还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
2017春高中数学第3章不等式
3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用——最值问题课时作业新人教B版必修5基础巩固
一、选择题1.已知正数x、y满足+=1,则xy有 C A.最小值 B.最大值16C.最小值16D.最大值[解析] ∵x0,y0,∴+≥2=4,又∵+=1,∴4≤1,∴≤,∴xy≥16,故选C.2.把长为12cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个三角形的面积之和的最小值为 D A.cm2B.4cm2C.3cm2D.2cm2[解析] 设一段为acm,另一段为bcm,则a+b=12,两个三角形的面积和为2+2=[2+2]≥·=2,当且仅当a=b=6时取等号,故选D.3.若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是 B A.≤B.+≥1C.≥2D.≥1[解析] 取x=1,y=2满足x+y≤4排除A、C、D选B.具体比较如下∵0x+y≤4∴≥故A不对;∵4≥x+y≥2,∴≤2,∴C不对;又0<xy≤4,∴≥∴D不对;+=≥=,∵≥,∴+≥
1.4.若-4x1,则当取最大值时x的值为 D A.-3 B.-2 C.-1 D.0[解析] 变形可得,===+,∵-4x1,∴-5x-10,∴原式=+=-[-+]≤-2=-1,当且仅当-=,即x=0时取等号,故选D.5.已知a+b=ta0,b0,t为常数,且ab的最大值为2,则t等于 C A.2B.4C.2D.2[解析] 当a0,b0时,ab≤=,当且仅当a=b=时取等号.因为ab的最大值为2,所以=2,t2=8,所以t==
2.故选C.6.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是 D A.
[02]B.[-20]C.[-2,+∞D.-∞,-2][解析] ∵2x+2y≥2,∴2≤1,∴2x+y≤=2-2,∴x+y≤-2,故选D.
二、填空题7.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C单位mg/L随时间t单位h的变化关系为C=,则经过2h后池水中该药品浓度达到最大.[解析] C==.因为t0,所以t+≥2=4当且仅当t=,即t=2时等号成立.所以C=≤=5,即当t=2时,C取得最大值.8.已知a、b为实常数,函数y=x-a2+x-b2的最小值为a-b
2.[解析] 从函数解析式的特点看,本题可化为关于x的二次函数,再通过配方求其最小值留给读者完成.但若注意到x-a+b-x为定值,则用变形不等式≥2更简捷.∴y=x-a2+x-b2≥2[]2=.当且仅当x-a=b-x,即x=时,上式等号成立.∴当x=,ymin=.
三、解答题9.已知正常数a、b和正实数x、y,满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a、b的值.[解析] x+y=x+y·1=x+y·+=a+b++≥a+b+2=+2,等号在=即=时成立.∴x+y的最小值为+2=18,又a+b=10,∴ab=
16.∴a、b是方程x2-10x+16=0的两根,∴a=2,b=8或a=8,b=
2.10.设x0,y0,且x2+=1,求x的最大值.[解析] ∵x0,y0且x2+=1,∴x===·≤·=,当且仅当2x2=1+y2,即x=,y=时等号成立.∴x的最大值为.能力提升
一、选择题1.已知a0,b0,且a+b=1,则的最小值为 D A.6B.7C.8D.9[解析] ∵a+b=1,a0,b0,∴ab≤,等号在a=b=时成立.∴=·=·===+1≥+1=9,故选D.2.若直线2ax-by+2=0a0,b0被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为 D A.B.C.2D.4[解析] 圆的标准方程为x+12+y-22=4,∴圆的直径为4,而直线被圆截得的弦长为4,则直线应过圆心-12,∴-2a-2b+2=0,即a+b=1,∴+=a+b=1+1++≥2+2=4 等号在a=b=时成立.故所求最小值为4,选D.3.当x1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是 D A.-∞,2]B.[2,+∞C.[3,+∞D.-∞,3][解析] ∵x1,∴x+=x-1++1≥2+1=3当x=2时等号成立.要使x+≥a恒成立,则须使a≤
3.4.函数y=logax+3-1a0,且a≠1的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m0,n0,则+的最小值为 D A.2B.4C.D.[解析] ∵当x=-2时,y=loga1-1=-1,∴函数y=logax+3-1a0,且a≠1的图象恒过定点A-2,-1.∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴-2m-n+2=0,即2m+n=
2.∵m0,n0,∴+=2m+n+=5++≥当且仅当=时,等号成立.故选D.
二、填空题5.某商场中秋前30天月饼销售总量ft与时间t0t≤30的关系大致满足ft=t2+10t+16,则该商场前t天月饼的平均销售量如前10天月饼的平均销售量为最少为
18.[解析] 平均销售量y===t++10≥18,当且仅当t=,即t=4∈
[130]时等号成立,即平均销售量的最小值为
18.6.已知点Px,y在直线x+3y-2=0上,那么代数式3x+27y的最小值是
6.[解析] 由题意,得x+3y=2,∴3x+27y=3x+33y≥2=2=6,当且仅当3x=33y,即x=3y时,等号成立.由,得.∴当且仅当x=1,y=,3x+27y取最小值
6.
三、解答题7.已知函数fx=lgxx∈R+,若x
1、x2∈R+,判断[fx1+fx2]与f的大小并加以证明.[解析] [fx1+fx2]≤f∵fx1+fx2=lgx1+lgx2=lgx1·x2,f=lg,而x
1、x2∈R+,x1x2≤2,而fx=lgx在区间0,+∞上为增函数.∴lgx1x2≤lg2,∴lgx1x2≤lg.即lgx1+lgx2≤lg.因此,[fx1+fx2]≤f.8.某单位决定投资3200元建一仓库长方体状,高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试求1仓库面积S的取值范围是多少?2为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?[解析] 1设正面铁栅长xm,侧面长为ym,总造价为z元,则z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy,仓库面积S=xy.由条件知z≤3200,即4x+9y+2xy≤
320.∵x0,y0,∴4x+9y≥2=
12.∴6+S≤160,即2+6-160≤
0.∴0≤10,∴0S≤
100.故S的取值范围是0100].2当S=100m2时,4x=9y,且xy=
100.解之得x=15m,y=m.答仓库面积S的取值范围是0100],当S取到最大允许值100m2时,正面铁栅长15m.。