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武汉二中2016—2017学年度上学期期末考试高二数学试卷试卷满分150分
一、选择题(每小题5分,共60分)1.在武汉二中选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A、6B、8C、10D、122.已知,命题“若,则”的否命题是A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则3.设是区间上的函数,如果对任意满足的都有,则称是上的升函数,则是上的非升函数应满足()A、存在满足的使得B、不存在满足且C、对任意满足的都有D、存在满足的都有4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为()A、3B、4C、5D、65.已知集合满足,则满足条件的组合共有()组A、4B、8C、9D、276.设表示三条不同的直线,表示三个不同的平面,给出下列四个命题
①若,则;
②若,是在内的射影,,则;
③若,则其中真命题的个数为()A、0B、1C、2D、37.“”是“直线与直线相互垂直”的()条件A、充要B、充分非必要C、必要非充分D、既非充分也非必要8.已知中,,,在斜边上任取一点,则满足的概率为()A、B、C、D、9.如图,一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点,再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点,则它可以爬行的不同的最短路径有()条A、40B、60C、80D、12010.已知椭圆和点、,若椭圆的某弦的中点在线段上,且此弦所在直线的斜率为,则的取值范围为 A、B、C、D、11.如图,在四棱锥中,侧面是边长为4的正三角形,底面为正方形,侧面⊥底面,为底面内的一个动点,且满足,则点到直线的最短距离为 A、B、C、D、12.已知双曲线的离心率为2,过右焦点作直线交该双曲线于、两点,为轴上一点,且,若,则()A、2B、4C、8D、16
二、填空题(每小题5分,共20分)13.将4034与10085的最大公约数化成五进制数,结果为14.我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军!在一次比赛中,需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组(一组3个队,一组4个队)进行小组预赛,则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为15.在四棱柱中,底面为矩形,,且则异面直线与所成角的余弦值为16.如图,为抛物线上的两点,为抛物线的焦点且,为直线上一点且横坐标为,连结若,则
三、解答题(第17题10分,其余每题12分,共计70分)17.用数字
0、
2、
3、
4、6按下列要求组数、计算
(1)能组成多少个没有重复数字的三位数?
(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数?
(3)求即144的所有正约数的和(注每小题结果都写成数据形式)18.已知命题不等式对任意实数恒成立;命题存在实数满足;命题不等式有解
(1)若为真命题,求的取值范围.
(2)若命题、恰有两个是真命题,求实数的取值范围19.水是万物之本、生命之源,节约用水,从我做起我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位吨),将数据按照[
00.5,[
0.51,…,[
44.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.20.如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,.
(1)求证;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由21.甲乙两人下棋比赛,规定谁比对方先多胜两局谁就获胜,比赛立即结束;若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛比赛过程中,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每局比赛相互独立求
(1)比赛两局就结束且甲获胜的概率;
(2)恰好比赛四局结束的概率;
(3)在整个比赛过程中,甲获胜的概率22.已知椭圆C()的离心率为,,,,的面积为1
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为2的直线与椭圆交于、两点,求直线的方程;
(3)在上是否存在一点使得过的任一直线与椭圆若有两个交点、则都有为定值?若存在,求出点的坐标及相应的定值武汉二中2016—2017学年度上学期期末考试高二数学参考答案
1、选择题题号123456789101112答案BAABDCBCBACC
二、填空题
13、
14、
15、
16、
三、解答题
17、解
(1)百位数子只能是
2、
3、
4、6中之一,百位数字确定后,十位和个位数字的组成共有种方法,所以可以组成没有重复数字的三位数共有个分
(2)由题意,能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由
2、
4、0或
2、
4、3或
2、
4、6或
0、
3、6组成共有个分
(3),∴144的所有正约数的和为10分
18、解
(1)若命题为真命题,则对任意实数恒成立∴,即3分若命题为真命题,则,∴又∵为真命题,∴6分即的取值范围为7分
(2)若不等式有解,则当时,显然有解;当时,有解;当时,∵有解,∴,∴,∴不等式有解等价于,10分∴若命题、恰有两个是真命题,则必有或即的取值范围为12分
19、解
(1)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1∵频率=频率/组距组距∴∴4分
(2)由图,不低于3吨人数所占百分比为∴全市月均用水量不低于3吨的人数为万8分
(3)由图可知,月均用水量小于
2.5吨的居民人数所占百分比为即的居民月均用水量小于
2.5吨同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故假设月均用水量平均分布,则(吨).注本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差12分
20、
(1)证明∵面面,,∴面∴又∵∴面∴3分
(2)取中点为,连结,,∵∴∵∴以为原点,如图建系,易知,,,,则,,,设为面的法向量,则,则与面夹角有7分
(3)假设存在点使得面,设,,由
(2)知,,,,,∴,∵面,为的法向量,∴即∴综上所述,存在点,即当时,点即为所求12分
21、解
(1)由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第
一、第二局比赛都是甲获胜,概率为;3分
(2)由题意知前两局比赛为平手,第
三、第四局比赛为同一个人胜,其概率为;7分
(3)由题意知在整个比赛过程中第
一、第二局比赛两人为平手,第
三、第四比赛两人也为平手,第
五、第六局都为甲获胜,或者在第
一、第二局比赛两人为平手,第
三、第四局比赛两人也为平手,第
五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜其概率为12分
22、解
(1)由已知,,又,解得,∴椭圆的方程为3分
(2)设直线的方程为,则由可得,即∵∴∴直线的方程为即7分
(3)设、、,当直线不为轴时的方程为,联立椭圆方程得8分10分∴当且仅当即时(定值)即在轴上存在点使得为定值5,点的坐标为或经检验,当直线为轴时上面求出的点也符合题意12分(也可以通过特殊情形猜出定点坐标和定值然后再证明结论)。