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河北正定中学高二年级第一学期期末考试数学试题(理)第I卷
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数,,若为实数,则实数的值为()A.B.C.D.
2.函数的最大值为()A.B.C.D.
13.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是A.13B.19C.20D.
514.设命题,命题一元二次方程有实数解.则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知变量满足约束条件,则的最大值为A.8B.11C.9D.
126.在正方体频率/组距O分数
0.
0050.
0100.
0150.
0200.
0250.
0300.035405060708090100中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小是A.B.C.D.7.已知,是由直线和曲线围成的曲边三角形的平面区域,若向区域上随机投一点,点落在区域PBAFEDCxyz内的概率是,则的值为A.B.C.D.
8.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是()A.求数列的前10项和B.求数列的前10项和C.求数列的前11项和D.求数列的前11项和
9.已知抛物线的准线为,过点且斜率为的直线与相交于点,与的一个交点为,若,则等于()A.B.C.D.
10.若直线与曲线有公共点,则的取值范围是()A.B.C.D.
11.已知一个几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为A.B.C.D.
212.已知函数的导函数为,且,设,是方程的两根,则的取值范围为()A.B.C.D.第Ⅱ卷
二、填空题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,若⊥,则
14.给出下列不等式,…,则按此规律可猜想第个不等式为
15.设,函数的导函数是奇函数,若曲线的一条切线斜率为,则切点的横坐标为
16.已知双曲线的左右焦点为,点在其右半支上,若,若∠,则该双曲线的离心率的取值范围为
三、解答题6道大题,共70分,须写出必要的解答过程.17.(本小题满分10分)在中角所对的边分别为且.1若求的值;2若的面积求的值.
18.(本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列,,且成等比数列.
(1)求数列的通项;
(2)设数列的前项和为,令,求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩均为整数分成六段[4050,[5060,……,
[90100]后得到如下频率分布表.根据相关信息回答下列问题分组频数频率[
40500.1[
506090.15[
607090.15[
7080180.3[809015
[90100]
30.05
(1)求的值,并画出频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;
(3)用分层抽样的方法在分数在[60,80内学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人的分数在[70,80内的概率.
20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,⊥平面,,,分别是的中点.1证明⊥平面;2求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
21.(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为且在椭圆上
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于、两点,试问轴上是否存在定点使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由
22.(本小题满分12分)已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)证明对任意在区间内均存在零点.河北正定中学16-17学年高二年级期末考试理科数学(答案)
1.D
2.C
3.C
4.A
5.B
6.D
7.D
8.B
9.D
10.A
11.B
12.C
13.
1214.
15.
16.
17.解:1因为又所以………2分由正弦定理得…………5分2因为所以.所以…………7分由余弦定理得.所以…………10分
18.解(Ⅰ)由题设知公差,由,成等比数列得=,解得(舍去),……………………………………3分故的通项.……………………………6分
(2)因为,所以,…………………9分所以…………12分
19.解(Ⅰ),……………………………1分频率/组距O分数
0.
0050.
0100.
0150.
0200.
0250.
0300.035405060708090100………………………………4分(Ⅱ)45×
0.1+55×
0.15+65×
0.15+75×
0.3+85×
0.25+95×
0.05=71…………………8分(Ⅲ)由题意知[6070中抽2人,设为A
1、A2,[7080中抽取4人,设为B
1、B
2、B
3、B4则任取两人共有15种取法A1A2,A1B1A1B2A1B3A1B4A2B1A2B2A2B3A2B4B1B2B1B3B1B4B2B3B2B4B3B4………………………………10分至多有一人在[7080总有9种情况……………………………12分答:分数在[70,80内的频率为
0.3,本次考试的平均分为71,至多有1人的分数在[70,80内的概率为.
20.1法一∵且为的中点∴⊥………3分连结∵,且为的中点∴⊥∴⊥平面……………………………6分法二证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.PBAFEDCxyz∵AP=AB=2,BC=AD=2,四边形ABCD是矩形,∴A,B,C,D,P的坐标为A000,B200,C22,0,D02,0,P002.又E,F分别是AD,PC的中点,∴E0,,0,F1,,1.……………………2分∴=22,-2,=-1,,1,=101.∴·=-2+4-2=0,·=2+0-2=
0.………………………………………4分∴⊥,⊥∴PC⊥BF,PC⊥EF.又BF∩EF=F,∴PC⊥平面BEF.……………………………………………………………………………6分2解由1知平面BEF的一个法向量==22,-2,………………………9分平面BAP的一个法向量==02,0,∴.设平面BEF与平面BAP的夹角为θ,则====,∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……………………………12分
21.解
(1)由题知,有椭圆的定义得,即……2分∴,所以椭圆方程为………………………4分
(2)假设在轴上存在点使得恒成立
①当直线的斜率不存在时,A1B1由于()=所以,或……………5分
②当直线的斜率为0时,A(,0)B(,0)若,则(,0)(,0)=,符合题意若,则(,0)(,0),舍………………6分所以猜想存在定点,使得恒成立证明如下
③当直线的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1AB由x=ty+1及得有∴;………………8分,∴=,………………………11分综上所述在轴上存在定点,使得恒成立…………………12分
22.解
(1),令,得或
①当>0时,>0的解集为∴的单调增区间为,单调减区间为……………………2分
②当<0时,<0的解集为∴的单调增区间为,单调减区间为………………………4分
(2)由
(1)可知,当>0时,在内递减,内单调递增∴
①当即时,在01递减>0,<0∴在01内有零点…………………………6分
②当0<<1,即0<<2时,在内递减在内单调递增Ⅰ)若<0>0∴在内存在零点………………………………………9分Ⅱ)若,因,∴在递减,∴,又因>0∴在内存在零点∴对任意,在区间01内均存在零点…………………………………………12分。