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普宁市第二中学2017届高三级下学期·摸底考试理科数学试题注意事项
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上
2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑;答案不能答在试卷上
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;不准使用铅笔或涂改液不按以上要求作答的答案无效
4.考生必须保持答题卷的整洁第Ⅰ卷
一、选择题本题共12小题,每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合,,则 ABC D
(2)设,其中是实数,则(A)1(B)(C)(D)
(3)等比数列的前项和为,若,则公比ABCD
(4)已知双曲线()的渐近线方程为则双曲线的离心率为ABCD
(5)若将函数的图象向左平移个单位,所得图象关于轴对称,则的最小正值是(A)(B)(C)(D)
(6)GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目分ABC三期播出A期播出两间学校B期,C期各播出1间学校现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务不同的选法共有(A)140种(B)420种(C)840种 (D)1680种
(7)已知函数,则函数的图象是
(8)设,,,则的大小关系为ABCD
(9)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为A7B9C10D11
(10)已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,直线与曲线相交于,两点,若,则ABCD
(11)如图网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是ABCD12若函数在上单调递增,则实数的取值范围是ABCD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.
(13)在的展开式中,常数项是.
(14)设椭圆的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点,若焦点到椭圆上点的最大距离为,则分别以为实半轴长和虚半轴长,焦点在y轴上的双曲线标准方程为.
(15)一几何体的三视图如图2示,则该几何体的体积为.
(16)已知正项数列的首项,且对一切的正整数,均有:,则数图2列的通项公式.
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)在△ABC中,、、分别为角、、所对的边,,且.Ⅰ求角的大小;Ⅱ求△ABC外接圆的圆心到AC边的距离.
(18)(本小题满分12分)如图3,在四棱锥中,,AD∥BC,AB⊥AD,AO=AB=BC=1,PO=,.Ⅰ证明平面POC⊥平面PAD;Ⅱ)若AD=2,PA=PD,求CD与平面PAB所成角的余弦值.图3
(19)(本小题满分12分)某商场举行促销活动,有两个摸奖箱,A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球,B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球,每次摸奖后放回.消费额满100元有一次A箱内摸奖机会,消费额满300元有一次B箱内摸奖机会,摸得有数字的球则中奖,“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元,摸得无号球则没有奖金.(Ⅰ)经统计,消费额X服从正态分布,某天有1000位顾客,请估计消费额X(单位元)在区间(100,150]内并中奖的人数;附若,则,.(Ⅱ)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会,求其中中奖人数的分布列;(Ⅲ)某顾客消费额为308元,有两种摸奖方法,方法一三次A箱内摸奖机会;方法二一次B箱内摸奖机会.请问这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
(20)本小题满分12分在平面直角坐标系中,已知点A(-10)、B
(10)、C(0-1),N为y轴上的点,MN垂直于y轴,且点M满足(O为坐标原点),点M的轨迹为曲线T.Ⅰ求曲线T的方程;Ⅱ设点P(P不在y轴上)是曲线T上任意一点,曲线T在点P处的切线l与直线交于点Q,试探究以PQ为直径的圆是否过一定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,说明理由.
(21)(本小题满分12分)设a0,已知函数x0.Ⅰ讨论函数的单调性;Ⅱ试判断函数在上是否有两个零点,并说明理由.请考生在第
(22)、
(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.
(22)(本小题满分10分)选修44坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(为参数).以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.Ⅰ写出直线l经过的定点的直角坐标,并求曲线的普通方程;Ⅱ若,求直线的极坐标方程,以及直线l与曲线的交点的极坐标.
(23)(本小题满分10分)选修45不等式选讲设函数.Ⅰ若,求函数的值域;Ⅱ若,求不等式的解集.普宁市第二中学2017届高三级下学期·摸底考试理科数学参考答案
一、选择题
(1)B
(2)D
(3)A
(4)B
(5)A
(6)C
(7)D
(8)C
(9)B
(10)B
(11)D
(12)A
二、填空题题号13141516答案7030解析
(15).
(16)由,,则,.
三、解答题
(17)解(Ⅰ)由,结合余弦定理得,-------------------------------------------------------------------------------2分,----------------------------------------------------------------------------------3分则,-----------------------------------------------------5分∵∴.---------------------------------------------------------------------------7分Ⅱ设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理知,-------------------------------------------------------------------9分故-------------------------------------------------------------------------------------------10分则△ABC外接圆的圆心到AC边的距离.---------------------------------------------------------------12分
(18)解(Ⅰ)在四边形OABC中,∵AO//BC,AO=BC,AB⊥AD,∴四边形OABC是正方形,得OC⊥AD,-----------------------2分在△POC中,∵,∴OC⊥PO,-------4分又,∴OC⊥平面PAD,又平面POC,∴平面POC⊥平面PAD;-------------6分(Ⅱ)解法1由O是AD中点,PA=PD,得PO⊥AD;以O为原点,如图建立空间直角坐标系O-xyz,----------7分得,,,,,得,,,设是平面PAB的一个法向量,则,得,取z=1,得,----------------------------------------------------------------------------------10分设CD与平面PAB所成角为,则,∴,即CD与平面PAB所成角的余弦值为.------------------------------12分【解法2连结OB,∵OD//BC,且OD=BC∴BCDO为平行四边形,∴OB//CD----------------------------7分由(Ⅰ)知OC⊥平面PAD,∴AB⊥平面PAD,∵AB平面,∴平面PAB⊥平面PAD,----------------------------------------------------8分过点O作OE⊥PA于E,连结BE,则OE⊥平面PAB,∴∠OBE为CD与平面PAB所成的角,----------------------10分在Rt△OEB中,∵∴即CD与平面PAB所成角的余弦值为.--------------------------------------------------12分】
(19)解(Ⅰ)依题意得,,得,,------------1分消费额X在区间(100,150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会,中奖率为
0.6,---------2分人数约为=477人,------------------------3分其中中奖的人数约为477×
0.6=286人;--------------------------------------------------------4分(Ⅱ)三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为
0.6,三人中中奖人数服从二项分布,,(k=0123)----------------------------------------------------6分故的分布列为0123P
0.064或
0.288或
0.432或
0.216或-----------8分(Ⅲ)A箱摸一次所得奖金的期望值为50×
0.1+20×
0.2+5×
0.3=
10.5,-------------------------9分B箱摸一次所得奖金的期望值为50×
0.5+20×
0.5=35,---------------------------------------10分方法一所得奖金的期望值为3×
10.5=
31.5,方法二所得奖金的期望值为35,所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.-----------------------------------------------12分
(20)解(Ⅰ)设点,依题意知,∵,---------------------------2分由得,即,∴所求曲线T的方程为-------------------4分(Ⅱ)解法1设,由得则---------------------------5分∴直线l的方程为令得,即点Q的坐标为--------6分设是以PQ为直径的圆上任意一点,则由,得以PQ为直径的圆的方程为------
①-----------8分在
①中,令得,------------------------
②,-----------------------------------------------------------
③由
②③联立解得或--------------------------------------------------------------10分将代入
①式,左边==右边,即以PQ为直径的圆过点,--------------------------------------------------------------------11分将代入
①式,左边右边,∴以为直径的圆恒过点,该定点的坐标为--------------------------------------------12分【解法2设,由得则-----------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l的方程为令得,即点Q的坐标为-------------------------------------------6分设是以PQ为直径的圆上任意一点,则由,得以PQ为直径的圆的方程为------
①------------8分假设以PQ为直径的圆过定点,则,,,,令,上式恒成立,∴以为直径的圆恒过定点,该点的坐标为----------------------------------------------12分】【解法3设,由得则------------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l的方程为令得,即点Q的坐标为------------------------------------------6分假设以PQ为直径的圆恒过定点H,则根据对称性,点H必在y轴上,设,则由得------
①--------------------------------------8分,,∴,即以为直径的圆恒过定点,该点的坐标为--------------------------12分】
(21)解(Ⅰ),----------------------------------------------------------------1分,,设,则,
①当时,,,即,∴在上单调递增;-----------------------------------------------------------------3分
②当时,,由得,,-----------------------------------------------------------------------------4分可知,由的图象得在和上单调递增;--------------------5分在上单调递减.---------------------------------6分(Ⅱ)解法1函数在上不存在两个零点----------------------------------------------7分假设函数有两个零点,由(Ⅰ)知,,因为,则,即,由知,所以,设,则(*),-----------------------------------------------------------------9分由,得,设,得,-------------------------------------------------10分所以在递增,得,即,这与(*)式矛盾,---------------------------------------------------------------------------------11分所以上假设不成立,即函数没有两个零点.------------------------------------------12分【解法2函数在上不存在两个零点;-------------------------------------------------7分由(Ⅰ)知当时,函数在上单调递增,∴函数在上至多有一个零点;-----------------------------------------------------8分当时,∵,由(Ⅰ)知当时,有极小值,,---------------------9分令则,,设,得,------------------------------------------------------10分∴在单调递增,得,即,可知当时,函数在不存在零点;综上可得函数在上不存在两个零点.-------------------------------------------12分】选做题
(22)解(Ⅰ)直线l经过定点,-----------------------------------------------------------------2分由得,得曲线的普通方程为,化简得;---5分(Ⅱ)若,得,的普通方程为,----------------------------------6分则直线的极坐标方程为,------------------------------------------------8分联立曲线.得,取,得,所以直线l与曲线的交点为.------------10分
(23)解(Ⅰ)当时,-------------------------------------------------1分∵,-------------------------------------------------3分,函数的值域为;------------------------------5分(Ⅱ)当m=-1时,不等式即,--------------------------------6分
①当时,得,解得,;---------------------7分
②当时,得,解得,;---------------8分
③当时,得,解得,所以无解;------------------------9分综上所述,原不等式的解集为.-----------------------------------------------------10分E。