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9 函数y=Asinωx+φ的图像习题课时间45分钟 满分80分班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题每小题5分,共5×6=30分1.已知函数fx=sinπx的图像的一部分如图1,则图2的函数图像所对应的函数解析式可以为 1 2A.y=f2x- B.y=f2x-1C.y=f-1D.y=f-答案B解析因为图2中的图像可以看作是图1中的图像先向右平移一个单位,再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一倍而得到,所以图2所对应的函数解析式应是y=f2x-1.故选B.2.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0在x=1处取得最大值,则 A.函数fx-1一定是奇函数B.函数fx-1一定是偶函数C.函数fx+1一定是奇函数D.函数fx+1一定是偶函数答案D解析因为函数fx=Asinωx+φA0,ω0在x=1处取得最大值,则说明sinω+φ=±1,解得ω+φ=kπ+,k∈Z,因此函数利用诱导公式,fx+1必然是偶函数,选D.3.设ω0,函数y=sinωx++2的图像向右平移个单位后与原图像重合,则ω的最小值是 A.B.C.D.3答案C解析因为ω0,函数y=sinωx++2的图像向右平移个单位后与原图像重合,说明至少平移一个周期,或者是周期的整倍数,因此=nT=n· ∴当n=1,ω=.4.函数fx=3sin3x+φ在区间[a,b]上是增函数,且fa=-2fb=2,则gx=2cos2x+φ在[a,b]上 A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值D.可以取得最小值答案C解析由fx在[a,b]上为增函数及fa=-2fb=2知,gx在[a,b]上先增后减,可以取到最大值.5.已知a是实数,则函数fx=1+asinax的图像不可能是 答案D解析当a=0时,fx=1,选项C符合;当0|a|1时,T2π,且fx的最小值为正数,选项A符合;当|a|1时,T2π,且fx的最小值为负数,选项B符合;在选项D中,由振幅得|a|1,则T2π,而由图像知T2π矛盾,故选D.6.已知函数fx=2sinωx+φ,x∈R,其中ω0,-πφ≤π.若fx的最小正周期为6π,且当x=时,fx取得最大值,则 A.fx在区间[-2π,0]上是增函数B.fx在区间[-3π,-π]上是增函数C.fx在区间[3π,5π]上是减函数D.fx在区间[4π,6π]上是减函数答案A解析由T=6π,得ω==.当x=时,sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,可得φ=+2kπ,k∈Z.而-πφ≤π,可得φ=.故fx=2sin,结合其图像可知选A.
二、填空题每小题5分,共5×3=15分7.已知函数fx=sinωx+φω0的部分图像如图所示,则ω=________.答案解析由图,知=-=,∴T=.又T==,∴ω=.8.已知函数fx=sin的图像向左平移个单位长度后与函数gx=sin的图像重合,则正数ω的最小值为________.答案解析函数fx=sin的图像向左平移个单位长度后,得到的图像所对应的函数是y=sin,其图像与函数gx=sin的图像重合,∴ω+=+2kπ,k∈Z.又ω0,∴当k=1时,ω取得最小值为.9.关于fx=3sin2x+有以下命题
①若fx1=fx2=0,则x1-x2=kπk∈Z;
②fx图像与gx=3cos2x-图像相同;
③fx在区间[-,-]上是减函数;
④fx图像关于点-,0对称.其中正确的命题是________.答案
①②解析f=3sin=3sin=-3,∴
①正确;由-x⇒-2x-,函数y=3sinx在上单调递增,知函数fx在上单调递增,
②正确;因为fx=3sin2,∴把y=3sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数fx=3sin的图像,
③不正确.
三、解答题共35分,11+12+1210.已知函数fx=2sin+10φπ,ω0为偶函数,且函数fx的图像的两相邻对称轴间的距离为.1求f的值;2将函数fx的图像向右平移个单位长度后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数gx的图像,求函数gx的单调递减区间.解1∵fx为偶函数,∴φ-=kπ+k∈Z,∴φ=kπ+k∈Z.又0φπ,∴φ=,∴fx=2sin+1=2cosωx+
1.又函数fx的图像的两相邻对称轴间的距离为,∴T==2×,∴ω=2,∴fx=2cos2x+1,∴f=2cos+1=+
1.2将fx的图像向右平移个单位长度后,得到函数f的图像,再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f的图像,所以gx=f=2cos2+1=2cos+
1.而2kπ≤-≤2kπ+πk∈Z,即4kπ+≤x≤4kπ+k∈Z时,gx单调递减.∴函数gx的单调递减区间是k∈Z.11.已知函数fx=Asinωx+φ在一个周期内的图像如图所示.1求函数fx的解析式;2设0xπ,且方程fx=m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围以及这两个根的和.解1观察图像,得A=2,T=÷=π.∴ω==2,∴fx=2sin2x+φ.∵函数fx的图像经过点,∴2sin=2,即sin=
1.又|φ|,∴φ=,∴函数fx的解析式为fx=2sin.2∵0xπ,∴方程fx=m的根的情况,相当于fx=2sin的图像与gx=m的图像的交点个数情况.又0xπ,∴在同一坐标系中画出fx=2sin0xπ和gx=mm∈R的图像如图所示.由图,可知当-2m1或1m2时,直线gx=m与曲线fx有两个不同的交点,即方程fx=m有两个不同的实数根,∴m的取值范围为-21∪12.当-2m1时,此时两交点关于直线x=对称,两根和为π;当1m2时,此时两交点关于直线x=对称,两根和为.12.已知fx=sin22x--2t·sin2x-+t2-6t+1x∈[,],其最小值为gt.1求gt的表达式.2当-≤t≤1时,要使关于t的方程gt=kt有一个实根,求实数k的取值范围.解1因为x∈[,],可得sin2x-∈[-,1].fx=[sin2x--t]2-6t+1x∈[,].当t-时,则当sinx=-时,fxmin=t2-5t+;当-≤t≤1时,则当sinx=t时,fxmin=-6t+1;当t>1时,则当sinx=1时,fxmin=t2-8t+2;故gt=2当-≤t≤1时,gt=-6t+1,令ht=gt-kt.欲使gt=kt有一个实根,则只需使或即可.解得k≤-8或k≥-
5.。