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2015-2016学年邯郸市高二(上)期末数学试卷(理科) 班级姓名考号
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.1.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是( )A.a2>abB.ab<b2C.>D.>2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是( )A.∀x∈R,x2﹣2<0B.∀x∈R,x2﹣2≤0C.∃x0∈R,x﹣2<0D.∃x0∈R,x﹣2≤03.在等差数列{an}中,a5=5,a10=15,则a15=( )A.20B.25C.45D.754.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,则b=( )A.B.C.D.5.函数y=lnx+x在点(1,1)处的切线方程是( )A.2x﹣y﹣1=0B.2x+y﹣1=0C.x﹣2y+1=0D.x+2y﹣1=06.“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图,则f(x)的极值点有( )A.3个B.4个C.5个D.6个8.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a5=17,a2a4=16,则公比q=( )A.﹣4B.4C.﹣2D.29.经过点(3,﹣)的双曲线﹣=1,其一条渐近线方程为y=x,该双曲线的焦距为( )A.B.2C.2D.410.若函数f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值,则9a+3b的最小值为( )A.4B.9C.18D.8111.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是( )A.B.C.D.12.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1、F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|(≤λ≤2),∠F1PF2=,则椭圆离心率的取值范围为( )A.(0,]B.[,]C.[,]D.[,1)
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分.、共20分.13.已知=(2,3,1),=(x,y,2),若∥,则x+y= .14.若变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 .15.已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行,经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处,又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处,则t= .16.对于正整数n,设曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{an}的前n项和为Sn= .
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{an},公差为2,的前n项和为Sn,且a1,S2,S4成等比数列,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.18.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6,sinC=2sinA时,求△ABC的面积.19.已知抛物线C y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点(3,m)到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l,交C于A、B两点,若线段AB中点的纵坐标为﹣1,求直线l的方程.20.如图,在多面体ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F为BC的中点.(Ⅰ)求证AF⊥BD;(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.21.已知函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0,+∞)成立,求实数m的取值范围.22.曲线C上的动点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l与C交于A,B两点,当△ABO面积为时,求直线l的方程. 2015-2016学年邯郸市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析1.A.
2.D. 3.B.
4.B.
5.A.
6.B.
7.A.
8.D.9.D10.C11.C12.B【解答】解设F1(﹣c,0),F2(c,0),由椭圆的定义可得,|PF1|+|PF2|=2a,可设|PF2|=t,可得|PF1|=λt,即有(λ+1)t=2a
①由∠F1PF2=,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,即为(λ2+1)t2=4c2,
②由
②÷
①2,可得e2=,令m=λ+1,可得λ=m﹣1,即有==2(﹣)2+,由≤λ≤2,可得≤m≤3,即≤≤,则m=2时,取得最小值;m=或3时,取得最大值.即有≤e2≤,解得≤e≤.故选B. 13.10.
14.﹣2. 15..16.2n+2﹣4【解答】解∵y=xn(2﹣x),∴y=2nxn﹣1﹣(n+1)xn,∴曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣(n+1)2n=﹣2n,切点为(2,0),∴切线方程为y=﹣2n(x﹣2),令x=0得an=2n+1,∴Sn==2n+2﹣4,17.解
(1))由a1,S2,S4成等比数列得.化简得,又d=2,解得a1=1,故数列{an}的通项公式…
(2)∵∴由
(1)得,∴=….18.解
(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac,∴b2=a2﹣ac+c2,∴ac=a2+c2﹣b2,∴∵B∈(0,π),∴;
(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理可得c=2a,代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2,解得,,满足a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形,∴△ABC的面积S=×2×6=6.【点评】本题考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面积公式,属基础题. 19.解
(1)抛物线C y2=2px(p>0)的准线方程为,由抛物线的定义可知解得p=4∴C的方程为y2=8x.
(2)由
(1)得抛物线C的方程为y2=8x,焦点F(2,0)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减.整理得∵线段AB中点的纵坐标为﹣1∴直线l的斜率直线l的方程为y﹣0=﹣4(x﹣2)即4x+y﹣8=0【点评】本题考查抛物线的定义与方程,考查点差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.1证明∵AB=AC,F为BC的中点,∴AF⊥BC,又AE∥CD,且AE⊥底面ABC,AF⊂底面ABC,∴AF⊥DC,又BC∩DC=C,且BC、DC⊂面BCD,∴AF⊥面BCD,又BD⊂面BCD,∴AF⊥BD.…2解以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系如图,∴B(2,0,0),D(0,2,2),E(0,0,1),,,设面BED的一个法向量为,则,令z=2得x=1,y=﹣1,∴,又面ABE的一个法向量为,∴,∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是锐角,∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为.…【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.21.解(Ⅰ)∵函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极值2,∴,解得,∴f(x)=﹣x3+3x…(Ⅱ)∵(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0,+∞)成立,∴(m+3)x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x⇔m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0,+∞)成立设h(x)=xex﹣x2﹣2x,则h′(x)=ex+xex﹣2x﹣2=(x+1)(ex﹣2),令h′(x)=0解得x=ln2,且当0<x<ln2时,h′(x)<0;当x>ln2时,h′(x)>0,∴h(x)=xex﹣x2﹣2x在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,∴,∴m≤﹣(ln2)2.【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题.22.解(Ⅰ)设M(x,y)由题意可得,,整理得,则曲线C的方程为;(Ⅱ)当l斜率不存在时,l方程为x=1,此时l与C的交点分别为,,即有,则,由直线l斜率存在,设l方程为y=k(x﹣1),由,得,,∴.设O到l的距离为d,则,∴,解得k=±1.综上所述,当△ABO面积为时,l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用坐标法,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查运算能力,属于中档题. 。