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贞丰县普通高中2014-2015学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷(理科)满分150;考试时间120分钟;注意事项1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案1.某程序框图如图所示,若输出的,则判断框内应填()A、B、C、D、2.在面积为的内任投一点,则的面积大于的概率是()A.B.C.D.3.如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在阴影区域的概率为()A、B、C、D、4.分别写上数字1,2,3,…,9的9张卡片中,任取2张,观察上面的数字,两数之积为完全平方数的概率是()A、B、C、D、5.若,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.已知命题,,命题,,则下列说中正确()A、命题是假命题B、命题是真命题C、命题是真命题D、命题是假命题7.已知点是双曲线的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点,是直角三角形,则该双曲线的离心率是()A、B、C、D、
8.设是正三棱锥,是的重心,是上的一点,且,若,则则为A.B.C.D.9.a=1-t1-t,t,b=2,t,t,则|b-a|的最小值是A.B.C.D.10.椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长为,焦距为4,则该椭圆的方程为()A.B.C.D.11.已知双曲线的离心率为,则此双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.12.为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为()A.B.C.D.第II卷(非选择题)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上13.一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行,则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.14.已知集合,集合,若命题“”是命题“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是.15.已知双曲线的右焦点为,由向其渐近线引垂线,垂足为,若线段的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为.16.如图,在棱长为1的正方体中,和分别是和的中点,那么直线与所成角的余弦值为.
3、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)甲有大小相同的两张卡片,标有数字、;乙有大小相同的卡片四张,分别标有、、、.
(1)求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为奇数的概率;
(2)甲、乙分别取出一张卡,比较数字,数字大者获胜,求乙获胜的概率.18.(本小题满分12分)已知命题,命题.
(1)若是的充分条件,求实数的取值范围;
(2)若,“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.19.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线与椭圆相交于,两点,且的面积为,求直线的方程.20.(本小题满分12分)直线与双曲线相交于两点,
(1)求的取值范围;
(2)当为何值时,以为直径的圆过坐标原点.21.(本小题满分12分)平面内动点到定点的距离比它到轴的距离大.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过的直线与相交于两点,若,求弦的长.22.(本小题满分12分)如图,四边形是直角梯形,,,,.又,,,直线与直线所成的角为.
(1)求证;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.2014-2015学年数学参考答案1.A【解析】第一次,k=1,S=1进入循环第一次循环后,k=2,S=4≠57第二次循环后,k=3,S=11≠57第三次循环后,k=4,S=26≠57第四次循环后,k=5,S=57满足条件,应跳出循环故判断框内应填写“k>4?”考点算法,程序框图2.D【解析】试题分析依题意△PBC的面积大于,则△PBC的高(为△ABC的高),故由几何概型得△PBC的面积大于的概率为.考点面积型几何概型的求法3.D【解析】试题分析由题意可知该题是一个几何概型问题,试验发生的范围是一个矩形,而且豆子落在那一点是等可能的,其中阴影面积占,落在阴影区域的概率.考点几何概型问题.4.A【解析】试题分析所有的取法有种,两数之积为完全平方数有1和4;1和9;2和8;4和9,两数的积是完全平方数,两数之积为完全平方数的概率.考点等可能事件的概率.5.A.【解析】若a=1,则|a|=1是真命题,即a=1⇒|a|=1,由|a|=1可得a=±1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即|a|=1⇒a=1不成立.所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件,故选A.考点充分条件、必要条件.6.C【解析】试题分析命题为真命题.对命题,当时,,故为假命题,为真命题.所以C正确.考点逻辑与命题.7.B【解析】∵AB⊥x轴,又已知△ABE是直角三角形,且必有AE=BE,∴△ABE是等腰直角三角形,所以∠AEB=90°,∠AEF=45°,于是AF=EF不妨设A点在x轴上方,则A(-c,),故=a+c即b2=a(a+c),得c2-ac-2a2=0即e2-e-2=0,得e=2(e=-1舍去)考点双曲线标准方程,双曲线的性质,直线与双曲线位置关系8.A【解析】试题分析由是上一点,且,可得又因为是的重心,所以而,所以,所以,选A.考点
1.空间向量的加减法;
2.空间向量的基本定理.9.C.【解析】 b-a=1+t2t-10,∵|b-a|2=1+t2+2t-12=5t2-2t+2=+≥,∴|b-a|min=.10.C.【解析】试题分析由题意可设所求椭圆方程为,又因为长轴长为和焦距为4,所以、,即,,再由,故所求椭圆方程为,故选C.考点椭圆的标准方程.11.C【解析】试题分析因为,由于,所以此双曲线的渐近线方程为.考点双曲线的渐近线方程.12.B【解析】试题分析设点到准线的距离为,由抛物线线定义得,故,,,故的面积.考点抛物线定义和标准方程.13..【解析】试题分析如下图所示,易知三角形为直角三角形,昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心,半径为的圆在三角形区域内的部分,实际上就是三个扇形,将这三个扇形拼接起来就是一个半圆,其半径长为,面积为,三角形的面积为,因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.考点几何概型14.a<5【解析】命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,∴A⊆B,∴a<
5.15.【解析】试题分析F(c0),双曲线一条渐近线方程为,则过F与该渐近线垂直的直线方程为,联立解得P,所以PF的中点(,),代入双曲线方程求得=,所以双曲线的离心率为.考点双曲线的性质,两直线的位置关系16.【解析】以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则A100,M,C010,N.则=,=,∴cos〈,〉===.17.
(1);
(2)【解析】试题分析)
(1)古典概型的概率问题,关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式计算;
(2)当基本事件总数较少时,用列举法把所有的基本事件一一列举出来,要做到不重不漏,有时可借助列表,树状图列举,当基本事件总数较多时,注意区分是排列还是组合.试题解析
(1)乙随机在分别标有
1、
2、
3、4的四张卡片中抽取的两张卡片,其基本事件共有种,若要求两张卡片的数字之和为奇数,即一张为奇数,即在
1、3中抽一张,另一张为偶数,即在
2、4中抽一张,则两张卡片的数字之和为奇数这样的事件含有基本事件,根据古典概型概率计算公式的概率为.
(2)甲、乙分别取出一张卡,则基本事件总数为,乙获胜,即要求乙取出的卡片上标有的数字比甲取出的卡片上标有的数字大,故符合条件的数对有,有3对,根据古典概型概率计算公式得乙获胜的概率为.考点古典概型的概率计算18.
(1);
(2).【解析】试题分析
(1)当命题是用集合表示时,若是的充分条件,则表示命题所对应的集合是命题所对应集合的子集,转化为子集问题解决,通过数轴,列不等式组;2”为真命题,“”为假命题表示一真一假,所以分两种情况,真代表集合本身,假代表集合的补集,列不等式解决.试题解析解
(1),,那么解得2根据已知一真一假,真假时,解得,或假真时,解得考点命题的真假判定与应用19.
(1);
(2).【解析】试题分析
(1)先设出椭圆的方程,根据题设中的焦距求得c和焦点坐标,根据点(1,)到两焦点的距离求得a,进而根据求得b,得到椭圆的方程.
(2)设,将其与联立,得到,利用韦达定理可得,再根据的面积为,建立方程,求出,即可求出直线的方程.试题解析解
(1),故所求直线方程为.考点1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系.20.1错误!未找到引用源;
(2)错误!未找到引用源【解析】试题分析
(1)利用直线与双曲线交于不同的两点,所以它们的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程有两个不同的实数根,在二次项系数不为零的情况下,判别式应大于零.2以AB为直径的圆过原点实质是从而借助直线方程和韦达定理得到关于a的方程求出a值.1由错误!未找到引用源可得错误!未找到引用源依题意得错误!未找到引用源,解之得错误!未找到引用源……6分
(2)、设错误!未找到引用源两点的坐标分别为错误!未找到引用源,由题意可知错误!未找到引用源,所以错误!未找到引用源,由1知错误!未找到引用源,所以错误!未找到引用源所以错误!未找到引用源,即错误!未找到引用源………12分.考点直线与双曲线的位置关系.点评
(1)直线与双曲线的位置关系可以通过它们的方程联立消去y得到关于x的方程的根的个数来判断,进而可利用在保证二次项系数不为零的情况下,通过判别式来判断.
(2)以AB为直径的圆过原点,根据直径所对的圆周角为直角可得.21.
(1)
(2)8【解析】试题分析
(1)由题意,动点到定点的距等于它到x=-1的距离,由抛物线的定义知,p=2所以所求的轨迹方程为
(2)直线与联立,消去,整理可得设,则考点本题考查了抛物线的定义及弦长的求法点评解这道有关焦半径、焦点弦问题时,
①借用到抛物线焦点弦的一个重要结论,
②从整体上把握题设和目标的联系,这样可避开求解单个元素的麻烦.22.
(1)详见解析;
(2);
(3)【解析】试题分析
(1)先根据线面垂直的判定定理证PC⊥平面ABC,即可证得PC⊥AC
(2)用空间向量法求二面角先过C作BC的垂线,建立空间直角坐标系,再求各点的坐标,和各向量的坐标,再根据向量垂直的数量积公式求面的法向量,但需注意两法向量所成的角和二面角相等或互补
(3)在
(2)中已求出面的一个法向量,根据可求其距离试题解析解
(1)证明∵PC⊥BC,PC⊥AB,∴PC⊥平面ABC,∵∴PC⊥AC.2分
(2)在平面ABC内,过C作BC的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.设P(0,0,z),则..∵,且z>0,∴,得z=1,∴.设平面MAC的一个法向量为=(x,y,1),则由得得∴.平面ABC的一个法向量为..显然,二面角M﹣AC﹣B为锐二面角,∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为.8分
(3)点B到平面MAC的距离.12分考点1线线垂直、线面垂直;2空间向量法解决立体几何问题。