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福建省福州市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题文
一、选择题(本大题有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1.抛物线的焦点坐标是A.B.C.D.2.如果命题“”为假命题,则()A.均为假命题B.中至少有一个真命题C.均为真命题D.中只有一个真命题3.“”是“方程表示的曲线为抛物线”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为( )A.2B.3C.4D.55.椭圆+=1的离心率为,则k的值为()A.-21B.21C.-或21D.或216.函数的一个单调递增区间是A.[-10]B.
[28]C.
[12]D.
[02]7.已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离等于6,那么点到另一焦点的距离等于()A.10 B.10或2 C.D.8.方程+=10化简的结果是( ).A.+=1B.+=1C.+=1D.+=19.双曲线C离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A.2B.3C.4D.10.已知函数的图象在点1,f1处的切线方程是,则f1+2f′1的值是 A. B.1 C. D.211.已知函数的图象如下图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是()12.已知都是定义在上的函数,且满足以下条件
①;
②;
③.若,则实数的值为A.B.2C.D.2或
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置上)13.命题“若,则”的否命题为14.过原点作曲线y=ex的切线,则切线方程为 15.在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是___________.16.已知是圆F为圆心上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为.
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.抛物线的顶点在原点,焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为
2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若直线与抛物线相交于A,B两点,求AB的长度.18.设命题实数满足,其中;命题实数满足;
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围
19.已知函数的图象过点(0,3),且在和上为增函数,在上为减函数.
(1)求的解析式;
(2)求在R上的极值.20.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位千克)与销售价格x(单位元/千克)满足关系式y=+10(x﹣6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售的价格为5元/千克时,每日可以售出该商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出最大值.21.已知函数f(x)=lnx+.(Ⅰ)求证f(x)≥1;(Ⅱ)若x﹣1>alnx对任意x>1恒成立,求实数a的最大值.22.如图,中心在原点的椭圆的焦点在轴上,长轴长为4,焦距为,为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在过的直线与椭圆交于,两个不同点,使以为直径的圆过原点?若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.绝密★启用前福建师大二附中2016~2017学年第一学期高二年段期末考数学(文)试卷考试范围xxx;考试时间100分钟;命题人xxx题号一二三总分得分注意事项1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分
一、选择题1.抛物线的焦点坐标是A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析由焦点的坐标公式可知,该抛物线的交点坐标为.考点抛物线的焦点.2.如果命题“”为假命题,则()A.均为假命题B.中至少有一个真命题C.均为真命题D.中只有一个真命题【答案】A【解析】试题分析由复合命题真假性可知,当与中至少有一个为真命题时,为真,若命题“”为假命题,则与必均为假命题,故选A.考点复合命题真假性判断.3.“”是“方程表示的曲线为抛物线”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析方程表示的曲线为抛物线,所以“”是“方程表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件考点
1.充分条件与必要条件;
2.抛物线方程4.点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为( )A.2B.3C.4D.5【解答】解∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴P到该抛物线焦点的距离|MF|=4=x+=4,∴x=3,故选B.5.椭圆+=1的离心率为,则k的值为()A.-21B.21C.-或21D.或216.函数的一个单调递增区间是A.[-10]B.
[28]C.
[12]D.
[02]7.已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离等于6,那么点到另一焦点的距离等于()A.10 B.10或2 C.D.8.方程+=10化简的结果是( ).A.+=1B.+=1C.+=1D.+=19.双曲线C的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A.2B.C.4D.【答案】C【解析】试题分析由题离心率为2则,渐近线方程为,可得;【考点】双曲线的方程及几何性质10.已知函数的图象在点1,f1处的切线方程是,则f1+2f′1的值是 A. B.1 C. D.211.已知函数的图象如下图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是()【答案】C【解析】试题分析由的图像,得,,,,则在上递增,在上递减,在上递增,故选C.考点1.函数的图像;2.导数的符号与函数的单调性.12.已知都是定义在上的函数,且满足以下条件
①;
②;
③.若,则实数的值为A.B.2C.D.2或【答案】A【解析】试题分析由得,所以或.又由,即,也就是,说明函数是减函数,故考点
1.抽象函数及其应用;
2.函数的单调性与导数的关系第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分
二、填空题13.命题“若,则”的否命题为【答案】“若,则”【解析】试题分析一个命题的否命题是对条件和结论同时否定,因而“若,则”的否命题为“若,则”.考点否命题.点评一个命题的否定题是对条件与结论同时否定,而一个命题的否定是条件不变,只否定结论.要注意它们俩个的区别.14.过原点作曲线y=ex的切线,则切线方程为 y=ex 15.在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是___________.16.已知是圆F为圆心上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为.16.答案评卷人得分
三、解答题17.抛物线的顶点在原点,焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为
2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若直线与抛物线相交于A,B两点,求AB的长度.【答案】
(1);
(2)20【解析】试题分析
(1)本题给出了抛物线的焦点位置及焦点到p=
2.则可先设再算可得标准方程.
(2)已知过直线方程且判断出过焦点,可与抛物线方程联立,在利用抛物线的定义,使求弦长问题化为,以减少运算量.关键求出K,结合条件圆过F,与抛物线方程联立,建立关于K的方程,求出直线方程.试题解析
(1)由题意可知p=2∴抛物线标准方程为
(2)直线过抛物线的焦点,设联立得x2-8x-4=0∴x1+x2=8∴考点
(1)求抛物线的标准方程
(2)抛物线中直线过焦点求弦长问题18.设命题实数满足,其中;命题实数满足;
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围【答案】
(1)
(2)【解析】试题分析首先解一元二次不等式得到命题pq对应的x的取值范围,
(1)中由为真可知命题pq均为真命题,解不等式组得到x的取值范围;
(2)由是成立的必要不充分条件得,进而得到关于的不等式,求得其范围试题解析1由得.又,所以,当时,,即为真命题时,实数的取值范围是由得.所以为真时实数的取值范围是.若为真,则,所以实数的取值范围是.2设,是的充分不必要条件,则所以,所以实数a的取值范围是.考点复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断
19.已知函数的图象过点(0,3),且在和上为增函数,在上为减函数.
(1)求的解析式;
(2)求在R上的极值.
19.
(1)的图象过点,,又由已知得是的两个根,故………5分
(2)由已知可得是的极大值点,是的极小值点…………10分20.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位千克)与销售价格x(单位元/千克)满足关系式y=+10(x﹣6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售的价格为5元/千克时,每日可以售出该商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出最大值.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.【专题】方程思想;分析法;函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】
(1)由x=5时,y=11,代入函数的解析式,解关于a的方程,可得a值;
(2)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值.【解答】解
(1)因为x=5时,y=11,y=+10(x﹣6)2,其中3<x<6,a为常数.所以+10=11,故a=2;
(2)由
(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x﹣6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x﹣3)[+10(x﹣6)2]=2+10(x﹣3)(x﹣6)2,3<x<6.从而,f′(x)=10[(x﹣6)2+2(x﹣3)(x﹣6)]=30(x﹣6)(x﹣4),于是,当x变化时,f(x)、f′(x)的变化情况如下表x(3,4)4(4,6)f(x)+0﹣f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.【点评】本题考查导数在实际问题中的运用求最值,求出利润的函数式和正确求导是解题的关键,考查运算能力,属于中档题.21.已知函数f(x)=lnx+.(Ⅰ)求证f(x)≥1;(Ⅱ)若x﹣1>alnx对任意x>1恒成立,求实数a的最大值.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.【专题】分类讨论;构造法;导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数,利用导数判断f(x)的单调性与最小值,即可证明结论成立.(Ⅱ)根据题意构造函数g(x)=x﹣1﹣alnx(x>0),利用导数判断函数的单调性,讨论a的取值,求出g(x)>0时实数a的最大值.【解答】证明(Ⅰ)∵函数f(x)=lnx+,∴函数f(x)的定义域(0,+∞),﹣﹣﹣﹣(1分)且f′(x)=﹣=,﹣﹣﹣﹣(2分)令f′(x)=0,解得x=1;当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表x(0,1)1(1,+∞)f′(x)﹣0+f(x)单调递减极小值单调递增﹣﹣﹣﹣(4分)∴f(x)min=f
(1)=1,﹣﹣﹣﹣(5分)∴f(x)≥1.﹣﹣﹣﹣(6分)解(Ⅱ)设g(x)=x﹣1﹣alnx,(x>0),依题意,对于任意x>1,g(x)>0恒成立;…(7分)g′(x)=1﹣=,…(8分)∴a≤1时,g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)上单调递增,当x>1时,g(x)>g
(1)=0,满足题意;…(10分)a>1时,当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表x(1,a)a(a,+∞)g′(x)﹣0+g(x)单调递减极小值单调递增∴g(x)在(1,a)上单调递减,…(12分)所以g(a)<g
(1)=0;…(13分)即当a>1时,总存在g(a)<0,不合题意;综上所述,实数a的最大值为1.…(14分)22.如图,中心在原点的椭圆的焦点在轴上,长轴长为4,焦距为,为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在过的直线与椭圆交于,两个不同点,使以为直径的圆过原点?若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.【答案】
(1);
(2)或【解析】试题分析
(1)本题由图可设出椭圆方程,又知由,可得椭圆的标准方程.
(2)存在性问题,可先假设存在设出直线方程(注意斜率不存在的情况),再利用题中的条件为直径的圆过原点,即,使直线方程与椭圆方程联立,建立关于的方程解得.试题解析
(1)设椭圆的方程为,所以,椭圆的方程为
(2)假设存在过的直线与椭圆交于、两个不同点,使以为直径的圆过原点,依题意可知.
①当直线的斜率不存在时,、分别为椭圆短轴的端点,不符合题意
②当直线的斜率存在时,设为,则直线的方程为由得令,得设,则又,直线的方程为,即或所以,存在过的直线与椭圆交于、两个不同点,使以为直径的圆过原点,其方程为或考点
(1)椭圆的几何性质及求椭圆的方程
(2)存在性问题几何性质与方程思想-22O1-1-11ABCDO-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD-22O1-1-11O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD。