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山西省太原市第五中学2016-2017学年高二数学12月阶段性检测试题
一、选择题(每小题4分共40分每小题只有一个正确答案)
1.设点关于原点的对称点是()A.B.C.D.
2.直线所经过的定点是 A.52B.23C.D.
593.已知为圆上关于点对称的两点,则直线的方程为()A.B.C.D.
4.椭圆的离心率为,则的值为()A.-21B.21C.或21D.或
215.已知直线是圆的对称轴,过点作圆的一条切线,切点为,则线段的长为()A.2B.C.3D.
6.已知圆若直线上总存在点使得过点的圆的两条切线互相垂直,则实数的取值范围为()A.B.C.D.
7.已知点,分别是椭圆的左,右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,若是锐角三角形,则该椭圆的离心率的取值范围()A.B.C.D.
8.已知实数满足则的最小值是()A.B.C.D.
9.已知椭圆是坐标平面内的两点,且与的焦点不重合.若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则()A.4B.8C.12D.
1610.设为坐标原点,,若点满足,则在上投影的最小值为( )A. B. C.D.
二、填空题(每小题4分,共20分)
11.直线与圆的位置关系是.
12.已知圆在曲线的内部,则半径的取值范围是.
13.当实数满足时,恒有成立,则实数的取值范围是.
14.在平面直角坐标系中,已知圆点是轴上的一个动点,直线分别切圆于两点,则线段长的取值范围为.
15.已知点在单位圆上运动,点到直线与的距离分为,则的最小值是 .
3、解答题(每小题10分,共40分)
16.光线沿直线射入,遇直线后反射,求反射光线所在的直线方程.
17.已知点直线及圆
(1)求过点的圆的切线方程;
(2)若直线与圆相交于两点,且弦的长为,求的值.
18.圆与圆的半径都是1,,过动点分别作圆与圆的切线分别为切点),使得,求动点的轨迹方程.
19.已知椭圆的离心率是长轴长等于圆的直径,过点的直线与椭圆交于两点,与圆交于两点;
(1)求椭圆的方程;
(2)求证直线的斜率之和是定值,并求出该定值;
(3)求的取值范围.
1.设点关于原点的对称点是BA.B.C.D.
2.直线所经过的定点是 A.52B.23C.D.59【答案】B【解析】由2k-1x-k+3y-k-11=0,得2x-y-1·k-x+3y-11=
0.所以有联立方程组解得故选B.
3.已知为圆上关于点对称的两点,则直线的方程为A.B.C.D.【分析】求出圆心坐标,利用圆x2+(y﹣1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)成中心对称,求出直线AB的斜率,进而可求直线AB的方程.【解答】解由题意,圆x2+(y﹣1)2=4的圆心坐标为C(0,1),∵圆x2+(y﹣1)2=4上存在A,B两点关于点P(1,2)成中心对称,∴CP⊥AB,P为AB的中点,∵kCP==1,∴kAB=﹣1,∴直线AB的方程为y﹣2=﹣(x﹣1),即x+y﹣3=0.故选A.
4.椭圆的离心率为,则的值为A.-21B.21C.或21D.或21【分析】依题意,需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论,从而可求得k的值.【解答】解若a2=9,b2=4+k,则c=,由=,即=得k=﹣;若a2=4+k,b2=9,则c=,由=,即=,解得k=21.故选C.【点评】本题考查椭圆的简单性质,对椭圆的焦点在x轴,y轴分类讨论是关键,考查推理运算能力,属于中档题.
5.已知直线是圆的对称轴,过点作圆的一条切线,切点为,则线段的长为A.2B.C.3D.【分析】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l kx+y﹣2=0经过圆C的圆心(3,﹣1),求得k的值,可得点A的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得AB的值.【解答】解由圆C x2+y2﹣6x+2y+9=0得,(x﹣3)2+(y+1)2=1,表示以C(3,﹣1)为圆心、半径等于1的圆.由题意可得,直线l kx+y﹣2=0经过圆C的圆心(3,﹣1),故有3k﹣1﹣2=0,得k=1,则点A(0,1),即|AC|=.则线段AB=.故选D.【点评】本题考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性质的合理运用,属于中档题.
6.已知圆若直线上总存在点使得过点的圆的两条切线互相垂直,则实数的取值范围为A.B.C.D.【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为O(0,0)到直线y=x+2的距离小于或等于,再由点到直线的距离公式得到关于k的不等式求解.【解答】解⊙O x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,∵y=x+2上存在一点P,使得过P的圆O的两条切线互相垂直,∴在直线上存在一点P,使得P到O(0,0)的距离等于,∴只需O(0,0)到直线y=x+2的距离小于或等于,故,解得k≥1,故选A.【点评】本题考查直线和圆的位置关系,由题意得到圆心到直线的距离小于或等于是解决问题的关键,属中档题.
7.已知点,分别是椭圆的左,右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,若是锐角三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是A.B.C.D.【分析】由题设知F1(﹣c,0),F2(c,0),A(﹣c,),B(﹣c,﹣),由△ABF2是锐角三角形,知tan∠AF2F1<1,所以,由此能求出椭圆的离心率e的取值范围.【解答】解∵点F
1、F2分别是椭圆的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,∴F1(﹣c,0),F2(c,0),A(﹣c,),B(﹣c,﹣),∵△ABF2是锐角三角形,∴∠AF2F1<45°,∴tan∠AF2F1<1,∴,整理,得b2<2ac,∴a2﹣c2<2ac,两边同时除以a2,并整理,得e2+2e﹣1>0,解得e>,或e<﹣,(舍),∴0<e<1,∴椭圆的离心率e的取值范围是().故选B.【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
8.已知实数满足则的最小值是A.B.C.D.【解析】将x2+y2-4x+6y+12=0化为x-22+y+32=1,|2x-y-2|=×,几何意义表示圆x-22+y+32=1上的点到直线2x-y-2=0的距离的倍,要使其值最小,只使最小,由直线和圆的位置关系可知min=-1=-1,∴|2x-y-2|的最小值为×-1=5-.【答案】A
9.已知椭圆是坐标平面内的两点,且与的焦点不重合.若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则A.4B.8C.12D.16【分析】根据已知条件,作出图形,MN的中点连接椭圆的两个焦点,便会得到三角形的中位线,根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为2a即可求出|AN|+|BN|.【解答】解设MN的中点为D,椭圆C的左右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,∵F1是MA的中点,D是MN的中点,∴F1D是△MAN的中位线;∴,同理;∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),∵D在椭圆上,∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,∴|AN|+|BN|=8.故选B.【点评】考查三角形的中位线,椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,a>0.10.设为坐标原点,,若点满足,则在上投影的最小值为( )A. B. C.D.【分析】利用向量的数量积求出目标函数,作出不等式组表示的可行域,作出与目标函数平行的直线,将直线平行由图知当与圆相切时,z最小.利用圆心到直线的距离等于半径求出z值.【解答】解设B(x,y),画出表示的平面区域,如图所示点B为图中的阴影部分中的任一点,由题意可知当B与图中的M或N重合时,cos∠AOB最小,且||也最小,在△AOM中,|OA|==,|OM|==,|AM|=2﹣1=1,则根据余弦定理得cos∠AOM==,由此时B与M重合得到cos∠AOB=,||=,则在上投影的最小值为||cos∠AOB=×=.故选D
11.直线与圆的位置关系是.相交
12.已知圆在曲线的内部,则半径的取值范围是.0r
213.当实数满足时,恒有成立,则实数的取值范围是.答案
14.在平面直角坐标系中,已知圆点是轴上的一个动点,直线分别切圆于两点,则线段长的取值范围为.【分析】设A(a,0),则以AC为直径的圆为x2+y2﹣ax﹣4y=0,与圆C的方程相减,得PQ所在直线的方程为ax﹣4y+12=0,求出圆心C(0,4)到直线ax﹣4y+12=0的距离d,由|PQ|=2,能求出线段PQ长的取值范围.【解答】解设A(a,0),则以AC为直径的圆的直径式方程为(x﹣0,y﹣4)•(x﹣a,y﹣0)=0,即x2+y2﹣ax﹣4y=0,与圆C的方程x2+(y﹣4)2=4,即x2+y2﹣8y+12=0相减,得ax﹣4y+12=0,∴PQ所在直线的方程为ax﹣4y+12=0,设圆心C(0,4)到直线ax﹣4y+12=0的距离为d,则|PQ|=2=2=2,∴a=0,即A是原点时,|PQ|min=2,当点A在x轴上无限远时,PQ接近于直径4,∴线段PQ长的取值范围为[2,4).故答案为[2,4).【点评】本题考查线段长的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用.
15.已知点在单位圆上运动,点到直线与的距离分为,则的最小值是 .【分析】设点P(cosu,sinu),求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d
1、d2,即可求出d1+d2的最小值.【解答】解方法一设点P(cosu,sinu),P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=(10﹣3cosu+4sinu),d2=3﹣cosu,∴d1+d2=(10﹣3cosu+4sinu)+3﹣cosu=5+(4sinu﹣8cosu)=5+sin(u﹣t),∴它的最小值=5﹣.故答案为5﹣.方法二设,则,即,由,得,所以.【点评】不同课程点到直线的距离公式,考查三角函数知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
16.光线沿直线射入,遇直线后反射,求反射光线所在的直线方程.【解析】法
1.由得直线与直线交点设上的点关于直线的对称点为,则,解得,,∴反射光线所在的直线方程,即法
2.设是直线上任意一点,关于对称的点为,∴,解得.∵点在直线上,∴,∴,∴反射光线所在的直线方程为.
17.已知点直线及圆
(1)求过点的圆的切线方程;
(2)若直线与圆相交于两点,且弦的长为,求的值.【解析】1由题意知圆心的坐标为12,半径r=2,当过点M的直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心12到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当过点M的直线的斜率存在时,设方程为y-1=kx-3,即kx-y+1-3k=0.由题意知=2,解得k=.∴方程为y-1=x-3,即3x-4y-5=0.故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.2∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为,∴2+2=4,解得a=-.
18.圆与圆的半径都是1,,过动点分别作圆与圆的切线分别为切点),使得,求动点的轨迹方程.解以的中点O为原点,所在的直线为轴,建立平面直角坐标系,则由已知可得因为两圆的半径均为1,所以设,则,即所以所求轨迹方程为(或)
19.已知椭圆的离心率是长轴长等于圆的直径,过点的直线与椭圆交于两点,与圆交于两点;
(1)求椭圆的方程;
(2)求证直线的斜率之和是定值,并求出该定值;
(3)求的取值范围.【分析】(Ⅰ)根据椭圆的简单几何性质,求出a、b的值即可;(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,求出直线RA、RB的斜率之和即可证明结论成立;(Ⅲ)讨论直线l的斜率是否存在,利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出|AB|•|MN|的取值范围.【解答】解(Ⅰ)因为椭圆C长轴长等于圆R x2+(y﹣2)2=4的直径,所以2a=4,a=2;…(1分)由离心率为,得e2===,所以==,得b2=2;…(2分)所以椭圆C的方程为+=1;…(3分)(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+1,与+=1联立,消去y,得(1+2k2)x2+4kx﹣2=0;设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=﹣,x1x2=﹣,…(5分)由R(0,2),得kRA+kRB=+=+=2k﹣(+)=2k﹣=2k﹣=0.…(7分)所以直线RA,RB的斜率之和等于零;…(8分)(Ⅲ)当直线l的斜率不存在时,|AB|=2,|MN|=4,|AB|•|MN|=8;…(9分)当直线l的斜率存在时,|AB|==•|x1﹣x2|=•=•=•,|MN|=2=2,…(11分)所以|AB|•|MN|=•×2=4•;因为直线l过点P(0,1),所以直线l与椭圆C和圆R均交于两点,令1+2k2=t,则t≥1,所以|AB|•|MN|=4•=4•<8,又y=4•在t≥1时单调递增,所以|AB|•|MN|=4≥4,当且仅当t=1,k=0等号成立;…(13分)综上,|AB|•|MN|的取值范围是[4,8].…(14分)【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题,也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题,考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力,是综合性题目. 。