还剩7页未读,继续阅读
文本内容:
章末检测卷
(二)
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.由1=121+3=221+3+5=321+3+5+7=42,…,得到1+3+…+2n-1=n2用的是 A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.特殊推理答案 A2.在△ABC中,E、F分别为AB、AC的中点,则有EF∥BC,这个问题的大前提为 A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF∥BC答案 A解析 这个三段论的推理形式是大前提三角形的中位线平行于第三边;小前提EF为△ABC的中位线;结论EF∥BC.3.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n= A.10B.11C.12D.13答案 B解析 ∵m2=1+3+5+…+11=×6=36,∴m=
6.∵23=3+533=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29,∵n3的分解中最小的数是21,∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=
11.4.用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是 A.假设是有理数B.假设是有理数C.假设或是有理数D.假设+是有理数答案 D解析 应对结论进行否定,则+不是无理数,即+是有理数.5.用数学归纳法证明1+++…+=时,由n=k到n=k+1左边需要添加的项是 A.B.C.D.答案 D解析 由n=k到n=k+1时,左边需要添加的项是=.故选D.6.已知fx+1=,f1=1x∈N*,猜想fx的表达式为 A.B.C.D.答案 B解析 当x=1时,f2===,当x=2时,f3===;当x=3时,f4===,故可猜想fx=,故选B.7.已知fx+y=fx+fy且f1=2,则f1+f2+…+fn不能等于 A.f1+2f1+…+nf1B.fC.nn+1D.f1答案 C解析 fx+y=fx+fy,令x=y=1,∴f2=2f1,令x=1,y=2,f3=f1+f2=3f1 ⋮ fn=nf1,∴f1+f2+…+fn=1+2+…+nf1=f1.∴A、D正确;又f1+f2+…+fn=f1+2+…+n=f.∴B也正确,故选C.8.对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断
①a-b2+b-c2+c-a2≠0;
②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数为 A.0B.1C.2D.3答案 B解析 若a-b2+b-c2+c-a2=0,则a=b=c,与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾,故
①正确.a=b与b=c及a=c中最多只能有一个成立,故
②不正确.由于“a,b,c是不全相等的正数”,有两种情形至多有两个数相等或三个数都互不相等,故
③不正确.9.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有
①两个球体;
②两个长方体;
③两个正四面体;
④两个正三棱柱;
⑤两个正四棱椎.A.4个B.3个C.2个D.1个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知,
①③属于相似体.10.数列{an}满足a1=,an+1=1-,则a2013等于 A.B.-1C.2D.3答案 C解析 ∵a1=,an+1=1-,∴a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,a5=1-=-1,a6=1-=2,∴an+3k=ann∈N*,k∈N*∴a2013=a3+3×670=a3=
2.11.定义在R上的函数fx满足f-x=-fx+4,且fx在2,+∞上为增函数.已知x1+x24且x1-2·x2-20,则fx1+fx2的值 A.恒小于0B.恒大于0C.可能等于0D.可正也可负答案 A解析 不妨设x1-20,x2-20,则x12,x22,∴2x24-x1,∴fx2f4-x1,即-fx2-f4-x1,从而-fx2-f4-x1=fx1,fx1+fx
20.12.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖的块数是 A.4n+2B.4n-2C.2n+4D.3n+3答案 A解析 方法一归纳猜想法观察可知除第一个以外,每增加一个黑色地板砖,相应的白地板砖就增加四个,因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项,公差是4的等差数列的第n项”.故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n+
2.方法二 特殊值代入排除法或由图可知,当n=1时,a1=6,可排除B答案当n=2时,a2=10,可排除C、D答案.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.从1=122+3+4=323+4+5+6+7=52中,可得到一般规律为____________.答案 n+n+1+n+2+…+3n-2=2n-12解析 通过观察可以得规律为n+n+1+n+2+…+3n-2=2n-
12.14.观察下列等式1+1=2×12+12+2=22×1×33+13+23+3=23×1×3×5…照此规律,第n个等式可为______________.答案 n+1n+2…n+n=2n×1×3×…×2n-1解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第n个等式左边为n+1n+2…n+n,由已知的三个等式右边的变化规律,得第n个等式右边为2n与n个奇数之积,即2n×1×3×…×2n-1.15.在平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为=,把这个结论类比到空间在三棱锥A—BCD中如图所示,面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E,则得到的类比的结论是________.答案 =解析 CE平分∠ACB,而面CDE平分二面角A—CD—B.∴可类比成,故结论为=.16.已知Sk=1k+2k+3k+…+nk,当k=123,…时,观察下列等式S1=n2+n,S2=n3+n2+n,S3=n4+n3+n2,S4=n2+n4+n3-n,S5=An6+n5+n4+Bn2,…可以推测,A-B=________.答案 解析 由S1,S2,S3,S4,S5的特征,推测A=.又各项的系数和为1,∴A+++B=1,则B=-.因此推测A-B=+=.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分1,,2能否为同一等差数列中的三项?说明理由.解 假设1,,2能为同一等差数列中的三项,但不一定是连续的三项,设公差为d,则1=-md2=+nd,m,n为两个正整数,消去d得m=+1n.∵m为有理数,+1n为无理数,∴m≠+1n.∴假设不成立.即1,,2不可能为同一等差数列中的三项.18.12分设a,b为实数,求证≥a+b.证明 当a+b≤0时,∵≥0,∴≥a+b成立.当a+b0时,用分析法证明如下要证≥a+b,只需证2≥2,即证a2+b2≥a2+b2+2ab,即证a2+b2≥2ab.∵a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,∴≥a+b成立.综上所述,对任意实数a,b不等式都成立.19.12分已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.证明 反证法假设三个方程中都没有两个相异实根,则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤
0.相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,a-b2+b-c2+c-a2≤
0.
①由题意a、b、c互不相等,∴
①式不能成立.∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.20.12分设a,b,c为一个三角形的三条边,s=a+b+c,且s2=2ab,试证s2a.证明 要证s2a,由于s2=2ab,所以只需证s,即证bs.因为s=a+b+c,所以只需证2ba+b+c,即证ba+c.由于a,b,c为一个三角形的三条边,所以上式成立.于是原命题成立.21.12分数列{an}满足a1=,前n项和Sn=an.1写出a2,a3,a4;2猜出an的表达式,并用数学归纳法证明.解 1令n=2,∵a1=,∴S2=a2,即a1+a2=3a
2.∴a2=.令n=3,得S3=a3,即a1+a2+a3=6a3,∴a3=.令n=4,得S4=a4,即a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4=.2猜想an=,下面用数学归纳法给出证明.
①当n=1时,a1==,结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即ak=,则当n=k+1时,Sk=ak=·=,Sk+1=ak+1,即Sk+ak+1=ak+
1.∴+ak+1=ak+
1.∴ak+1===.当n=k+1时结论成立.由
①②可知,对一切n∈N*都有an=.22.12分设fn=1+++…+,是否存在关于自然数n的函数gn,使等式f1+f2+…+fn-1=gn·[fn-1]对于n≥2的一切自然数都成立?并证明你的结论.解 当n=2时,由f1=g2·[f2-1],得g2===2,当n=3时,由f1+f2=g3·[f3-1],得g3===3,猜想gn=nn≥2.下面用数学归纳法证明当n≥2时,等式f1+f2+…+fn-1=n[fn-1]恒成立.
①当n=2时,由上面计算可知,等式成立.
②假设n=kk∈N*且k≥2时,等式成立,即f1+f2+…+fk-1=k[fk-1]k≥2成立,那么当n=k+1时,f1+f2+…+fk-1+fk=k[fk-1]+fk=k+1fk-k=k+1[fk+1-]-k=k+1[fk+1-1],∴当n=k+1时,等式也成立.由
①②知,对一切n≥2的自然数n,等式都成立,故存在函数gn=n,使等式成立.PAGE-9-。