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习题课 数学归纳法明目标、知重点1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明n=k+1成立的常见变形技巧提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.1.归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分完全归纳法和不完全归纳法两种,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明.2.数学归纳法1应用范围作为一种证明方法,用于证明一些与正整数n有关的数学命题;2基本要求它的证明过程必须是两步,最后还有结论,缺一不可;3注意点在第二步递推归纳时,从n=k到n=k+1必须用上归纳假设.题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么?答 用数学归纳法证明不等式,首先要清楚由n=k到n=k+1时不等式两边项的变化;其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法,利用归纳假设证明n=k+1时的结论.例1 已知数列{bn}的通项公式为bn=2n,求证对任意的n∈N*,不等式··…·都成立.证明 由bn=2n,得=,所以··…·=···…·.下面用数学归纳法证明不等式··…·=···…·成立.1当n=1时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.2假设当n=kk≥1且k∈N*时不等式成立,即··…·=···…·成立.则当n=k+1时,左边=··…··=···…···======.所以当n=k+1时,不等式也成立.由
1、2可得不等式··…·=···…·对任意的n∈N*都成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑一凑归纳假设;二凑证明目标.在凑证明目标时,比较法、综合法、分析法都可选用.跟踪训练1 用数学归纳法证明+++…+1-n≥2,n∈N*.证明 当n=2时,左式==,右式=1-=,因为,所以不等式成立.假设n=kk≥2,k∈N*时,不等式成立,即+++…+1-,则当n=k+1时,+++…++1-+=1-=1-1-=1-,所以当n=k+1时,不等式也成立.综上所述,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.题型二 利用数学归纳法证明整除问题例2 求证an+1+a+12n-1能被a2+a+1整除,n∈N*.证明 1当n=1时,a1+1+a+12×1-1=a2+a+1,命题显然成立.2假设当n=kk∈N*时,ak+1+a+12k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2+a+12k+1=a·ak+1+a+12·a+12k-1=a[ak+1+a+12k-1]+a+12a+12k-1-aa+12k-1=a[ak+1+a+12k-1]+a2+a+1a+12k-
1.由归纳假设,上式中的两项均能被a2+a+1整除,故n=k+1时命题成立.由12知,对任意n∈N*,命题成立.反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”,先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑成n=k时的情形,再利用归纳假设使问题获证.跟踪训练2 证明x2n-1+y2n-1n∈N*能被x+y整除.证明 1当n=1时,x2n-1+y2n-1=x+y,能被x+y整除.2假设当n=kk∈N*时,命题成立,即x2k-1+y2k-1能被x+y整除.那么当n=k+1时,x2k+1-1+y2k+1-1=x2k+1+y2k+1=x2k-1+2+y2k-1+2=x2·x2k-1+y2·y2k-1+x2·y2k-1-x2·y2k-1=x2x2k-1+y2k-1+y2k-1y2-x2.∵x2k-1+y2k-1能被x+y整除,y2-x2=y+xy-x也能被x+y整除,∴当n=k+1时,x2k+1-1+y2k+1-1能被x+y整除.由1,2可知原命题成立.题型三 利用数学归纳法证明几何问题思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么?答 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,还需用到几何知识或借助于几何图形来分析,实在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.例3 平面内有nn∈N*,n≥2条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数fn=.证明 1当n=2时,两条直线的交点只有一个,又f2=×2×2-1=1,∴当n=2时,命题成立.2假设n=kk2时,命题成立,即平面内满足题设的任何k条直线交点个数fk=kk-1,那么,当n=k+1时,任取一条直线l,除l以外其他k条直线交点个数为fk=kk-1,l与其他k条直线交点个数为k,从而k+1条直线共有fk+k个交点,即fk+1=fk+k=kk-1+k=kk-1+2=kk+1=k+1[k+1-1],∴当n=k+1时,命题成立.由12可知,对任意n∈N*n≥2命题都成立.反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时,一要注意数形结合,二要注意有必要的文字说明.跟踪训练3 有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成fn=n2-n+2部分.证明 1n=1时,分为2块,f1=2,命题成立;2假设n=kk∈N*时,被分成fk=k2-k+2部分;那么当n=k+1时,依题意,第k+1个圆与前k个圆产生2k个交点,第k+1个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,所以平面上净增加了2k个区域.∴fk+1=fk+2k=k2-k+2+2k=k+12-k+1+2,即n=k+1时命题成立,由12知命题成立.[呈重点、现规律]1.数学归纳法证明与正整数有关的命题,包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等.2.证明问题的初始值n0不一定,可根据题目要求和问题实际确定n
0.3.从n=k到n=k+1要搞清“项”的变化,不论是几何元素,还是式子;一定要用到归纳假设.
一、基础过关1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n+3=n∈N*,验证n=1时,左边应取的项是 A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4答案 D解析 等式左边的数是从1加到n+
3.当n=1时,n+3=4,故此时左边的数为从1加到
4.2.用数学归纳法证明“2nn2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 A.2B.3C.5D.6答案 C解析 当n取
1、
2、
3、4时2nn2+1不成立,当n=5时,25=3252+1=26,第一个能使2nn2+1的n值为5,故选C.3.已知fn=1+++…+n∈N*,证明不等式f2n时,f2k+1比f2k多的项数是 A.2k-1项B.2k+1项C.2k项D.以上都不对答案 C解析 观察fn的表达式可知,右端分母是连续的正整数,f2k=1++…+,而f2k+1=1++…++++…+.因此f2k+1比f2k多了2k项.4.用数学归纳法证明不等式++…+n∈N*的过程中,由n=k递推到n=k+1时,下列说法正确的是 A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了B中的两项,但又减少了一项D.增加了A中的一项,但又减少了一项答案 C解析 当n=k时,不等式左边为++…+,当n=k+1时,不等式左边为++…+++,故选C.5.用数学归纳法证明“n3+n+13+n+23n∈N*能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开 A.k+33B.k+23C.k+13D.k+13+k+23答案 A解析 假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+k+13+k+23能被9整除.当n=k+1时,k+13+k+23+k+33为了能用上面的归纳假设,只需将k+33展开,让其出现k3即可.6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2ann∈N*.依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为________________.答案 Sn=解析 S1=1,S2=,S3==,S4=,猜想Sn=.7.已知正数数列{an}n∈N*中,前n项和为Sn,且2Sn=an+,用数学归纳法证明an=-.证明 1当n=1时,a1=S1=a1+,∴a=1an0,∴a1=1,又-=1,∴n=1时,结论成立.2假设n=kk∈N*时,结论成立,即ak=-.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=ak+1+-ak+=ak+1+--+=ak+1+-.∴a+2ak+1-1=0,解得ak+1=-an0,∴n=k+1时,结论成立.由12可知,对n∈N*都有an=-.
二、能力提升8.对于不等式≤n+1n∈N*,某学生的证明过程如下
①当n=1时,≤1+1,不等式成立.
②假设n=kn∈N*时,不等式成立,即≤k+1,则n=k+1时,===k+1+1,所以当n=k+1时,不等式成立,上述证法 A.过程全部正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案 D解析 从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证题要求.9.用数学归纳法证明++…+-.假设n=k时,不等式成立.则当n=k+1时,应推证的目标不等式是__________________________.答案 ++…+++-解析 观察不等式中的分母变化知,++…+++-.10.证明62n-1+1能被7整除n∈N*.证明 1当n=1时,62-1+1=7能被7整除.2假设当n=kk∈N*时,62k-1+1能被7整除.那么当n=k+1时,62k+1-1+1=62k-1+2+1=36×62k-1+1-
35.∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,∴当n=k+1时,62k+1-1+1能被7整除.由1,2知命题成立.11.求证++…+n≥2,n∈N*.证明 1当n=2时,左边=+++,不等式成立.2假设当n=kk≥2,k∈N*时命题成立,即++…+.则当n=k+1时,++…++++=++…++++-+++-+3×-=,所以当n=k+1时不等式也成立.由1和2可知,原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.12.已知数列{an}中,a1=-,其前n项和Sn满足an=Sn++2n≥2,计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Sn++
2.∴Sn=-n≥2.则有S1=a1=-,S2=-=-,S3=-=-,S4=-=-,由此猜想Sn=-n∈N*.用数学归纳法证明1当n=1时,S1=-=a1,猜想成立.2假设n=kk∈N*猜想成立,即Sk=-成立,那么n=k+1时,Sk+1=-=-=-=-.即n=k+1时猜想成立.由12可知,对任意正整数n,猜想结论均成立.
三、探究与拓展13.已知递增等差数列{an}满足a1=1,且a1,a2,a4成等比数列.1求数列{an}的通项公式an;2若不等式1-·1-·…·1-≤对任意n∈N*,试猜想出实数m的最小值,并证明.解 1设数列{an}公差为dd0,由题意可知a1·a4=a,即11+3d=1+d2,解得d=1或d=0舍去.所以an=1+n-1·1=n.2不等式等价于···…·≤,当n=1时,m≥;当n=2时,m≥;而,所以猜想,m的最小值为.下面证不等式···…·≤对任意n∈N*恒成立.下面用数学归纳法证明证明 1当n=1时,≤=,命题成立.2假设当n=k时,不等式,···…·≤成立,当n=k+1时,···…··≤·,只要证·≤,只要证≤,只要证≤2k+2,只要证4k2+8k+3≤4k2+8k+4,只要证3≤4,显然成立.所以,对任意n∈N*,不等式···…·≤恒成立.PAGE-10-。