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四川省成都市树德中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理
一、选择题(每小题5分,共60分)
1、设aR,则“a=1”是“直线l1ax+2y-1=0与直线l2x+a+1y+4=0平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2、已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,则其离心率为( )A.5B.C.D.
3、设某高中的学生体重y(单位kg)与身高x(单位cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=
0.85x-
85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该高中某学生身高增加1cm,则其体重约增加
0.85kgD.若该高中某学生身高为170cm,则可断定其体重必为
58.79kg
4、下列说法正确的是()A.命题“若则”的否命题为“若,则”B.命题“若”的否定是“”C.命题“若,则”的逆否命题为假命题D.命题“若,则”的逆命题为假命题
5、阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 A. B.C.D.
6、在长为10cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于AC,CB的长,则该矩形面积不小于9cm2的概率为( )A.B.C.D.
7、直线y=kx+3与圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4相交于M、N两点,若|MN|2,则直线倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.
8、已知集合表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式的概率为( )A.B.C.D.
9、已知实数满足,如果目标函数的最小值为,则实数等于()A.7B.5C.4D.
310、点M是抛物线y2=x上的点,点N是圆C1(x+1)2+(y﹣4)2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的点,则|MN|的最小值是( )A.B.C.2D.
11、某算法的程序框图如图所示,则执行该程序后输出的S等于()A.24B.26C.30D.
3212、已知圆C的方程,P是椭圆=1上一点,过P作圆的两条切线,切点为A、B,则的取值范围为( )A.B.C.D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示,从茎叶图的分布情况看,_______运动员的发挥更稳定.(填“甲”或“乙”)
14、已知圆O1x2+y2=1,圆O2x+42+y-a2=25,如果这两个圆有且只有一个公共点,则常数a=______
15、已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且椭圆和双曲线的离心率分别为、,则_____
16、已知直线y=k与曲线恰有两个不同交点,记k的所有可能取值构成集合A;椭圆上存在关于直线y=x+m对称的不同两点,记m的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A,B中分别抽出一个元素,,则的概率是_______
三、解答题
17、(10分)设命题p点(1,1)在圆的内部;命题q直线mx-y+1+2m=0k∈R不经过第四象限,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求的取值范围.
18、(12分)某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩均为整数分成六段[4050,[5060,…,
[90100]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息,回答下列问题
(1)求分数在[7080内的频率;
(2)估计本次考试的中位数;(精确到
0.1)
(3)用分层抽样(按[
6070、[7080分数段人数比例)的方法在分数段为[6080的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求恰有1人在分数段[7080的概率.
19、(12分)已知抛物线的焦点为,是抛物线上的一点,且.
(1)若椭圆与抛物线有共同的焦点,求椭圆的方程;
(2)设抛物线与
(1)中所求椭圆的交点为,求以和所在的直线为渐近线,且经过点的双曲线方程.
20、(12分)已知圆C x2+y2﹣4x+3=0,
(1)求过点的圆的切线方程;
(2)直线被圆C截得的弦长最短时,求直线的方程;
(3)过原点的直线与圆C交于不同的两点A、B,线段AB的中点P的轨迹为,直线与曲线只有一个交点,求的取值范围.
21、(12分)已知抛物线x2=2pyp>0,其焦点F到准线的距离为
1.过F作抛物线的两条弦AB和CD(点A、C在第一象限),且M,N分别是AB,CD的中点.
(1)若,求△FMN面积的最小值;
(2)设直线AC的斜率为kAC,直线BD的斜率为kBD,且kAC+4kBD=0,求证直线AC过定点,并求此定点.
22、(12分)在平面直角坐标系中,点为坐标原点,动点与定点F-1,0的距离和它到定直线的距离之比是.
(1)求动点P的轨迹的方程;
(2)过作曲线的不垂直于轴的弦为的中点直线与交于两点求四边形面积的最大值.树德中学高2015级第三期期末考试数学试题(理科)参考答案
一、选择题ADDDCBCDBADA
二、填空题
13、乙
14、±2或
015、
416、
三、解答题
17、解命题p,…………3分命题q……………6分1p真q假时,;
②p假q真时,.故m的取值范围为或………10分
18、解1分数在[7080内的频率为1-
0.010+
0.015+
0.015+
0.025+
0.005×10=1-
0.7=
0.3………3分2中位数…………6分3由题意,[6070分数段的人数为
0.15×60=9人;[7080分数段的人数为
0.3×60=18人.∴需在[6070分数段内抽取2人,分别记为a,b;在[7080分数段内抽取4人,分别记为c,d,e,f.设“从样本中任取2人,恰有1人在分数段[7080内”为事件A,所有基本事件有a,b,a,c,a,d,a,e,a,f,b,c,b,d,b,e,b,f,c,d,c,e,c,f,d,e,d,f,e,f,共15个…………8分其中事件A包含a,c,a,d,a,e,a,f,b,c,b,d,b,e,b,f,共8个.……10分∴PA=………12分
19、解:
(1)P到焦点距离等于P到准线距离,所以,故抛物线的方程为……………………….3分又由椭圆可知故所求椭圆的方程为……………....6分
(2)由消去得到解得舍去.所以则双曲线的渐近线方程为……………………8分由渐近线可设双曲线方程为.由点在抛物线上解得………………...……10分因为点在双曲线上故所求双曲线方程为:……………………………………….…………..12分
20、解
(1)或………3分
(2)直线恒过定点当直线时,弦长最短,此时直线的方程为………7分
(3)设点P(x,y),∵点P为线段AB的中点,曲线C是圆心为C(2,0),半径r=1的圆,∴CP⊥OP,∴化简得………9分由于点P在圆内,由得所以(注范围也可写成)………10分或………12分
21、解
(1)抛物线的方程为x2=2y,设AB的方程为联立,得x2﹣2kx﹣1=0,,同理∴S△FMN=|FM|·|FN|==当且仅当k=±1时,△FMN的面积取最小值
1.……....5分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),设AB的方程为,联立,得x2﹣2kx﹣1=0,∴x1x2=﹣1,同理,x3x4=﹣1……....7分故kAC+4kBD注意到点A、C在第一象限,x1+x3≠0,故得x1x3=4,……....10分直线AC的方程为化简得即所以,直线AC恒经过点(0,﹣2)……....12分
22、解
(1)由已知,得.两边平方,化简得+y2=1.故轨迹的方程是.…(3分)
(2)因AB不垂直于y轴,设直线AB的方程为x=my-1,Ax1,y1,Bx2,y2,由得m2+2y2-2my-1=
0.y1+y2=,y1y2=.x1+x2=my1+y2-2=,于是AB的中点为M,故直线PQ的斜率为-,PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0,…....5分圆心与直线mx+2y=0的距离为,|PQ|…....7分设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=.因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以mx1+2y1mx2+2y20,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|==,所以2d=.…....10分故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d=令,则S=()当即时,.…....12分。