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莆田六中2015-2016学年高二上学期期末考试数学B平行班满分150分考试时间120分钟
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题有且只有一项是符合题目要求的)
1.已知是虚数单位,则复数()A.B.C.D.
2.已知复数满足,则()A.B.C.D.
3.已知(为虚数单位),则复数在复平面内的对应点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.双曲线的焦距是A.8B.C.D.165.定积分的值为()A.B.C.D.6.已知函数在处的切线方程为,则()A.B.0C.1D.27.已知,是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若,平行于同一平面,则与平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若,不平行,则与不可能垂直于同一平面
8.如图所示,在直三棱柱中,,,点、分别是棱、的中点,则直线和所成的角是()A.B.C.D.
9.已知抛物线焦点为,过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点,其中点在轴下方,则()A.B.C.3D.
10.已知函数,下列结论中错误的是()A.,使得B.函数的图像一定是中心对称图形C.若是函数的极值点,则D.若是函数的极小值点,则函数在区间上单调递减
11.函数的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.,,B.,,C.,,D.,,
12.已知曲线和直线,若直线上有且只有两个点关于轴的对称点在曲线上,则的取值范围是A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13._____________14.是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数的值为
15.函数在处取到极大值,则_________16.已知函数与函数的图像关于直线对称,请根据这一结论求_______________
三、解答题本大题共6小题,17题10分,其它每题12分,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.已知抛物线及抛物线上的一点
(1)求抛物线在点处的切线的方程;
(2)求抛物线及切线与轴所围成图形的面积18.设函数的图像经过原点(1)求的值及函数的单调区间;(2)求函数在上的最大值和最小值19.如图,三棱柱的底面是边长为4的正三角形,侧棱平面,,为的中点.
(1)求证;
(2)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.
(3)若点为的中点,求二面角的余弦值.20.已知椭圆的焦点和短轴顶点都在圆上
(1)求椭圆方程;
(2)已知点,若斜率为1的直线与椭圆相交于两点,试探究以为底边的等腰三角形是否存在?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由
21.已知函数,其中为实常数,为自然对数的底数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数有最小值,并设函数的最小值为,求证;
22.已知函数,其中为实常数
(1)讨论函数的极值点个数;
(2)若函数有两个零点,求的取值范围;
(3)已知,对任意定义域内的两个不等实数都有,求的取值范围莆田六中2015-2016学年高二上期末考数学(B)评分标准一.选择题1-5DBCAB6-10ADCCD11-12CA
二、填空题
13、
114、
15、
116、
三、解答题
17.解
(1),……………2分切点,所以切线的方程为即……………4分
(2)令y=0则x=1所以切线与x轴的交点为……………5分所以……………7分……………8分……………10分
18.解
(1)∵∴…………………2分所以………4分∴,………5分列表如下极大极小 所以函数的单调增区间是和…………7分递减区间是…………8分
(2)∵,,∴在上的最大值是,最小值是………12分
19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.解(I)取AB中点O,连接OM,OC.∵M为A1B1中点,∴MO∥A1A,又A1A⊥平面ABC,∴MO⊥平面ABC,∴MO⊥AB…………….2分∵△ABC为正三角形,∴AB⊥CO又MO∩CO=O,∴AB⊥平面OMC又∵MC平面OMC∴AB⊥MC……………4分(II)以O为原点,以,,的方向分别为轴,轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.如图.依题意.…………….5分设,则.………….6分要使直线平面,只要…………….7分即,解得.…………….8分∴的坐标为.∴当为线段的中点时,平面.…………….9分(Ⅲ)取线段的中点,则,易知平面,故为平面的一个法向量.……….10分又由(II)知为平面的一个法向量.设二面角的平面角为,则.…………….11分(公式1分)∴二面角的余弦值为.…………….12分
20.(Ⅰ)设椭圆G的右焦点为,由题意可得,且,所以,故,所以,椭圆的方程为…………………………4分(Ⅱ)以AB为底的等腰三角形QUOTE存在理由如下设斜率为1的直线的方程为,代入中,化简得,
①………………………………………………6分因为直线与椭圆相交于A,B两点,所以,解得
②…………………………………………………………8分设,则,;
③于是的中点满足,;已知点P,若以AB为底的等腰三角形QUOTE存在,则,即,
④将代入
④式,得满足
②………………………………10分此时直线的方程为.………………………………12分
21.解
(1)定义域R……………1分当时,……………2分令解得,列表如下(略)……………3分所以的单调递减区间是,递增区间是……………5分
(2)证明
①当时,可知恒成立,所以在R上单调递增,无最小值……………7分
②当时令,解得,……………8分列表如下(略)所以……………9分要证明,则只需证明……………10分令,解得,……………11分列表如下(略)所以成立……………12分
22.解
(1)定义域……………1分
①当时,因为,所以在定义域内恒成立,无极值点……………2分
②当时,,令,则或(舍去)……………3分列表(省略)可知有一个极大值点,无极小值点即极值点个数为
1.综上,当时,无极值点,当时,有且只有一个极值点……………4分
(2)法一由
(1)可知
①当时,为增函数,至多只有一个零点,不合………5分
②当时,,……………6分当时,;当时,,……………7分要使得函数有两个零点,则须且只需,即解得,又,所以综上的取值范围是……………8分法二函数有两个零点等价于方程有两解等价于有两解……………5分令,则即为的图像与有且只有两个交点,令,则……………6分列表可知,当时,;当时,,……………7分作出函数的简图,由简图可知,所以的取值范围是……………8分
(3)由
(1)可知时,为增函数,不妨设,则原不等式即为,即……………9分记,则由的任意性可知,要使得上式恒成立,须且只需为增函数……………10分所以在定义域内恒成立即当且仅当时取等号……………11分所以,所以解得所求的取值范围为……………12分B。