x)<0,φ(x)是减函数φ
(0)=0;∴x∈(0,lna)时,φ(x)<0,∴h′(x)<0,h(x)在(0,lna)上是减函数;∴h(x)<0;∴a>1不合题意;综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].【解析】
1.解∵集合A={x|-1≤x<2},B={x|log2x>0}={x|x>1},∴A∪B={x|x≥-1}=[-1,+∞).故选C.求出A,B,由此利用并集的定义能求出A∪B.本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集性质的合理运用.
2.解在△ABC中,“sinA>”⇒“>A>”⇒“A>”.必要性成立;反之,“A>不能⇒“sinA>”,如A=时,sinA=sin=sin<sin=,即sinA,即充分性不成立,∴可判断A>是sinA>的必要而不充分条件.故选A.利用充要条件的概念即可判断是什么条件,从而得到答案.要注意三角形内角和是π,不要丢掉这个大前提.本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义,正弦函数的值,本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确,这是一种简单有效的方法,本题是一个基础题.此题要注意思维的全面性,不能因为细节大意失分.
3.解命题p∃x∈R,log3x≥0,则¬p∀x∈R,log3x<0.故选C.利用命题的否定即可判断出.本题考查了简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.解由sinθ+cosθ=a,两边平方可得2sinθ•cosθ=a2-1,由a∈(0,1)及,有sinθ•cosθ<0,且|sinθ|<|cosθ|,∴θ∈(-),从而tanθ∈(-1,0).故选C.把已知等式两边平方,可得2sinθ•cosθ=a2-1,由a的范围及,得sinθ•cosθ<0,且|sinθ|<|cosθ|,由此得到θ∈(-),答案可求.本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查三角函数的象限符号及函数值,是基础题.
5.解令f(x)==,其定义域为{x|x≠0}.∵f(-x)==-f(x),因此函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,C;当x>0时,∵函数y=,y=-x为单调递减,故排除A.综上可知正确答案为D.先判断函数的奇偶性,利用基本初等函数的单调性,即可判断出.本题考查了函数的单调性与奇偶性,属于基础题.
6.解∵a===(,1),b=log20142015>log20142014=1,c=log42=,∴b>a>c.故选C.利用指数函数与对数函数的性质分别比较三个数与和1的大小得答案.本题考查对数值的大小比较,考查指数函数与对数函数的运算性质,是基础题,
7.解设正项等比数列{an}的公比为q,∵a3=2,a4•a6=64,∴=2,=64,解得q2=4,则=42=16.故选C.设正项等比数列{an}的公比为q,由a3=2,a4•a6=64,利用通项公式解得q2,再利用通项公式即可得出.本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
8.解如图,由题意可得∠AOB=,OA=4,在Rt△AOD中,可得∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=,可得矢=4-2=2,由AD=AO•sin=4×=2,可得弦=2AD=2×2=4,所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=(4×2+22)=4≈9平方米.故选B.在Rt△AOD中,由题意OA=4,∠DAO=,即可求得OD,AD的值,根据题意可求矢和弦的值,即可利用公式计算求值得解.本题考查扇形的面积公式,考查学生对题意的理解,考查学生的计算能力,属于中档题.
9.解选项A错误,由于f()=0≠±3,故A错.选项B错误,由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点,因为f(-)=3sin(-2×-)=-,所以(-,0)不在函数图象上.此函数图象不关于这点对称,故B错误.选项C正确,令u=2x-,当-<x<时,-<u<,由于y=3sinu在(-,)上是增函数,所以选项C正确.选项D错误,由于y=3sin2x的图象向右平移个单位得y=3sin2(x-)即y=3sin(2x-)的图象而不是图象C.故选C.A利用三角函数在对称轴处取得函数的最值,验证选项AB正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点,可验证选项BC令u=2x-,当-<x<时,-<u<,由于y=3sinu在(-,)上是增函数,利用复合函数的单调性可验证选项CD由于y=3sin2x的图象向右平移个单位得y=3sin2(x-)即y=3sin(2x-)的图象,验证选项D本题主要考查了三角函数的相关性质三角函数的对称性(轴对称,中心对称);三角函数的单调性,三角函数的图象的平移等的综合应用.
10.解∵∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有,∴当x≥0时函数f(x)为减函数,∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∴f
(3)<f
(2)<f
(1),即f
(3)<f(-2)<f
(1),故选D根据条件判断函数的单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可.本题主要考查函数值的大小比较,根据条件判断函数的单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键.
11.解先从4个班级中选2个,分到4个小区中的2个,(保证恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级),再从剩下的两个班级中各选一人,分配剩下2个小区的一个,故有C42C42C21C21C21=288种,故选D先从4个班级中选2个,分陪到4个小区的2个,再从剩下的两个班级中各选一人,分配剩下2个小区的一个,根据分步计数原理可得.本题考查了分步计数原理,关键是分步,属于中档题.
12.解∵函数y=f(x)-g(x)有且仅有4个不同的零点,∴函数f(x)=与g(x)=kx-1的图象有四个不同的交点,作函数f(x)=与g(x)=kx-1的图象如下,,易知直线y=kx-1恒过点(0,-1);设A(x,x2+4x),y′=2x+4;故2x+4=,故x=-1;故k=-2+4=2;设B(x,xlnx),y′=lnx+1,则lnx+1=,解得,x=1,故k=ln1+1=1,结合图象可知,实数k的取值范围为(1,2),故选C.化简可得函数f(x)=与g(x)=kx-1的图象有四个不同的交点,从而作图,结合图象求导,利用导数的几何意义求解.本题考查了函数的性质的应用及导数的综合应用,同时考查了数形结合的思想方法应用.
13.根据定积分的计算法则计算即可.本题主要考查了定积分的计算,关键是求原函数,属于基础题.
14.解(x-y)7的展开式的通项公式Tr+1=,令r=5,满足7-r=2,此时T6=-,令r=4,7-r=3,此时T5=,∴x3y5的系数为+=14.故答案为14.利用通项公式即可得出.本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
15.解
(1)当x≥0时,由f(x)≤2得,;∴0≤x≤4;
(2)当x<0时,由f(x)≤2得,-x2-3x≤2;解得x≤-2,或-1≤x<0;综上得,x的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,4].故答案为(-∞,-2]∪[-1,4].在每段上解不等式f(x)≤2,然后所得x的范围求并集即可得出x的取值范围.考查分段函数的概念,对于分段函数,解不等式f(x)≤2时,在每段上去解,无理不等式和一元二次不等式的解法.
16.解根据f(x)的取值情况x<1时,f(x)<0;1<x<2时,f(x)>0;2<x<6时,f(x)<0;x>6时,f(x)>0.画出f(x)的图象.
①通过通过图象可以看出,f(x)在(1,2)和(2,6)上存在极值,∴方程f(x)′=0的两根分别位于区间(1,2)和(2,6)内;
②设过点C的f(x)的切线方程为y=k(x-6),解得x2-3x+2-k=0
(1),该方程的二重根便是切点D的横坐标,∴△=9-2(4-k)=1+4k=0,∴k=;∴带入方程
(1)并解得,∴点D在x轴的射影为线段AB的中点.
③设(x0,y0)为函数y=f(x)的图象上的任一点,它关于(3,-6)的对称点为(x,y),则,解得,带入y=f(x)的解析式并化简得x3-9x2+20x+12=y,这便是函数y=f(x)的解析式;∴函数y=f(x)的图象关于点(3,-6)对称.
④∵函数y=f(x)在点D处的导数为,∴函数y=f(x)在点D处取不到极大值.∴正确的命题是
①②③.故答案为
①②③.根据函数f(x)的取值情况可以画出函数f(x)的大致;图象,
①通过图象可以看出函数f(x)的极值点的分布情况,所以能判断
①正确;
②根据过点C的直线方程与曲线y=f(x)有两个二重根可求得D点的横坐标,从而能判断
②的正误;
③求出函数y=f(x)的图象关于点(3,-6)对称的图象的解析式,即可判断
③的正误.
④通过前面知道函数y=f(x)在D点的导数不为0,所以在D处取不到极大值,所以
④错误.这样便可找出正确的命题.考查函数的极值和函数在极值点处导数的关系;切线2反应在方程上,就是直线方程和曲线方程形成的方程组有二重根,判别式△=0;切线斜率和函数在切点处导数的关系,求解本题的关键是根据函数解析式画出它的大致图象.
17.
(1)直接利用余弦定理求出A的余弦函数值,即可求出A的大小.
(2)通过正弦定理求出a,然后求出c,即可求出三角形的面积.本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力.
18.
(1)根据an=Sn-Sn-1(n≥2)得出{an}是等比数列,利用等比数列的通项公式得出an;
(2)计算==(),再使用列项法求出Tn,从而得出结论.本题考查了数列通项公式的求法,列项法求和,属于中档题.
19.对于
(1),要证PB∥平面AFC,只需证明PB与平面AFC内的一条直线平行即可,F为PD的中点,底面ABCD为菱形,故连接BD交AC于O,则O为AC的中点,从而OF为三角形PBD的中位线,易知FO∥PB,从而得证;对于
(2),由于E为BC中点,∴AB=2BE∵∠ABE=600,∴∴AE⊥BC,∵AD∥BC,∴AE⊥AD,从而可以以A为坐标原点,以AE为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间作标系,分别求出平面PAE与平面PCD一个法向量,求出这两个法向量的夹角的余弦值的绝对值即可.本题考查线面平行的判定和二面角的求法,要注意转化思想的应用,即将线面平行转化为面面平行,将求二面角转化为求其法向量的夹角.
20.(Ⅰ)由题意求出该顾客没有中奖的概率,由此利用对立事件概率计算公式能求出该顾客中奖的概率.(Ⅱ)根据题意可得X的所有可能取值为0,50,100,150(元),分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.
21.
(1)求导y′=a-,由题意可知y′丨x=2=3,代入即可求得a的值;
(2)求出函数的定义域及导函数,通过对a的分类讨论判断出导函数的符号,根据导函数的符号与函数单调性的关系写出单调区间,根据函数的单调性即可求得函数的极值.本题考查导函数的符号与函数单调性的关系,考查导数与切线方程斜率的关系,考查利用分类讨论求含参数的函数解决单调性问题,属于中档题.
22.(Ⅰ)求导数f′(x)=xex,这样根据导数符号即可得出f(x)的单调区间,并可求出f(x)的最小值;(Ⅱ)可构造函数,求导数得到h′(x)=x(ex-ax-1),这样只需判断φ(x)=ex-ax-1的符号,求导数φ′(x)=ex-a,可知ex≥1,这样讨论a a≤1,和a>1,每种情况下判断φ(x),h′(x)的符号,从而看是否得出h(x)≥0,这样即可得出实数a的取值范围.考查基本初等函数求导公式,积的导数的计算公式,根据导数符号求函数单调区间的方法,以及根据导数符号求函数最值的方法和过程,以及函数单调性定义,构造函数的方法.。