高中数学第3章不等式3_2均值不等式第3课时均值不等式的应用——最值问题课时作业新人教B版必修5

2017春高中数学第3章不等式

3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用——最值问题课时作业新人教B版必修5基础巩固

一、选择题1．已知正数x、y满足＋＝1，则xy有　C　A．最小值　　　　B．最大值16C．最小值16D．最大值[解析]　∵x0，y0，∴＋≥2＝4，又∵＋＝1，∴4≤1，∴≤，∴xy≥16，故选C．2．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小值为　D　A．cm2B．4cm2C．3cm2D．2cm2[解析]　设一段为acm，另一段为bcm，则a＋b＝12，两个三角形的面积和为2＋2＝[2＋2]≥·＝2，当且仅当a＝b＝6时取等号，故选D．3．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是　B　A．≤B．＋≥1C．≥2D．≥1[解析]　取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B．具体比较如下∵0x＋y≤4∴≥故A不对；∵4≥x＋y≥2，∴≤2，∴C不对；又0＜xy≤4，∴≥∴D不对；＋＝≥＝，∵≥，∴＋≥

1.4．若－4x1，则当取最大值时x的值为　D　A．－3　　B．－2　　C．－1　　D．0[解析]　变形可得，＝＝＝＋，∵－4x1，∴－5x－10，∴原式＝＋＝－[－＋]≤－2＝－1，当且仅当－＝，即x＝0时取等号，故选D．5．已知a＋b＝ta0，b0，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于　C　A．2B．4C．2D．2[解析]　当a0，b0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝

2.故选C．6．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是　D　A．

[02]B．[－20]C．[－2，＋∞D．－∞，－2][解析]　∵2x＋2y≥2，∴2≤1，∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D．

二、填空题7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C单位mg/L随时间t单位h的变化关系为C＝，则经过2h后池水中该药品浓度达到最大.[解析]　C＝＝.因为t0，所以t＋≥2＝4当且仅当t＝，即t＝2时等号成立．所以C＝≤＝5，即当t＝2时，C取得最大值．8．已知a、b为实常数，函数y＝x－a2＋x－b2的最小值为a－b

2.[解析]　从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值留给读者完成．但若注意到x－a＋b－x为定值，则用变形不等式≥2更简捷．∴y＝x－a2＋x－b2≥2[]2＝.当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．∴当x＝，ymin＝.

三、解答题9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值.[解析]　x＋y＝x＋y·1＝x＋y·＋＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝＋2，等号在＝即＝时成立．∴x＋y的最小值为＋2＝18，又a＋b＝10，∴ab＝

16.∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝

2.10．设x0，y0，且x2＋＝1，求x的最大值.[解析]　∵x0，y0且x2＋＝1，∴x＝＝＝·≤·＝，当且仅当2x2＝1＋y2，即x＝，y＝时等号成立．∴x的最大值为.能力提升

一、选择题1．已知a0，b0，且a＋b＝1，则的最小值为　D　A．6B．7C．8D．9[解析]　∵a＋b＝1，a0，b0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．∴＝·＝·＝＝＝＋1≥＋1＝9，故选D．2．若直线2ax－by＋2＝0a0，b0被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为　D　A．B．C．2D．4[解析]　圆的标准方程为x＋12＋y－22＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心－12，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝a＋b＝1＋1＋＋≥2＋2＝4　等号在a＝b＝时成立．故所求最小值为4，选D．3．当x1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是　D　A．－∞，2]B．[2，＋∞C．[3，＋∞D．－∞，3][解析]　∵x1，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3当x＝2时等号成立．要使x＋≥a恒成立，则须使a≤

3.4．函数y＝logax＋3－1a0，且a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m0，n0，则＋的最小值为　D　A．2B．4C．D．[解析]　∵当x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，∴函数y＝logax＋3－1a0，且a≠1的图象恒过定点A－2，－1．∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝

2.∵m0，n0，∴＋＝2m＋n＋＝5＋＋≥当且仅当＝时，等号成立．故选D．

二、填空题5．某商场中秋前30天月饼销售总量ft与时间t0t≤30的关系大致满足ft＝t2＋10t＋16，则该商场前t天月饼的平均销售量如前10天月饼的平均销售量为最少为

18.[解析]　平均销售量y＝＝＝t＋＋10≥18，当且仅当t＝，即t＝4∈

[130]时等号成立，即平均销售量的最小值为

18.6．已知点Px，y在直线x＋3y－2＝0上，那么代数式3x＋27y的最小值是

6.[解析]　由题意，得x＋3y＝2，∴3x＋27y＝3x＋33y≥2＝2＝6，当且仅当3x＝33y，即x＝3y时，等号成立．由，得.∴当且仅当x＝1，y＝，3x＋27y取最小值

6.

三、解答题7．已知函数fx＝lgxx∈R＋，若x

1、x2∈R＋，判断[fx1＋fx2]与f的大小并加以证明.[解析]　[fx1＋fx2]≤f∵fx1＋fx2＝lgx1＋lgx2＝lgx1·x2，f＝lg，而x

1、x2∈R＋，x1x2≤2，而fx＝lgx在区间0，＋∞上为增函数．∴lgx1x2≤lg2，∴lgx1x2≤lg.即lgx1＋lgx2≤lg.因此，[fx1＋fx2]≤f．8．某单位决定投资3200元建一仓库长方体状，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求1仓库面积S的取值范围是多少？2为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[解析]　1设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.由条件知z≤3200，即4x＋9y＋2xy≤

320.∵x0，y0，∴4x＋9y≥2＝

12.∴6＋S≤160，即2＋6－160≤

0.∴0≤10，∴0S≤

100.故S的取值范围是0100]．2当S＝100m2时，4x＝9y，且xy＝

100.解之得x＝15m，y＝m．答仓库面积S的取值范围是0100]，当S取到最大允许值100m2时，正面铁栅长15m.。