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湖南省岳阳县第一中学2016-2017学年度第一学期高二期末考试数学(理)时量120分钟分值150分
一、选择题本大题共12个小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足条件,则对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为A.105B.16C.15D.
13.设R,则“”是“直线与直线平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设变量满足约束条件,则的最大值是()A.7B.8C.9D.
105.下列命题中正确的是A.若则B.若为真命题则也为真命题C.“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件D.命题“若则”的否命题为真命题
6、设是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且,则的面积为()A.4B.C.D.
67、甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有____种用数字作答.A.720B.480C.144D.
3608、在上可导的函数的图象如图所示,则关于的不等式的解集为 A.-∞,-1∪01B.-10∪1,+∞C.-2,-1∪12D.-∞,-2∪2,+∞
9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.
5410、已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则的取值范围是A.B.C.D.
11、已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.3C.D.
12、已知函数,方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.
二、填空题本大题共5个小题每小题4分共20分.
13、计算的结果是_______.
14、展开式中的系数为80,则实数a的值为________.
15、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线,分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点均在第一象限内,若,则双曲线的离心率为____________.
16.如下图
1、
2、
3、4四个图案,每个图案都是由小正方形拼成,现按同样的规律小正方形的摆放规律相同进行拼图,设第n个图形包含fn个小正方形.1=;2=.
三、解答题本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、本小题满分10分证明:对一切大于1的自然数不等式均成立.
18、本小题满分12分已知数列的前项和为,且满足,.
(1)求证是等差数列;
(2)求的表达式;
(3)若,求证.19本小题满分12分已知函数.
(1)求的最小值;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.20本小题满分12分如图正方形与梯形所在平面互相垂直//CD点在线段上且不与重合.1当点是中点时,求证//平面;2当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.21.(本小题满分12分)己知,为上动点,过作轴于为上一点,且.(I)求点的轨迹的方程;(II)若2,1,3,0,过的直线与曲线相交于两点,则是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.22.(本小题满分12分)定义在R上的函数及二次函数满足且(I)求和的解析式;(II);(III)设,讨论的解的个数情况.湖南省岳阳县第一中学2016-2017学年度第一学期高二期末考试数学(理)答案解析时量120分钟分值150分
一、选择题本大题共12个小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足条件,则对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析,复数对应点坐标为位于第四象限
2.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为CA.105B.16C.15D.
13.设R,则“”是“直线与直线平行”的(C)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设变量x,y满足约束条件,则的最大值是(c)A.7B.8C.9D.
105.下列命题中正确的是DA.若则B.若为真命题则也为真命题C.“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件
6、设F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且,则的面积为(D)A.4B.C.D.6D.命题“若则”的否命题为真命题
7、甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有____种用数字作答.BA.720B.480C.144D.360解析先在6个位置找3个位置,有C种情况,甲、乙均在丙的同侧,有4种排法,而剩下三人有A种情况,故共有4CA=480种.
8、在R上可导的函数fx的图象如图所示,则关于x的不等式x·f′x<0的解集为 .A.-∞,-1∪01B.-10∪1,+∞C.-2,-1∪12D.-∞,-2∪2,+∞
9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.54【答案】B【解析】分类讨论若有2人从事司机工作,则方案有;若有1人从事司机工作,则方案有种,所以共有18+108=126种,故B正确
10、已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A)–13(B)–1(C)03(D)0【答案】A
11、已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为(A)A.B.3C.D.
12、已知函数,方程恰有三个不同的实数根,则实数的取值范围是(D)A.B.C.D.解析求导,令,∴在点处的切线方程为方程有且只有一个实数根若故当时,有一个实数根;时方程有两个不同实数根∴,选择D答案
13、计算的结果是_______.答案
14、展开式中的系数为80,则实数a的值为________.答案2解析展开式的通项公式为,令,所以的系数为,.
15、过双曲线-=1a>0,b>0的右焦点F作与x轴垂直的直线,分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N均在第一象限内,若=4,则双曲线的离心率为____________.答案解析取双曲线-=1的一条渐近线其方程为,设,=4则
①点在双曲线上,∴
②由
①②及得
16.如下图
1、
2、
3、4四个图案,每个图案都是由小正方形拼成,现按同样的规律小正方形的摆放规律相同进行拼图,设第n个图形包含fn个小正方形.1f6=;2fn=.解1f6=
61.2因为f2-f1=4=4×1,f3-f2=8=4×2,f4-f3=12=4×3,f5-f4=16=4×4,…由上式规律,所以得出fn+1-fn=4n.因为fn+1-fn=4n,所以fn+1=fn+4n,fn=fn-1+4n-1=fn-2+4n-1+4n-2=fn-3+4n-1+4n-2+4n-3=…=f1+4n-1+4n-2+4n-3+…+4=2n2-2n+
1.
17、本小题满分10分证明:对一切大于1的自然数不等式均成立.证明:
①当时左边;右边∵左边右边∴不等式成立…..3分
②假设时不等式成立即………………………………….5分则当时当时不等式也成立…………………………………………………………..9分由
①②知对于一切大于1的自然数不等式都成立……………………….10分
18、本小题满分12分已知数列的前项和为,且满足,.
(1)求证是等差数列;
(2)求的表达式;
(3)若,求证.【答案】
(1)略
(2)
(3)略【解析】
(1)证明∵,∴,∵,∴,又,∴是以2为首项,2为公差的等差数列.……………………………………………….4分
(2)由
(1)可得,∴,当时,,………………………………7分当时,,∴………………8分.
(3)证明由
(2)可得,∴.…………………………12分考点数列证明及数列求和.19本小题满分12分已知函数.
(1)求的最小值;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.【答案】
(1)
(2)【解析】
(1)因为所以令则所以当时,故在上单调递增,所以当时,,即,所以在上单调递增,故当时,取得最小值………………………………………..5分
(2)
①当时,对于任意的,恒有,又由
(1)得,故恒成立……………………………………………8分
②当时,令,则,由
(1)知在上单调递增,所以在上单调递增,而,取,由
(1)得,则,所以函数存在唯一的零点,当时,在上单调递减,所以当时,,即,不符合题意.综上,的取值范围为.………………………12分20本小题满分12分如图正方形与梯形所在平面互相垂直∥CD点在线段上且不与重合.1当点是中点时,求证//平面;2当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.解
(1)以分别为轴建立空间直角坐标系,则,,∴,∴平面的一个法向量,∵∴,即∥平面………….6分
(2)依题意设,设平面的法向量,则,则,平面的法向量,∵解得,∴为的中点,到平面的距离∴…..12分21.(本小题满分13分)己知⊙O x2+y2=6,P为⊙O上动点,过P作PM⊥x轴于M,N为PM上一点,且.(I)求点N的轨迹C的方程;(II)若A2,1,B3,0,过B的直线与曲线C相交于D、E两点,则kAD+kAE是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.Ⅰ设则由得………………………………………3分由于点在圆上则有即.点的轨迹的方程为.…………………………………………………………6分Ⅱ设过点的直线的方程为由消去得其中;…………………………………………………………8分……………………………………………10分是定值.………………………………………………………………………………12分22.(本小题满分13分)定义在R上的函数及二次函数满足且(I)求和的解析式;(II);(III)设,讨论的解的个数情况.解答.Ⅰ
①即
②由
①②联立解得.………………………………………………………………2分是二次函数且可设由解得..………………………………………………………………4分Ⅱ设依题意知当时在上单调递减………………………………………………………………6分在上单调递增解得实数的取值范围为.……………………………8分Ⅲ设由Ⅱ知的图象如图所示设则当即时有两个解有个解;当即时且有个解;……………………………………………………………………………………………………………10分当即时有个解;当即时有个解.综上所述当时方程有个解;当时方程有个解;当时方程有个解;当时方程有个解.…………………………………………………………………12分。