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专题限时集训十 空间几何体表面积或体积的求解建议A、B组各用时45分钟]A组 高考达标]
一、选择题1.2016·石家庄二模一个三棱锥的正视图和俯视图如图1013所示,则该三棱锥的侧视图可能为 图1013D 分析三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD,故选D.]2.2016·郑州一模一个几何体的三视图如图1014所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 图1014A. B.C.2D.B 由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE,∴体积V=××=,故选B.]3.2016·开封一模在三棱锥PABC中,AB=BC=,AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积为 【导学号85952038】A.πB.πC.πD.πD 由题可知,△ABC中AC边上的高为=,球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,∴x2=32+-x2,解得x=,∴R2=x2+2=+1=其中R为三棱锥外接球的半径,∴外接球的表面积S=4πR2=π,故选D.]4.2016·湖北七市模拟已知某几何体的三视图如图1015所示,其中俯视图是正三角形,则该几何体的体积为 图1015A. B.2C.3 D.4B 分析题意可知,该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的,故其体积V=×22×3-××2×=2,故选B.]5.2016·广州二模如图1016,网格纸上小正方形的边长为1,图1016粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为 A.8+8+4B.8+8+2C.2+2+D.++A 在正方体中还原出该四面体CA1EC1如图所示,可求得该四面体的表面积为8+8+
4.]
二、填空题6.2016·昆明一模已知三棱锥PABC的顶点P,A,B,C在球O的球面上,△ABC是边长为的等边三角形,如果球O的表面积为36π,那么P到平面ABC距离的最大值为________.3+2 依题意,边长是的等边△ABC的外接圆半径r=·=
1.∵球O的表面积为36π=4πR2,∴球O的半径R=3,∴球心O到平面ABC的距离d==2,∴球面上的点P到平面ABC距离的最大值为R+d=3+
2.]7.2016·山东省实验模拟三棱锥PABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥DABE的体积为V1,PABC的体积为V2,则=________. 如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=S1h1,V2=S2h2,所以==.]8.2016·海口二模半径为2的球O中有一内接正四棱柱底面是正方形,侧棱垂直底面.当该正四棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________.16π- 设内接正四棱柱底边长为a,高为h,那么16=2a2+h2≥2ah,正四棱柱的侧面积S=4ah≤16,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16π-.]
三、解答题9.2016·合肥二模如图1017,P为正方形ABCD外一点,PB⊥平面ABCD,PB=AB=2,E为PD的中点.图10171求证PA⊥CE;2求四棱锥PABCD的表面积.解] 1证明取PA的中点F,连接EF,BF,则EF∥AD∥BC,即EF,BC共面.∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥BC,又BC⊥AB且PB∩AB=B,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PA.3分∵PB=AB,∴BF⊥PA,又BC∩BF=B,∴PA⊥平面EFBC,∴PA⊥CE.6分2设四棱锥PABCD的表面积为S,∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥CD,又CD⊥BC,PB∩BC=B,∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PC,即△PCD为直角三角形,8分由1知BC⊥平面PAB,而AD∥BC,∴AD⊥平面PAB,故AD⊥PA,即△PAD也为直角三角形.S▱ABCD=2×2=4,S△PBC=S△PAB=S△PDA=×2×2=2,S△PCD=×2×=2,10分∴S表=S▱ABCD+S△PBC+S△PDA+S△PAB+S△PCD=10+
2.12分10.2016·湖北七市模拟如图1018,一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体不计容器厚度.若液面恰好分别过棱AC,BC,B1C1,A1C1的中点D,E,F,G.图10181求证平面DEFG∥平面ABB1A1;2当底面ABC水平放置时,求液面的高.解] 1证明因为D,E分别为棱AC,BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A
1.同理DG∥平面ABB1A1,又DE∩DG=D,所以平面DEFG∥平面ABB1A
1.6分2当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时,由1可知,液体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高,即侧棱长l,当底面ABC水平放置时,设液面的高为h,△ABC的面积为S,则由已知条件可知,△CDE∽△ABC,且S△CDE=S,所以S四边形ABED=S.9分由于两种状态下液体体积相等,所以V液体=Sh=S四边形ABEDl=Sl,即h=l.因此,当底面ABC水平放置时,液面的高为l.12分B组 名校冲刺]
一、选择题1.2016·沈阳一模如图1019,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个凸多面体的三视图两个矩形,一个直角三角形,则这个几何体可能为 图1019A.三棱台B.三棱柱C.四棱柱D.四棱锥B 根据三视图的法则长对正,高平齐,宽相等,可得几何体如图所示.这是一个三棱柱.]2.2016·重庆二模某几何体的三视图如图1020所示,则该几何体的体积为 图1020A.B.C.D.B 根据三视图可知,几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的,其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形直角边长分别为12,高为1;该三棱锥的底面是一个直角三角形腰长分别为12,高为1,因此该几何体的体积为×2×1×1+××2×1×1=,选B.]3.2016·唐山二模某几何体的三视图如图1021所示,则该几何体的体积为 图1021A.6π+4B.π+4C.D.2πD 由三视图知,该几何体为一个底面半径为1,高为1的圆柱体,与底面半径为1,高为2的半圆柱体构成,所以该三视图的体积为π×12×1+π×12×2=2π,故选D.]4.2016·江西上饶三模从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为 A.B.C.D.C 设OP交平面ABC于O′,由题得△ABC和△PAB为正三角形,所以O′A=AB=AP.因为AO′⊥PO,OA⊥PA,所以=,=,=,所以OA==×=1,即球的半径为1,所以其体积为π×13=π.选C.]
二、填空题5.2016·广州二模一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点在同一个球面上,则该球的体积为________.【导学号85952039】 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1其高h=1,∴球半径为R===,∴该球的体积V=πR3=×3π=.]图10226.如图1022,在三棱锥ABCD中,△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形,且平面ACD⊥平面BCD,则该三棱锥外接球的表面积为________.π 取AB,CD的中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,由题意知AF⊥BF,AF=BF=2,EF==,易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上,所以OE+OF=.设外接球的半径为R,连接OA,OC,则有R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,所以AE2+OE2=CF2+OF2,2+OE2=22+OF2,所以OF2-OE2=2,又OE+OF=,则OF2=,R2=,所以该三棱锥外接球的表面积为4πR2=π.]
三、解答题图10237.如图1023,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD,BE⊥DF.1若M为EA中点,求证AC∥平面MDF;2若AB=2,求四棱锥EABCD的体积.解] 1证明设EC与DF交于点N,连接MN,在矩形CDEF中,点N为EC中点,因为M为EA中点,所以MN∥AC.2分又因为AC⊄平面MDF,MN⊂平面MDF,所以AC∥平面MDF.4分2取CD中点为G,连接BG,EG,平面CDEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,AD⊥CD,所以AD⊥平面CDEF,同理ED⊥平面ABCD,7分所以ED的长即为四棱锥EABCD的高.8分在梯形ABCD中,AB=CD=DG,AB∥DG,所以四边形ABGD是平行四边形,BG∥AD,所以BG⊥平面CDEF.又DF⊂平面CDEF,所以BG⊥DF,又BE⊥DF,BE∩BG=B,所以DF⊥平面BEG,DF⊥EG.10分注意到Rt△DEG∽Rt△EFD,所以DE2=DG·EF=8,DE=2,所以VEABCD=S梯形ABCD·ED=
4.12分8.如图1024,在多面体ABCDM中,△BCD是等边三角形,△CMD是等腰图1024直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,点O为CD的中点,连接OM.1求证OM∥平面ABD;2若AB=BC=2,求三棱锥ABDM的体积.解] 1证明∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,点O为CD的中点,∴OM⊥CD.1分∵平面CMD⊥平面BCD,平面CMD∩平面BCD=CD,OM⊂平面CMD,∴OM⊥平面BCD.2分∵AB⊥平面BCD,∴OM∥AB.3分∵AB⊂平面ABD,OM⊄平面ABD,∴OM∥平面ABD.4分2法一由1知OM∥平面ABD,∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分过点O作OH⊥BD,垂足为点H.∵AB⊥平面BCD,OH⊂平面BCD,∴OH⊥AB.6分∵AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,AB∩BD=B,∴OH⊥平面ABD.7分∵AB=BC=2,△BCD是等边三角形,∴BD=2,OD=1,OH=OD·sin60°=.9分∴V三棱锥ABDM=V三棱锥MABD=××AB·BD·OH11分=××2×2×=.∴三棱锥ABDM的体积为.12分法二由1知OM∥平面ABD,∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分∵AB=BC=2,△BCD是等边三角形,∴BD=2,OD=
1.6分连接OB,则OB⊥CD,OB=BD·sin60°=.7分∴V三棱锥ABDM=V三棱锥MABD=V三棱锥OABD=V三棱锥ABDO=××OD·OB·AB11分=××1××2=.∴三棱锥ABDM的体积为.12分。