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江西省宜春市第三中学2016-2017学年高二上学期第二次月考数学试题(时间120分钟总分150分)
1、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=,c=2,cosA=,则b=( )A.B.C.2D.32.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10=( )A.100B.210C.380D.4003.已知x>y>z,且x+y+z=0,下列不等式中成立的是( )A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|4.若不等式x2+ax+b<0的解集为(﹣1,2),则ab的值为( )A.﹣1B.1C.﹣2D.25.已知函数f(x)=,则不等式f(f(x))≤3的解集为( )A.(﹣∞,1]B.(﹣∞,]C.(﹣∞,]D.(﹣∞,2]6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=5,c=10,A=30°,则B等于( )A.105°B.60°C.15°D.105°或15°7.在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,则的值为( )A.B.4C.D.±48.如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向进行海面巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30°方向上,则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )km.A.5(+)B.5(﹣)C.10(﹣)D.10(+)9.若x、y满足,则z=x+2y的最大值为( )A.9B.8C.7D.610.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(﹣1,2),则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2>0的解集为( )A.(﹣2,1)B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)C.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)D.(﹣1,2)11.点(x,y)是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)的任意一点,若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是( )A.B.C.D.12.已知等差数列{an}中,a1=142,d=﹣2,从第一项起,每隔两项取出一项,构成新的数列{bn},则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是( )A.23B.24C.25D.
262、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.正实数x,y满足+=1,则x2+y2﹣10xy的最小值为 .14.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列,数列{an}的通项公式an= .15.在△ABC中,A=,b2sinC=sinB,则△ABC的面积为 .16.如图,某人在高出海面600米的山上P处,测得海面上的航标在A正东,俯角为30°,航标B在南偏东60°,俯角为45°,则这两个航标间的距离为 米.
三、解答题本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|}
(1)求a,c的值;
(2)解不关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.18.等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.19.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a2=b2+c2+bc.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.20.某种商品第一天上市售价42元,以后每天提价2元,并且在开始销售的前10天内每天的销售量与上市天数的关系是g(x)=150﹣5x(其中x表示天数)
(1)写出上市10天内商品销售价y与天数x的关系式;
(2)求该商品在上市10天内,哪一天的销售金额最大?并求出最大金额.21.已知向量=(sinx,),=(cosx,﹣1).
(1)当∥时,求cos2x﹣sin2x的值;
(2)设函数f(x)=2()•,已知在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=,b=2,sinB=,求f(x)+4cos(2A+)(x∈[0,])的取值范围.22.数列{an}的前n项和为An=n2+bn,数列{bn}是等比数列,公比q>0,且满足a1=b1=2,b2,a3,b3成等差数列;
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn=bn+,求cn的前n项和. 参考答案1-5DBCDC6-10DACCB11-12BB
13.-
3614.2n﹣
115.
216.
60017.解
(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和,由根与系数的关系,得,解得a=﹣6,c=﹣1;
(2)由a=﹣6,c=﹣1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为﹣6x2+8x﹣2≥0,即3x2﹣4x+1≤0,解得≤x≤1,所以不等式的解集为[,1].
18.解
(1)∵等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16,∴2q3=16,解得q=2,∴.
(2)∵a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,∴,,∴,解得b1=2,d=2,∴bn=2+(n﹣1)×2=2n.Sn==n2+n.
19.解(Ⅰ)∵a2=b2+c2+ab,即b2+c2﹣a2=﹣bc,∴cosA==﹣,则A=;(Ⅱ)∵a=,sinA=,∴由正弦定理==得b=,csinA=asinC,∴S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC,∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B﹣C),当B﹣C=0,即B=C==时,S+3cosBcosC取得最大值为3.
20.解
(1)y=42+2(x﹣1)=2x+40.(x∈N,1≤x≤10)
(2)设商品的销售额为z,则z=(2x+40)(150﹣5x)=﹣10x2+100x+6000=﹣10(x﹣5)2+6250.∴当x=5时,z取得最大值6250.∴上市第5天销售金额最大,最大金额为6250元.
21.解
(1)∵∴∴(2分)(6分)
(2)由正弦定理得,(a<b,即A<B),所以A=(9分)∵∴所以(12分)
22.解
(1)∵An=n2+bn,∴当n=1时,a1=1+b=2,∴b=1.∴当n≥2时,an=An﹣An﹣1=n2+n﹣(n﹣1)2﹣(n﹣1)=2n.显然当n=1时,上式仍成立.∴an=2n.∵数列{bn}是等比数列,公比为q,b1=2.∴b2=2q,b3=2q2.又a3=6,b2,a3,b3成等差数列,∴2q+2q2=12.解得q=2或q=﹣3(舍).∴bn=2•2n﹣1=2n.
(2)cn=2n+=2n+﹣.设{cn}的前n项和为Sn,则Sn=2+22+23+…+2n+(1﹣)+()+()+…+()=+(1﹣)=2n+1﹣﹣1.。