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模块综合检测卷二测试时间120分钟 评价分值150分
一、选择题每小题共12个小题,每小题共5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求1.对于任意实数a,b,c,d命题
①若ab,c≠0,则acbc;
②若ab,则ac2bc2;
③若ac2bc2,则ab.其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3解析当c0时,
①不正确;当c=0时,
②不正确;只有
③正确.答案B2.历届现代奥运会召开时间表如下年份1896年1900年1904年…2016年届数123…n则n的值为 A.29B.30C.31D.32解析由题意得,历届现代奥运会召开时间构成以1896为首项,4为公差的等差数列,所以2016=1896+n-1·4,解得n=
31.答案C3.若点x,y位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为 A.-6B.-2C.0D.2解析y=|x|与y=2的图象围成一个三角形区域,如图所示,3个顶点的坐标分别是0,0,-2,2,2,2.在封闭区域内平移直线y=2x,在点-2,2时,2x-y=-6取最小值.答案A4.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的长为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为 A.50mB.50mC.25mD.m解析由正弦定理得=,又因为∠ABC=180°-45°-105°=30°,所以AB===50m.答案A5.等比数列{an}前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数,那么数列T10,T13,T17,T25中也是常数的项是 A.T10B.T13C.T17D.T25解析因为a3·a6·a18=··a9·q9=a是一个确定常数,所以a9为确定的常数.T17=a1·a2·…·a17=a917,所以选C.答案C6.以原点为圆心的圆全部都在平面区域内,则圆面积的最大值为 A.B.C.2πD.π解析作出不等式组表示的平面区域如图所示,由图可知,最大圆的半径为点0,0到直线x-y+2=0的距离,即=,所以圆面积的最大值为π·2=2π.答案C7.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是 A.B.C.D.解析设长为4,5的两边的夹角为θ,由2x2+3x-2=0得x=或x=-2舍,所以cosθ=,所以第三边长为=.答案B8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k等于 A.6B.7C.8D.9解析an==因为n=1时适合an=2n-10,所以an=2n-10n∈N*.因为5ak8,所以52k-
108.所以k
9.又因为k∈N*,所以k=
8.答案C9.函数fx=ln+的定义域为 A.-∞,-4∪[2,+∞B.-4,0∪0,1C.[-4,0∪0,1]D.[-4,0∪0,1解析函数fx有定义等价于或解得-4≤x0或0x
1.答案D10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析因为bcosC+ccosB=b·+c·===a=asinA,所以sinA=
1.因为A∈0,π,所以A=,即△ABC是直角三角形.答案B11.在数列{xn}中,=+n≥2,且x2=,x4=,则x10等于 A.B.C.D.解析由已知可得成等差数列,而=,=,所以2d=-=1,即d=.故=+10-1d=+9×=.所以x10=.答案A12.已知x0,y0,且+=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 A.-∞,-2]∪[4,+∞B.-∞,-4]∪[2,+∞C.-2,4D.-4,2解析因为x0,y0且+=1,所以x+2y=x+2y=4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=4,y=2时取等号,所以x+2ymin=
8.要使x+2ym2+2m恒成立,只需x+2yminm2+2m恒成立,即8m2+2m,解得-4m
2.答案D
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上13.若函数fx=则不等式fx4的解集是________.解析不等式fx4等价于或即0x或-4x≤
0.因此,不等式fx4的解集是-4,.答案-4,14.已知数列{an}的通项公式为an=2n-2004,则这个数列的前________项和最小.解析设an=2n-2004的对应函数为y=2x-
2004.易知函数y=2x-2004在R上是增函数,且当y=0时,x=
1002.因此,数列{an}是单调递增数列,且当1≤n≤1002时,an≤0;当n1002时,an
0.所以数列{an}的前1001项或前1002项的和最小.答案1001或
1002.15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A等于________.解析由正弦定理,且sinC=2sinB⇒c=2b.又a2-b2=bc,故由余弦定理得cosA=====,所以A=30°.答案30°16.2015·山东卷定义运算“⊗”x⊗y=x,y∈R,xy≠0.当x0,y0时,x⊗y+2y⊗x的最小值为________.解析因为x⊗y=,所以2y⊗x=.又x0,y0,故x⊗y+2y⊗x=+=≥=,当且仅当x=y时,等号成立.答案
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤17.本小题满分10分2015·江苏卷在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.1求BC的长;2求sin2C的值.解1由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3×=7,所以BC=.2由正弦定理知,=,所以sinC=·sinA==.因为AB<BC,所以C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinC·cosC=2··=.18.本小题满分12分设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+
4.1求{an}的通项公式;2设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.解1设q为等比数列{an}的公比,则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1舍去,因此q=2,所以{an}的通项为an=2·2n-1=2nn∈N+.2Sn=+n·1+·2=2n+1+n2-
2.19.本小题满分12分在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的周长为+1,且sinA+sinB=sinC.1求边c的长;2若△ABC的面积为sinC,求C的大小.解1由sinA+sinB=sinC及正弦定理可知a+b=c.又因为a+b+c=+1,所以c+c=+1,从而c=
1.2三角形面积S=absinC=sinC,所以ab=,a+b=.因为cosC===,又因为0Cπ,所以C=.20.本小题满分12分如图所示,公园有一块边长为2的等边三角形ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,点D在AB上,点E在AC上.1设AD=xx≥0,ED=y,求用x表示y的函数关系式;2如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又在哪里?解S△ABC=×4=,所以S△ADE=·x·AE·sin60°=,所以x·AE=2,所以AE=≤2,所以x≥
1.1在△ADE中,y2=x2+-2·x··cos60°=x2+-2,所以y=1≤x≤2.2令t=x2,则1≤t≤4,所以y=1≤t≤4.当t=2,即x=时,即当AD=,AE=时,DE最短为;当t=1或4,即AD=2,AE=1或AD=1,AE=2时,DE最长为.21.本小题满分12分已知函数fx=x2-axa∈R,1若不等式fxa-3的解集为R,求实数a的取值范围;2设xy0,且xy=2,若不等式fx+fy+2ay≥0恒成立,求实数a的取值范围.解1不等式fxa-3的解集为R,即不等式x2-ax-a+30的解集为R,所以Δ=a2+4a-30恒成立,即a2+4a-120恒成立,所以-6a
2.2不等式fx+fy+2ay≥0恒成立,即不等式x2-ax+y2-ay+2ay≥0恒成立,所以x2+y2≥ax-y恒成立.所以实数a的取值范围为-∞,4].22.本小题满分12分已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=
22.1求数列{an}的通项公式an;2若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c;3若2中的{bn}的前n项和为Tn,求证2Tn-3bn-
1.1解{an}为等差数列,因为a3+a4=a2+a5=22,又因为a3·a4=117,所以a3,a4是方程n2-22x+117=0的两个根.又因为公差d0,所以a3a4,所以a3=9,a4=
13.所以即所以an=4n-
3.2解由1知,Sn=n·1+·4=2n2-n,所以bn==,所以b1=,b2=,b3=.因为{bn}是等差数列,所以2b2=b1+b3,所以2c2+c=0,所以c=-或c=0舍去.3证明由2得bn==2n,Tn=2n+=n2+n,2Tn-3bn-1=2n2+n-32n-2=2n-12+4≥4,当n=1时取“=”,又n1,所以取不到“=”,即2Tn-3bn-
14.===≤4,当n=3时取“=”.上述两式中“=”不可能同时取到,所以2Tn-3bn-
1.。