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【金版学案】2016-2017学年高中数学第2章平面向量章末过关检测卷苏教版必修4时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.2015·四川卷向量a=2,4与向量b=x,6共线,则实数x= A.2 B.3 C.4 D.6解析因为a∥b,所以2×6-4x=0,解得x=
3.答案B2.++++化简后等于 A.B.C.D.解析原式=++++=.答案C3.2015·课标全国Ⅱ卷向量a=1,-1,b=-1,2,则2a+b·a= A.-1B.0C.1D.2解析法一因为a=1,-1,b=-1,2,所以a2=2,a·b=-3,从而2a+b·a=2a2+a·b=4-3=
1.法二因为a=1,-1,b=-1,2,所以2a+b=2,-2+-1,2=1,0.从而2a+b·a=1,0·1,-1=
1.答案C4.设点A-1,2,B2,3,C3,-1,且=2-3,则点D的坐标为 A.2,16B.-2,-16C.4,16D.2,0解析设Dx,y,由题意可知=x+1,y-2,=3,1,=1,-4,所以2-3=23,1-31,-4=3,14.所以所以答案A5.点C在线段AB上,且=,若=λ,则λ等于 A.B.C.-D.-解析因==-,所以=-,即=-=λ.所以λ=-.答案C6.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a,b的夹角为 A.150°B.120°C.60°D.30°解析设向量a,b夹角为θ,|c|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cosθ,则cosθ=-.又θ∈[0°,180°],所以θ=120°.答案B7.2015·陕西卷对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是 A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.a+b2=|a+b|2D.a+b·a-b=a2-b2解析根据a·b=|a||b|cosθ,又cosθ≤1,知|a·b|≤|a||b|,A恒成立.当向量a和b方向不相同时,|a-b|||a|-|b||,B不恒成立.根据|a+b|2=a2+2a·b+b2=a+b2,C恒成立.根据向量的运算性质得a+b·a-b=a2-b2,D恒成立.答案B8.2015·课标全国Ⅰ卷设D为△ABC所在平面内一点,=3,则 A.=-+B.=-C.=+D.=-解析=+=+=+-=-.答案A9.已知向量a=1,,b=3,m.若向量a,b的夹角为,则实数m= A.2B.C.0D.-解析因为a=1,,b=3,m,所以|a|=2,|b|=,a·b=3+m.又a,b的夹角为,所以=cos,即=.所以+m=,解得m=.答案B10.已知向量a=2,1,a·b=10,|a+b|=,则|b|= A.0B.2C.5D.25解析因为a=2,1,则有|a|=,又a·b=10,又由|a+b|=,所以|a|2+2a·b+|b|2=50,5+2×10+|b|2=50,所以|b|=
5.答案C11.2015·安徽卷△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.4a+b⊥解析在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=
2.又|a|=1,所以a·b=|a||b|cos120°=-1,所以4a+b·=4a+b·b=4a·b+|b|2=4×-1+4=
0.所以4a+b⊥.答案D12.在△ABC中,AB=BC=3,∠ABC=60°,AD是边BC上的高,则·的值等于 A.-B.C.D.9解析分别以BC,AD所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,根据已知条件可求得以下几点坐标A,D0,0,C,所以=,=.所以·=.答案C
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中横线上13.2015·江苏卷已知向量a=2,1,b=1,-2,若ma+nb=9,-8m,n∈R,则m-n的值为________.解析因为ma+nb=2m+n,m-2n=9,-8,所以所以所以m-n=2-5=-
3.答案-314.2015·北京卷在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=____________;y=________________.解析因为=2,所以=.因为=,所以=+.因为=-=+-=-,又=x+y,所以x=,y=-.答案 -15.若两个向量a与b的夹角为θ,则称向量“a×b”为“向量积”,其长度|a×b|=|a||b|·sinθ,若已知|a|=1,|b|=5,a·b=-4,则|a×b|=________.解析由|a|=1,|b|=5,a·b=-4得cosθ=-,又θ∈[0,π],所以sinθ=.由此可得|a×b|=1×5×=
3.答案316.2014·湖北卷若向量=1,-3,||=||,·=0,则||=________.解析因为=1,-3,又||==||,又·=0,所以∠AOB=90°.所以△AOB是等腰直角三角形,且||=||=
2.答案2
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题满分10分不共线向量a,b的夹角为小于120°的角,且|a|=1,|b|=2,已知向量c=a+2b,求|c|的取值范围.解|c|2=|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=17+8cosθ其中θ为a与b的夹角.因为0°θ120°.所以-cosθ1,所以|c|
5.所以|c|的取值范围为,5.
18.本小题满分12分如图所示,在△AOB中,点P在直线AB上,且满足=2t+tt∈R,求的值.解=-,所以=2t-+t,即1+2t=2t+t,得=+.而P,A,B三点共线,所以存在实数λ使得=λ,即=1-λ+λ,由平面向量基本定理,所以+=1-λ+λ=1,解得t=1,所以=2+,则=2,故=.19.本小题满分12分设e1,e2是正交单位向量,如果=2e1+me2,=ne1-e2,=5e1-e2,若A,B,C三点在一条直线上,且m=2n,求m,n的值.解以O为原点,e1,e2的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy,则=2,m,=n,-1,=5,-1,所以=3,-1-m,=5-n,0.又因为A,B,C三点在一条直线上,所以∥,所以3×0--1-m·5-n=0,与m=2n构成方程组解得或20.本小题满分12分已知向量a=-3,2,b=2,1,c=3,-1,t∈R.1求|a+tb|的最小值及相应的t值;2若a-tb与c共线,求实数t.解1因为a=-3,2,b=2,1,c=3,-1,所以a+tb=-3,2+t2,1=-3+2t,2+t.所以|a+tb|===≥=,当且仅当t=时取等号,即|a+tb|的最小值为,此时t=.2因为a-tb=-3,2-t2,1=-3-2t,2-t,又a-tb与c共线,c=3,-1,所以-3-2t·-1-2-t·3=
0.解之可得t=.21.本小题满分12分已知向量,,满足条件++=0,||=||=||=
1.求证△ABC为正三角形.证明因为++=0,所以+=-.所以+2=-
2.所以||2+||2+2·=||
2.所以·=-.所以cos∠AOB==-.所以∠AOB=120°.同理∠AOC=120°,∠COB=120°.即,,中任意两个夹角为120°.故△ABC为正三角形.22.本小题满分12分在四边形ABCD中,=6,1,=x,y,=-2,-3,∥.1求x与y的关系式;2若⊥,求x,y的值以及四边形ABCD的面积.解在四边形ABCD中,如图所示.1因为=++=x+4,y-2,所以=-=-x-4,2-y.又因为∥,=x,y,所以x2-y--x-4y=0,即x+2y=
0.2由于=+=x+6,y+1,=+=x-2,y-3.因为⊥,所以·=0,即x+6x-2+y+1y-3=0,所以y2-2y-3=0,所以y=3或y=-
1.当y=3时,x=-6,于是=-6,3,=0,4,=-8,0.所以||=4,||=
8.所以S四边形ABCD=||||=
16.当y=-1时,x=2,于是有=2,-1,=8,0,=0,-4.所以||=8,||=4,S四边形ABCD=
16.综上可知或四边形ABCD的面积为
16.。