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第二讲极限《数学分析》是以极限概念为基础,以极限理论为工具对函数进行研究的一门学科,研究了函数的连续性、可微性、可积性等性质
一、极限思想极限思想是近代数学的一种重要思想,所谓极限思想,是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想极限思想是《数学分析》的基本思想,《数学分析》中一系列重要概念,如函数的连续、导数、以及定积分等都借助于极限来定义的,可以这样说“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”
(1)极限思想的萌芽刘徽的割圆术、古希腊人的穷竭法,16世纪荷兰数学家斯泰文借助__直观,改进了古希腊人的穷结法,大胆应用极限思想思考问题
(2)极限思想的发展极限思想的发展是与微积分的建立密切__社会背景16世纪,资本主义萌芽,需要解决实际生产和技术问题,初等数学无法解决,要求数学提供一种新工具,用以描述和研究运动和变化的过程牛顿用极限思想研究瞬时速度路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度,让无限趋近于0,得到物体的瞬时速度莱布尼茨用极限的思想研究曲线的切线(这在数学分析书介绍很详细)因此有这样一说切线是割线的极限他们运用的极限概念,接近于极限的直观的语言描述如果当无限增大时,无限地接近于常数,称数列以为极限这个描述,容易接受,但没有量化,就不能作为科学论证的逻辑基础,正因为如此,才受到了英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的激烈攻击
(3)极限思想的完善极限思想的完善与微积分的严格化__在一起解决“无穷小”在“零”与“非零”之间的转化经过了大约一个世纪的完善18世纪,罗宾斯、达朗贝尔、波尔查诺等人先后明确表示必须将极限作为微积分的基础,并各自对极限作出定义19世纪,法国数学家苛西在前人的基础上,比较完整地阐述了极限概念和极限理论,他在《分析教程》中把无穷小视为以“0”为极限的变量这就澄清了无穷小“似0非0”的模糊认识魏尔斯特拉斯提出了极限的静态概念,即我们现在数学分析书上严格的极限概念如果对任何,总存在正整数,当时,不等式成立,则称数列以为极限,记作这个定义,借助不等式,通过与之间的关系,定量地、具体地刻画了两个无限过程“”之间的__这个定义也体现哲学中“静态”与“动态”有机地结合在一起因此,这个定义是严格的,可以作为科学论证的基础
(4)极限思想的思维功能极限思想在许多学科中有着广泛的应用,因为它揭示了变量与常量(动态与静态)、无限与有限的对立统一关系借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从“不变”认识“变”,从量变认识质变,从近似到精确无限与有限有本质的区别,比如对求和而言,有限个数的和是一般的代数和,而无限个数的和不是一般的代数和,而是将其定义为“部分和”的极限
二、极限的概念与性质
1、数列极限定义1(定义)——各类变形定义2(邻域定义)定义3(从__角度),__是有限集注意
1、定义3对理解上、下极限,子列的极限等概念非常有用;
2、定义3不能叙述为__是无限集
2、数列极限的性质唯一性、有界性、保号性、四则运算性质
3、函数极限自变量,可为函数,可为定常数,两类定义(
1、定义;
2、邻域定义)注意
1、函数(当时)的极限与函数是否在有函数值无关,换句话说,考虑函数(当时)的极限时不用考虑函数在这点的值,在考虑函数连续时才考虑函数在该点的值
2、与数列极限有类似的性质,只不过(局部)有界、(局部)保号
三、极限的存在条件一个函数或一个数列,其极限是否存在,它存在需要什么条件?在数学分析的研究中占有非常重要的地位,同时,也只有极限存在了,与极限有关的问题才能得以进一步讨论
1、迫敛性(数列、函数)
2、单调有界性(数列)
3、苛西准则(数列、函数)——由对偶原则不收敛
4、归结原理——数列极限与函数极限之间的__例1证明数列收敛注意,这是一个重要极限,证明该数列收敛的方法很多证法1先证明设,,有
(1)(用拉格朗日中值定理)由
(1)有,
(2)令,代入
(2)得故数列为单调增加数列又令,代入
(2)得从而数列有界,由单调有界原理知数列收敛证法2(利用均值不等式,等号成立的充分必要条件是)对任意的正整数,由均值不等式从而故数列为单调增加数列又于是,故数列有界,由单调有界原理知数列收敛证法3(用Bernoulli不等式,等号成立的充分必要条件是)令,则故数列为单调增加数列又从而,故数列有界,由单调有界原理知数列收敛证法4(利用确界原理)先证不等式事实上,由均值不等式,.固定不等式中的一个,表明数列有上界,由确界定理,有上确界于是,故由迫敛性证法5(用初等方法)将展开逐项比较,可证得数列单调有界例2证明数列收敛,其中思路分三种情形讨论例3设,数列满足,证明例4设,证明数列的极限存在,并求极限说明对于数列,如果满足,则必有,此时称满足这个条件的数列为压缩变差数列例5(作业)设数列满足,证明数列收敛,并求该极限例6设,证明数列收敛(第二届全国大学生数学竞赛第1题部分)例7(作业)若,证明数列都存在,且它们相等例8数列收敛其子列都收敛于同一极限回顾数列与子列的关系
(1)数列收敛任一子列都收敛(一定收敛于同一个数)
(2)数列有界,必有收敛的子列(致密性定理)例9设,证明数列收敛,并求极限思路用例8的结论例10证明不存在法1思路,用例8反证法2用苛西准则的否定形式证明例11(作业)设证明
(1);
(2);
(3)例11(作业)用单调有界原理证明数列收敛,并求其极限例12(作业)对每个自然数,方程在闭区间中有唯一根(怎么证明?),求例13证明函数在处不收敛证法1思路,归结原理证法2思路,苛西收敛准则例14设为有限数,的充分必要条件是对每个严格增加的正无穷大数列,都有例15(类似于单调有界原理)证明在区间上单调有界函数一定存在极限证法1思路,用单调有界原理与例14;证法2确界原理作业
1、证明
2、求提示
3、求
4、设,求
5、证明Dirichlet函数
四、极限的一些方法极限的存在性与求极限的方法是不能完全分开的求极限的方法,从本质上讲,也是在从某种角度去探讨极限的存在性,只不过这里的极限的存在是直接用计算的方法找得出来的在构造主义学派里,这种“存在”才是“实实在在”的存在,他们不承认其他的存在因此,我们将这部分单独列出来
1、一般方法定义,性质,迫敛性,单调有界原理,归结原理,利用函数的连续性,重要极限,苛西准则,罗必达法则,等价无穷小例1求极限例2求极限(高等数学考研题)
2、O.Stolz公式定理1(型)设严格递增,且,若,则其中可为有限数,证明(只对为有限数作证明)由条件,有又严格递增,则
(1)固定,在
(1)式中的分别用去替代,得到个不等式,将这些不等式加在一起,得从而
(2)(目标)又(强行靠用
(2)式)由于,存在,当时,下面两个不等式同时成立和,则当时,有定理2(型的Stotz定理)设,且数列严格单调减少,又,则有其中可为有限数,(证明方法与定理1类似)例3设,则证法
1、用极限的定义;证法2用定理1;例4设,证明提示先证,再利用定理1例5已知,证明提示用定义、定理1以及例6设,求例7设,证明提示,用定理1例8设,且(可为有限数、),则例9若,且存在,则注意该题目给出了正项级数“比值判别法”与“根值判别法”之间的__作业
1、设,求
2、证明(为正整数)
3、求
4、证明该题目表明
(1)∽
(2)调和级数是发散的有兴趣的同学,选做裴礼文编的《数学分析中的典型问题和方法》第67—68页练习
1.4和谢惠民等编的《数学分析习题课讲义》(上)第37页练习题
3、Toeplitz定理无穷三角矩阵……………………………为给定的数列,令定理3(Toeplitz定理)若
(1);
(2);
(3);
(4),则证明直接用极限的定义证明例1设,且,,证明例5(前面)已知,证明(能否用定理3去证明?)如果用定理3去做,必须先验证定理3的条件3,根据组合数的特点,即需要证明(不容易证明),由高斯判别法知,级数发散注意到
(1)令,则;
(2),故;
(3)著名的沃利斯(Wallis)公式得到∽所以例5可以用定理3去证明
4、不动点方法若方程有解,称是函数的不动点命题1(不动点与零点的关系)是函数的不动点是函数的零点命题2(压缩映象原理)若函数满足
(1);
(2)则函数在内有唯一不动点证法
一、先利用条件证明函数连续,再利用命题
(1)及零点存在定理证明不动点存在,再用条件证明唯一性证法
二、任取中一点,记为,构造数列,去证明数列收敛即可注意
(1)压缩映象原理与Lipschitz条件__在一起的;Lipschitz条件函数定义在上,,使得都有
(2)函数在上满足Lipschitz条件函数在上一致连续;
(3)证明方法二给出了一中证明数列极限的方法,只需要由递推公式构造函数即可
(4)在构造的函数可导的条件下,还可用拉格朗日中值定理
(5)还可以用这种方法构造的函数判定数列的单调性例1设,证明数列的极限存在,并求极限注意该例前面已经给出两种方法例2设,证明数列收敛于方程的唯一零点(第二届全国大学生数学竞赛第1题)例3设,数列满足,证明注意该例前面用单调有界原理证明
5、定积分定义(求和式的极限)定积分的极限定义,特别
(1)当时,有
(2)情形可以用定积分的换元法变形为例1例2例3例4例5例6提示∽,作差再计算
6、罗必达法则与泰勒展式、等价无穷小罗必达法则(回顾)泰勒展式(回顾)等价无穷小(回顾)常用的等价无穷小(回顾)常用的麦克劳林展式例7例8提示将展开
7、导数的定义导数的定义(回顾)例9设,求例10设在处可导,,求作业
1、设在上有定义,在处可导,且,,证明
2、计算
(1);
(2);
(3);
(4)
8、__的罗必达法则定理设在内可导,,若,则证明思路同Stoltz定理例1若,则提示取,用__的罗必达法则例2设在上可导,,则,提示取,用__的罗必达法则例3设在上连续,,则。