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排列组合方法一解决排列组合问题的几种思想
1.主元思想某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班,每人值班1天,其中甲乙2人都不安排在10月1日和10月7日,则不同安排方法有多少种?解析先排甲乙,有5×4=20种再排其他5人,有5×4×3×2×1=120种共120×20=2400种主元思想就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑,抓取主要矛盾,从而达到解决问题的目的2分类思想2010年广州亚运会组委会要从ABCDE五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中A和B只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有多少种?解析分两类若A或B入选则有C(2,1)C(2,1)A(3,3)若A和B入选,则有A22A23种,相加共36种分类思想就是当问题中的元素较多,涉及的情况也较多时,可按要求分成几个互不相容的类别,使问题由复杂变成简单,从而顺利解决3补集思想从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女都有,则不同的组队方案共有多少种?任意选取3人,有C(9,3)=84种,其中都是男医生有c(5,3)=10种,都是女医生有c(4,1)种,于是符合条件的有84—4=70种正面情况较复杂,而反面情况较简单,故可以从反面人手解题,然后利用补集来解决问题4整体思想7人站成一排照相,则甲乙两人之间恰好隔三人的战法有多少种?解析甲乙及间隔的3人组成一个整体,这3人可从5人中选,有c(5,3)=10种,甲乙与这个整体共3个元素全排列,有A(3,3)=6种,它内部甲乙有A2,2=2种排法,中间选的3人有A(3,3)=6故符合的有10×6×2×6=720种整体思想就是将某些有特殊要求的元素(如相邻等)看作一个整体参与排列5等几率思想8个人排队,其中甲、乙、丙3人按甲、乙、丙的顺序排队有多少种方法?解析8人排队,共A(8,8)因为甲乙丙3人可排出A(3,3)种不同顺序,每种顺序在A(8,8)中出现的几率相等,所以共A(8,8)÷A(3,3)=6720种对于某几个顺序一定的元素的排列问题,由于这几个元素的每种顺序在排列中出现的几率相同,可先把这几个元素一同排列,然后用总排列数除以这几个元素的全排列数二排列组合问题的化归求解策略
1、将陌生问题化归为熟悉问题把10个相同的小球分到3个不同的盒子中,共有几种不同的分法?解析先求把10个相同的小球分到3个不同的盒子中,每个盒子中至少有1个球共有的方法种数由隔板法知有C92-36种方法如果在每个盒子内预放入—1个球,接着将剩下的10—(—3)=13个小球放到3个不同的盒子内,问题就化归成把13个相同的小球分到3个不同的盒子中,每个盒子至少1个球,共多少种不同分法?由隔板法知共C(12,2)=66种当遇到一个陌生问题时,可以转化成自己熟悉的类似的题目,从而找到解体的思路
2、将复杂问题划归为简单问题从6名运动员中选出4人参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第一棒,那么龚有多少种不同的参赛方法?解析设全集I={6人中任取4人的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},AB有公共部分,根据__元素个数公式可知,方法种数为N=cardI-[cardA+card[B]-cardA交B]=A64-[A53+A53-A42=252种此问题错综复杂,既有不同的运动员,又有对运动员的限制,中间还有多种复杂情绪出现,一下子很难解决,利用__的思想及正难则反的原则,把上述问题化归为“参赛总方法数减去限制条件的方法数”这个简单问题
3、将困难问题化归为容易问题从正方体的8个顶点中任取3个顶点作三角形,共有多少个直角三角形?解析如果以点为对象来考虑直角三角形的个数,非常容易重复或遗漏,我们知道一个矩形有c(4,3)个直角三角形,故将其化归为以下问题一个正方体的8个顶点能构成多少个不同的矩形?一个正方体的4个顶点共面能构成矩形,故可构成12个矩形(6个表面,65个对角面),每个矩形有c(4,3)个直角三角形,故直角三角形共有12×c(4,3)个。