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西藏拉萨市第三高级中学2016届高三数学上学期第四次月考试题理时间120分钟总分150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22~24题为选考题,其它题为必考题考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回注意事项1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上2.选择题答案使用2B铅笔填涂如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用
0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚3.请按照题号在各题的答题区域黑色线框内作答超出答题区域书写的答案无效4.保持卡面清洁,不折叠,不破损5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑第I卷1.选择题:(本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1.已知集合M=,N={x|1≤x≤4},则M∩N=A.[1,3B.
(13)C.(03]D.(-∞-5]∪[6+∞)2.若复数i是虚数单位,则=A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i
3.若变量,满足约束条件,则的最大值为A.B.C.D.
4.平行于直线且与圆相切的直线的方程是A.或B.或C.或D.或
5.已知双曲线C的离心率e=,且其右焦点F250,则双曲线C的方程为A.B.C.D.
6.甲、乙两名同学,在班级的演讲比赛中,得分情况如图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为、,则下列判断正确的是A.,甲比乙成绩稳定B.,乙比甲成绩稳定C.,甲比乙成绩稳定D.,乙比甲成绩稳定
7.执行如果所示的程序框图,输出的k值为A.3B.4C.5D.
68.如果,那么的值为A.-2B.2C.-D.
9.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为A.B.C.1D.
210.某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为A.90B.100C.180D.
30011.已知件产品中有件次品,其余为合格品.现从这件产品中任取件,恰有一件次品的概率为A.B.C.D.
12.若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值A.至多等于4B.等于5C.大于5D.至多等于3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最简答案填在答题卡的相应位置上)
13.的展开式中,的系数等于(用数字作答)
14.若锐角的面积为,且,则等于
15.若函数(且)的值域是,则实数的取值范是
16.在等差数列{}中,若,则=
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)
17.本小题满分12分在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,),n=(sinx,cosx),x∈(0,)求
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值
18.(本小题满分12分)已知等差数列满足.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设等比数列满足.问与数列的第几项相等?
19.(本小题满分12分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?
20.(本小题满分12分)已知椭圆E过点,且离心率为e=.1求椭圆E的方程;2设直线l;交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数,其中.(Ⅰ)设为的导函数,讨论的单调性;(Ⅱ)证明存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解.请考生在第
22、
23、24三题中任选一题作答,答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分
22.(本小题满分10分)选修4—1;几何证明选讲.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(Ⅰ)若D为线段AC的中点,求证AC⊥平面PDO;(Ⅱ)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(Ⅲ)若,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
23.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标版权法吕,直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标方程为.(Ⅰ)写出的直角坐标方程;(Ⅱ)为直线上一动点,当到圆心的距离最小时,求点的坐标.
24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知关于的不等式的解集为(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)求的最大值.2015-2016学年拉萨市第三高级中学数学期中试题答案
1、选择题每小题5分,共60分题号123456789101112答案ADCDBBBCACBA
二、填空题每小题5分,共20分
13.
8014.
715.
16.10三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)
17.
(1)tanx=1
(2),,所以
18.(本小题满分12分)(Ⅰ)设等差数列的公差为因为,所以又因为,所以,故所以(Ⅱ)设等比数列的公比为因为所以所以由得所以与数列的第63项相等
19.(本小题满分12分)(Ⅰ)从统计表可以看出,在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为(Ⅱ)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200为顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为,所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大
20.(本小题满分12分)本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.解法一1由已知得解得所以椭圆的方程为.
(2)设点AB中点为.由得所以从而.所以.故所以,故在以AB为直径的圆外.
21.(本小题满分12分)本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想(Ⅰ)由已知,函数的定义域为,,所以当时,单调递减;当时,单调递增(Ⅱ)由,解得令,则于是,存在,使得令,其中由知,函数在区间上单调递增故即当时,有再由(Ⅰ)知,在区间上单调递增,当时,,从而;当时,,从而;又挡时,故时,综上所述,存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解
22.(本小题满分10)解法一(Ⅰ)在中,因为为的中点,所以又垂直于圆所在的平面,所以因为,所以平面(Ⅱ)因为点在圆上,所以当时,到AB的距离最大,且最大值为1又,所以面积的最大值为又因为三棱锥的高,故三棱锥体积的最大值为(Ⅲ)在中,,所以同理,所以在三棱锥中,将侧面BCP绕PB旋转至平面,使之与平面共面,如图所示当共线时,取得最小值又因为,所以垂直平分,即为中点从而,亦即的最小值为解法二(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一(Ⅲ)在中,,所以,同理所以,所以在三棱锥中,将侧面BCP绕PB旋转至平面,使之与平面共面,如图所示当共线时,取得最小值所以在中,由余弦定理得从而,所以的最小值为
23.(本小题满分10)(Ⅰ)由,得,从而有所以(Ⅱ)设,又,则,故当时,取得最小值,此时,点的直角坐标为.24(本小题满分10)(Ⅰ)由,得,则,解得(Ⅱ)当且仅当即时等号成立,故。