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舒兰一中高二年级上学期第一次月考数学试卷考试时间120分钟分数150分
1、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.对于空间中任意四点A、B、C、D,都有等于()A.B.C.D.2.抛物线y=ax2的准线方程是y-2=0,则a的值是 A.B.-C.8D.-83.如果双曲线经过点6,,且它的两条渐近线方程是y=±x,那么双曲线方程是 A.-=1B.-=1C.-y2=1D.-=14.下列有关命题的说法正确的是 A.“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题B.“若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题C.“若空间向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题D.命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>05.设x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤17.过点0,-2的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于 A.2B.C.2D.8.已知抛物线y2=2pxp0,过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-29.已知椭圆+=1ab0的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是 A.B.C.D.10.椭圆+=1的焦点坐标为 A.-40和40 B.0,-和0,C.-30和30D.0,-9和
0911.已知双曲线的方程为-=1a>0,b>0,A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为 A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m12.已知双曲线C-=1的焦距为10,点P21在C的渐近线上,则C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1
二、填空题本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上
13.抛物线上的点到直线距离的最小值是___________14.椭圆+=1a为定值,且a>的左焦点为F,直线x=m与椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________.15.设P为曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是________.16.已知抛物线y2=4x,过点P40的直线与抛物线相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,则y+y的最小值是________.
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.本题满分10分已知p x2-2x-3<0,若|x-1|<aa>0是p的一个必要不充分条件,求a的取值范围.18.本题满分12分已知点P34是椭圆+=1a>b>0上一点,F
1、F2是椭圆的两个焦点,若·=
0.1求椭圆的方程;2求△PF1F2的面积.19.本题满分12分已知a>0,a≠1,设p函数y=logax+1在x∈0,+∞内单调递减,q曲线y=x2+2a-3x+1与x轴交于不同的两点.若p或q为真,p且q为假,求a的取值范围.20.本题满分12分已知椭圆C1+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.1求椭圆C2的方程;2设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.21.本题满分12分已知过抛物线y2=2pxp>0的焦点,斜率为2的直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2x1<x2两点,且|AB|=
9.1求该抛物线的方程;2O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.22.本题满分12分平面直角坐标系xOy中,过椭圆M a>b>0右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.1求M的方程;2C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.DBCCACCBDCBA
13.4/
314.2/
315.x2-4y2=
116.3217解由于p x2-2x-3<0⇔-1<x<3,|x-1|<a⇔1-a<x<1+aa>0.依题意,得{x|-1<x<3}{x|1-a<x<1+a}a>0,∴或解得a>
2.则a的取值范围是2,+∞.18解析1∵·=0,∴△PF1F2是直角三角形,∴|OP|=|F1F2|=c.又|OP|==5,∴c=
5.∴椭圆方程为+=
1.又P34在椭圆上,∴+=1,∴a2=45或a2=
5.又a>c,∴a2=5舍去.故所求椭圆方程为+=
1.2由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,
①又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
②由
①2-
②得2|PF1|·|PF2|=80,∴=|PF1|·|PF2|=×40=
20.19解y=logax+1在0,+∞内单调递减,故0<a<
1.曲线y=x2+2a-3x+1与x轴交于两点等价于2a-32-4>0,即a<或a>.又a>0,∴0<a<或a>.∵p或q为真,∴p,q中至少有一个为真.又∵p且q为假,∴p,q中至少有一个为假,∴p,q中必定是一个为真一个为假.
①若p真,q假.即函数y=logax+1在0,+∞内单调递减,曲线y=x2+2a-3x+1与x轴不交于两不同点,则∴≤a<
1.
②若p假,q真.即函数y=logax+1在0,+∞内不是单调递减,曲线y=x2+2a-3x+1与x轴交于两点,因此,∴a>.综上可知,实数a的取值范围为∪.20解析1由已知可设椭圆C2的方程为+=1a>2.其离心率为,故=,则a=4,故椭圆C2的方程为+=
1.2法一A、B两点的坐标分别记为xA,yA,xB,yB,由=2及1知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得1+4k2x2=4,所以x=,将y=kx代入+=1中,得4+k2x2=16,所以x=,又由=2得x=4x,即=,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.法二A、B两点的坐标分别记为xA,yA,xB,yB,由=2及1知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得1+4k2x2=4,所以x=,由=2得x=,y=,将x,y代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±
1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.21解析1直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.2由于p=4,则4x2-5px+p2=0即x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,从而A1,-2,B44.设Cx3,y3,则=x3,y3=1,-2+λ4,4=4λ+14λ-2,又y32=8x3,即[22λ-1]2=84λ+1,即2λ-12=4λ+1,解得λ=0或λ=
2.221设Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0,则,,,由此可得.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b
2.又由题意知,M的右焦点为,0,故a2-b2=
3.因此a2=6,b2=
3.所以M的方程为.2由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=,设Cx3,y3,Dx4,y4.由得3x2+4nx+2n2-6=
0.于是x34=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=.由已知,四边形ACBD的面积.当n=0时,S取得最大值,最大值为.。