矩阵不等式的扩充与某些性质

论文矩阵不等式的扩充与某些性质学生姓名张旭东指导教师温瑞萍（太原师范学院数学系14011班山西太原030012）【内容摘要】本文扩充了矩阵不等式的定义，突破了在矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，并进一步讨论，证明了矩阵不等式的某些性质【关键词】正定矩阵矩阵不等式交换引言对于n阶实对称矩阵A，如果对任意的x，且x≠0都有，则称A为正定矩阵，记为A0；如果对于任意x，都有，则称A为半正定矩阵，记为；如果对任意的x，且x≠0，都有，则称A为负定矩阵，记为A0；如果对任意的x，都有，则称A为半负定的，记为A如果总存在使则称A为不定矩阵定义设AB均为n阶实对称矩阵，如果A-B，则称A大于等于B（或称B小于等于A）记作AB（或BA）；，如果A-B0，则称A大于B（或称B小于A），记作AB（或BA）引理A是正定矩阵的充要条件是A的任意阶顺序主子式大于零引理A是负定矩阵的充要条件-A是正定矩阵表示n阶实矩阵空间（）表示矩阵A的i阶顺序主子式引理1设A则A可唯一表示成一对称矩阵和__称矩阵的和即A=S（A）+K（A）其中SA=+KA=，则，SA表示A的对称部分，KA表示A的__称部分在英文中symmetrical表示“对称的”，所以在本文中用SA表示矩阵A的对称部分，skew表示“__称的”，而本文已用了SA表示矩阵A的对称部分，故用KA表示矩阵A的__称部分正文本文突破了矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，从而扩充了矩阵不等式的范围引理2A，B，如果K（A）=K（B），则A-B是对称矩阵定义设A，B，如果K（A）=K（B），且有A-B，则称A大于等于B（或称B小于等于A），记作AB；如果K（A）=K（B）且有A-B0，则称A大于B（或称B小于A），记作AB（或BA）如:A=B=AB均不是对称矩阵但KA=K（B）=KA=KBA-B=则A-B是对称矩阵，且=40==120==320A-B0即AB这里当n为1时，所定义的不等式便是实数不等式，当n大于或等于2时，所定义的不等式便与一般不等式有所不同，这里的大于或小于仅是一种记号，表示正定或负定，是矩阵中的一种偏序，而不是一般意义下的大小如任意两个实数总能比较大小，但任意两个n阶矩阵不一定能比较大小因为，首先对于任意的n阶矩阵A，BA-B便不一定是对称矩阵就算A-B是对称矩阵也不一定能比较大小如　A=　B=　A-B=　　显然A-B不是对称矩阵，当然不能判断正定A=B=A-B=A-B是对称矩阵．但由于=-1=1　AB或BA均不成立引理设A，B，C，D，且KA=KB=KC=KD则1）ABABkAkBkAkBk0kAkBkAkBk02）A0B0A+B03）A0B0A+B04）ABBAA=B5）ABBCAC6）ABCDA+CB+D7）ABBCAC8）A0A0B0B0且AB=BA则AB0AB09）ABA+CB+C由引理3的性质1）可得A，B则，则AB-A-B由引理3的性质4）可得A，则A0A0A=0定理4设A，B，则AB的充要条件是对任意__列满秩矩阵P都有证明必要性===xx0由于P列满秩Px0=此即充分性即xx00由于p的任意性知A-B0即AB引理设A，B，C，D则1如果ABC0，且AC=CABC=CB则ACBC；如果ABC0 且AC=CABC=CB则ACBC2如果AB0CD0且有AC=CABD=DBAB=BA或BC=CB那么ACBD3如果A0则定理6:如果ABAB0且AB=BA那么证明:充分性:A0B0且AB由引理3的2可知必要性:A-B0

①由于A0B0则可知0从而存在

①式两边同乘以则可得A-B0即AB定义:设0则=;O则=-定理7:设AB或AB且AB=BA则证明:即定理8:设n阶实矩阵或且则证明:由于或且所以则存在唯一正定矩阵使所以有意义而由定理6知定理9:对于任意n阶正定矩阵A存在唯一正定矩阵B使A=Bk证明:由于A是正定矩阵从而存在唯一正定矩阵C使A=C由数学归纳法可易证存在正定矩阵B使A=B对于正定矩阵A和B如果A=B则称B为A的2k次方根，记为B=推论:对于AAA0A不完全相等且可互相交换，则有性质1:设A是n阶不对称矩阵B=-则如A在两等号的特征值AB或BA不成立证明:显然可知A-B即-是对称矩阵设A的两特征值分别为且相对应的一特征值向量为0则不成立相对应的一特征值向量为则不成立性质2:设ABC为n阶正定矩阵且可相互交换并且可排序求证证明:由于BC可排序.所以有又同理性质3:设AB为n阶正定矩阵并可相互交换并且可排序则有证明:==由于由于AB可排序或则即性质4:并可相互交换可排序则证明:由例3可得同理可得==由于矩阵的乘法不满足交换律并且任意的n阶矩阵也不一定能比较大小这里的矩阵顺序与一般实数的顺序有所不同但两者之间又有一定的相似之处以上，只探讨了矩阵不等式的一些基本性质和基础知识并扩充了矩阵不等式的定义矩阵不等式的知识有待以后继续探讨____1．北大数学系《高等代数》高教出版社19872．南京____大学《矩阵论》科学出版社2000THEEXPANSIONOF__TRIXINEQUALITYANDSOME__RTAINQUALITIESStudentZhangXudongTeacherWenRuipingThedepartmentof__thofTaiYuanTeacher’sCollegeTaiYuanShanXi030012AbstractThispaperstu___stheexpansionof__trixinequalitybreakingthroughtherestrictionthatthe__trixin__trixinequalitymustbesymmetric__trixandinthispartIdiscussandtestifythesomequalitiesof__trixinequality.Keywordspositivedefinite__trix__trixinequalityexchange评语论文观点正确，概念清楚，结构合理，层次分明，__将矩阵不等式的定义做了扩充，性质做了一些推进性讨论，已具备__研究的基本能力PAGE2Lvkef0@

163.com。