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2016年下期永州市第四中学期末综合质量检测理科数学(试题卷)注意事项
1.本卷共22题,满分150分,考试时间为120分钟请考生注意考试时间,开考15分钟后,考生禁止进入考室,监考老师回收试卷
2.请考生遵守考室秩序,发卷后注意检查试卷是否完整,如果妨碍答题现象请立即通知监考老师第I卷选择题(每题5分,共60分)
1.已知a,b∈R,则命题“若a2+b2=0,则a=0或b=0”的否命题是( )A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0C.若a≠0且b≠0,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠
02.双曲线的焦距为( )A.B.C.D.
3.下列求导运算正确的是( )A.(x)′=1B.(x2cosx)′=﹣2xsinxC.(3x)′=3xlog3eD.(log2x)′=
4.在复平面内,复数i(2﹣i)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5.若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9,则a=()A.8B.16C.32D.
646.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元
7.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有( )A.36种B.38种C.108种D.114种
8.空间四边形ABCD中,AB=CD,边AB.CD所在直线所成的角为30°,E、F分别为边BC、AD的中点,则直线EF与AB所成的角为( )A.75°B.15°C.75°或15°D.90°
9.已知F
1、F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,)B.(,+∞)C.(,2)D.(2,+∞)
10.如果函数满足对于任意的,都有恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.
11.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )A.B.C.D.
12.如图,正四面体ABCD的顶点C在平面α内,且直线BC与平面α所成角为45°,顶点B在平面α上的射影为点O,当顶点A与点O的距离最大时,直线CD与平面α所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.第II卷非选择题(共90分)二.填空题(每题5分,共20分)
13.若命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围为 .
14.已知抛物线,过点和的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是.
15.如图,第一个图是正三角形,将此正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得第2个图,将第2个图中的每一条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得第3个图,如此重复操作至第n个图,用an表示第n个图形的边数,则数列an的前n项和Sn等于 .
16.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将△ABE沿边BE折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,则翻折后的几何体中有如下描述
①AB与DE所成角的正切值是;
②AB∥CE
③VB﹣ACE体积是a3;
④平面ABC⊥平面ADC.其中正确的有 .(填写你认为正确的序号)三.解答题(请写出对应的文字说明,公式定理,解答过程,共6题,共70分)
17.(本题满分10分)已知命题p∃x0∈[﹣1,1],满足x02+x0﹣a+1>0,命题q∀t∈(0,1),方程x2+=1都表示焦点在y轴上的椭圆.若命题p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
18.(本题满分12分)如图,已知平面平面,与分别是棱长为1与2的正三角形,//,四边形为直角梯形,//,,点为的重心,为中点,.(Ⅰ)当时,求证//平面;(Ⅱ)若直线与所成角为,试求二面角的余弦值.
19.(本题满分12分)某市为了了解高二学生物理学习情况,在34所高中里选出5所学校,随机抽取了近千名学生参加物理考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)将34所高中随机编号为01,02,…,34,用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始,由左到右依次取两个数字,则选出来的第4所学校的编号是多少?495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206
(2)求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加物理考试的平均成绩;
(3)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这3名同学中考试成绩在80分以上(含80分)的人数记为,求的分布列及数学期望.(注频率可以视为相应的概率)
20.(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的左焦点为F,右顶点为A,动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点),设线段FM交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为,点M的横坐标为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若∠FPA为直角,求P点坐标;
(3)设直线PA的斜率为k1,直线MA的斜率为k2,求k1•k2的取值范围.
21.本题满分12分某旅游景区的观景台P位于高为的山峰上即山顶到山脚水平面M的垂直高度,山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB,山坡面可近似地看作平面PAB,且为以为底边的等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为,且.现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路,该公路的第一段第二段第三段…第n-1段依次为C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn如图所示,C0C1,C1C2,C2C3,…,Cn-1Cn与AB所成的角均为,且.
(1)问每修建盘山公路多少米,垂直高度就能升高100米若修建盘山公路至半山腰高度为山高的一半,在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站,索道PQ依山而建与山坡面平行,离坡面高度忽略不计,问盘山公路的长度和索道的长度各是多少?
(2)若修建盘山公路,其造价为万元.修建索道的造价为万元.问修建盘山公路至多高时,再修建上山索道至观景台,总造价最少
22.(本题满分12分)已知函数f(x)=lnx.
(1)求函数g(x)=f(x+1)﹣x的最大值;
(2)若对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若x1>x2>0,求证>.2016年下期永州四中高二年级期末考试理科数学参考答案题号123456789101112答案ABDABBACDCAA
13.a<﹣2或a>
214.
15.4n﹣
116.
①③④
17.因为∃x0∈[﹣1,1],满足,所以只须;∵,∴x0=1时,的最大值为3﹣a,∴3﹣a>0,所以命题p a<3;因为∀t∈(0,1),方程都表示焦点在y轴上的椭圆,所以t2﹣(2a+2)t+a2+2a+1>1即t2﹣(2a+2)t+a2+2a=(t﹣a)(t﹣(a+2))>0对t∈(0,1)恒成立,只须a+2≤0或a≥1,得a≤﹣2或a≥1;根据已知条件知,p和q中一真一假若p真q假,得,即﹣2<a<1;若p假q真,得,得a≥3综上所述,﹣2<a<1,或a≥3;∴a的取值范围为(﹣2,1)∪[3,+∞).
18.(Ⅱ)平面平面,易得平面平面,以为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,则,设,,,因为与所成角为,所以,得,,,设平面的法向量,则,取,面的法向量,所以二面角的余弦值
19.
(1)16;
(2);
(3)的分布列为0123……………………………10分所以.(或,所以.)…………………12分
20.
(1)由题意可知离心率e==,准线方程x==,解得a=3,c=2,由b2=a2﹣c2=5,∴求椭圆C的标准方程为;
(2)由∠FPA为直角,∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点,设P(x,±),∴圆心为O(,0),半径为,∴丨PO丨=,即=,整理得4x2﹣9x﹣9=0,解得x=﹣或x=3(舍去),∴y=±=±,∴P点坐标为
(3)设点P(x1,y1)(﹣2<x1<3),点,∵点F,P,M共线,x1≠﹣2,∴,即,∴,∵,∴,又∵点P在椭圆C上,∴,∴,∵﹣2<x1<3,∴,故k1•k2的取值范围为
21.1在盘山公路C0C1上任选一点D,作DE⊥平面M交平面M于E,过E作EF⊥AB交AB于F,连结DF,易知DF⊥C0F.sin∠DFE=,sin∠DC0F=.∵DF=C0D,DE=DF,∴DE=C0D,所以盘山公路长度是山高的10倍,索道长是山高的倍,所以每修建盘山公路1000米,垂直高度升高100米.从山脚至半山腰,盘山公路为10km.从半山腰至山顶,索道长
2.5km.当x∈01时,y′<0,函数y单调递减;当x∈12时,y′0,函数y单调递增,∴x=1,y有最小值,即修建盘山公路至山高1km时,总造价最小,最小值为15a万元.
22.
(1)∵f(x)=lnx,∴g(x)=f(x+1)﹣x=ln(x+1)﹣x,x>﹣1,∴.当x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0,∴g(x)在(﹣1,0)上单调递增;当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g(x)在x=0处取得最大值g
(0)=0.
(2)∵对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,∴在x>0上恒成立,进一步转化为,设h(x)=,则,当x∈(1,e)时,h′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x).要使f(x)≤ax恒成立,必须a.另一方面,当x>0时,x+,要使ax≤x2+1恒成立,必须a≤2,∴满足条件的a的取值范围是[,2].
(3)当x1>x2>0时,>等价于.令t=,设u(t)=lnt﹣,t>1则>0,∴u(t)在(1,+∞)上单调递增,∴u(t)>u
(1)=0,∴>.。