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惠南中学2016年春季期末考试高二数学(理科)试卷考试时间120分钟满分150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,Z,则A.B.C.D.
2.已知复数,其中为虚数单位,则A.B.C.D.
3.学校对2016届高三学生进行考前心理辅导,在高三甲班50名学生中,男生有30人,女生有20人,抽取5人,恰好2男3女,有下列说法
(1)男生抽到的概率比女生抽到的概率大;
(2)一定不是系统抽样;
(3)不是分层抽样;
(4)每个学生被抽取的概率相同.则以上说法正确的是()A.
(1)
(2)B.
(2)
(3)C.
(3)
(4)D.
(2)
(4)
4.向量,,若,则()A.B.C.D.
5.若随机变量服从正态分布且则A.B.C.D.6过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,若,则()A.B.C.D.
7.已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量X(单位mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率如下表所示在降水量至少是的条件下,工期延误不超过天的概率为A.B.C.D.
8.如图所示程序框图,若时,则输出的数等于()A.B.C.D.
9.不等式组的解集记为若则的最小值是A.B.C.D.
10.使N展开式中含有常数项的的最小值是A.B.C.D.
11.如图网格纸上的小正方形的边长为粗实线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.B.C.D.
12.已知函数,若存在,使得成立,则实数的值为()A.B.C.D.
二、填空题共4小题,每小题5分,满分20分
13.曲线在点处的切线方程为.
14.已知平面向量与的夹角为,,,则.
15.已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为,点关于直线的对称点在椭圆上,则椭圆的方程为.
16.一个二元码是由0和1组成的数字串,其中称为第位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码的码元满足如下校验方程组其中运算定义为.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定等于.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题12分)设是数列的前项和已知N.Ⅰ求数列的通项公式;Ⅱ令,求数列的前项和.
18.(本小题12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班名女同学,名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.Ⅰ如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(注本小题最后答案只要求写出算式,不必计算出结果)Ⅱ如果随机抽取的名同学的数学,物理成绩单位分对应如下表学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693若规定分以上(包括分)为优秀,从这名同学中抽取名同学,记名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望.
19.(本小题12分)如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.
(1)证明平面;
(2)求二面角的余弦值.
20.(本小题12分)已知点,点是直线上的动点,过作直线,,线段的垂直平分线与交于点.Ⅰ求点的轨迹的方程;Ⅱ若点是直线上两个不同的点且△的内切圆方程为,直线的斜率为,求的取值范围.
21.(本小题12分)已知函数x∈RⅠ当时,求函数的最小值;Ⅱ若时求实数的取值范围;
22.(本小题10分)已知都是实数,,.I若,求实数的取值范围;II若对满足条件的所有都成立,求实数的取值范围.惠南中学2016年春季期末考试高二数学(理科)试卷解析第Ⅰ卷一.选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)已知集合,Z,则ABCD答案C解析解一元二次不等式<2,得,又,所以,N=,所以,.
(2)已知复数,其中为虚数单位,则ABCD答案B解析因为z==,所以,=13学校对2016届高三学生进行考前心理辅导,在高三甲班50名学生中,男生有30人,女生有20人,抽取5人,恰好2男3女,有下列说法
(2)男生抽到的概率比女生抽到的概率大;
(2)一定不是系统抽样;
(4)不是分层抽样;
(4)每个学生被抽取的概率相同.以上说法正确的是()A.
(1)
(2)B.
(2)
(3)C.
(3)
(4)D.
(2)
(4)【命题意图】本题主要考查抽样的有关知识,考查学生的概念掌握和数据处理能力.【答案】C【解析】由抽样的概念可知,此抽样方法不是分层抽样,不管用哪种抽样,每个学生被抽取到的概率相同,故
(3),
(4)正确.
(4)向量,,若,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】,,因为,所以,解得,故选C.
(5)已知随机变量服从正态分布且则ABCD答案B解析由于随机变量服从正态分布,又,所以,,1-
0.32=
0.68
(6)过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,如果,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】抛物线的焦点,准线方程为.根据抛物线的定义可得,故选B.7已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量X(单位mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率如下表所示在降水量至少是的条件下,工期延误不超过天的概率为A.B.C.D.【答案】D【解析】条件概型8如图所示程序框图,若时,则输出的数等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程,如下输入,,,;,是,,;,是,,;,是,,;,是,,;,否,输出.故选D.考点程序框图.
(9)不等式组的解集记为若则的最小值是ABCD答案A解析画出不等式组表示的平面区域,如图三角形ABC为所示,当过A(-20)时取得最上值为-4
(10)使N展开式中含有常数项的的最小值是ABCD答案C解析,令=0,得,所以的最小值是5
(11)如图网格纸上的小正方形的边长为粗实线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是ABCD答案B解析该几何体是一个放倒的半圆柱上面加一个四棱锥的组合体,
(12)已知函数,若存在,使得成立,则实数的值为()A.B.C.D.【答案】D第Ⅱ卷二.填空题本大题共4小题,每小题5分
(13)曲线在点处的切线方程为.答案解析
(14)已知平面向量与的夹角为,,,则.答案2解析
(15)已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为,点关于直线的对称点在椭圆上,则椭圆的方程为.答案解析由于两个焦点为(-10),
(10)所以,
(16)一个二元码是由0和1组成的数字串,其中称为第位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码的码元满足如下校验方程组其中运算定义为.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定等于.【答案】.三.解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分分)设是数列的前项和已知N.Ⅰ求数列的通项公式;Ⅱ令,求数列的前项和.解析Ⅰ解:当时由得…………………………1分两式相减得…………………………2分∴.∴.…………………………3分当时,则.…………………4分∴数列是以为首项公比为的等比数列.………………………5分∴.……………………………………………………6分Ⅱ解法1:由Ⅰ得.∴
①…………………7分
②…………………8分
①-
②得…………9分…………………………10分.…………………………………11分∴.……………………………………………………12分
(18)(本小题满分分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班名女同学,名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.Ⅰ如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式,不必计算出结果)Ⅱ如果随机抽取的名同学的数学,物理成绩单位分对应如下表学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693若规定分以上(包括分)为优秀,从这名同学中抽取名同学,记名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;解析Ⅰ解依据分层抽样的方法,名女同学中应抽取的人数为名,…………………………………………2分名男同学中应抽取的人数为名,……………………4分故不同的样本的个数为.…………………………………………6分Ⅱ解:∵名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为名∴的取值为.………7分∴.…………………9分∴的分布列为…………………………………………10分∴.…………………………12分
(19)(本小题满分分)如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.
(1)证明平面;
(2)求二面角的余弦值.【答案】
(1)证明见解析;
(2).【解析】
(1)由题设,连结,为等腰直角三角形,所以,且,…………………2分又为等腰三角形,,且,得.………4分所以为直角三角形,.…………5分又.所以平面.…………………6分
(2)解法一取中点,连结,由
(1)知,得.为二面角的平面角.…………………8分由得平面.所以,又,故.所以二面角的余弦值为…………………12分
(20)(本小题满分分)已知点,点是直线上的动点,过作直线,,线段的垂直平分线与交于点.Ⅰ求点的轨迹的方程;Ⅱ若点是直线上两个不同的点且△的内切圆方程为,直线的斜率为,求的取值范围.解析Ⅰ解:依题意点到点的距离等于它到直线的距离………………1分∴点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线.…………2分∴曲线的方程为.………………………………………………3分Ⅱ解法1设点,点,点,直线方程为,………………………4分化简得,.∵△的内切圆方程为,∴圆心到直线的距离为,即.………5分故.易知,上式化简得,.………………6分同理,有.………………………………7分∴是关于的方程的两根.∴,.………………………………8分∴.……………9分∵,,∴.直线的斜率,则.∴.………………………………10分∵函数在上单调递增,∴.∴.∴.………………………………………………11分∴.∴的取值范围为.………………………12分解法2设点,点,点,直线的方程为,即,………………4分∵直线与圆相切,∴.∴.…………………………5分∴直线的方程为.∵点在直线上∴.易知,上式化简得,.…………………6分同理,有.………………………………………7分∴是关于的方程的两根.∴,.…………………………………………8分∴.……………9分∵,,∴.直线的斜率,则.∴.……………………………………10分∵函数在上单调递增,∴.∴.∴.……………………………11分∴.∴的取值范围为.………………………12分解法3设点,直线的方程为,即,令得∴.…………………4分∵直线与圆相切,∴.化简得.……………………………………5分同理设直线的方程为,则点且.…………6分∴是关于的方程的两根.∴.…………………………………………7分依题意.∴……………………8分.………………9分直线的斜率,则.∴.……………………………………10分∵函数在上单调递增,∴.∴.∴.………………………11分∴.∴的取值范围为.………………………………12分解法4设点,如图,设直线,与圆相切的切点分别为,,依据平面几何性质,得,…………………………4分由,…………………5分得,得.…………6分得.……7分故.…………………………8分依题意.∴.………………9分直线的斜率,则.∴.…………………10分∵函数在上单调递增,∴.∴.∴.……………………11分∴.∴的取值范围为.……………………12分
(21)(本小题满分分)已知函数x∈RⅠ当时,求函数的最小值;Ⅱ若时求实数的取值范围;解析Ⅰ解:当时,则.…………………1分令,得.…………………2分当时;当时.…………………………3分∴函数在区间上单调递减在区间上单调递增.……………4分∴当时函数取得最小值其值为.……………………5分Ⅱ解:若时即.*令则.………………………6分
①若由Ⅰ知即故.∴.……………7分∴函数在区间上单调递增.∴.∴*式成立.……………8分
②若令则.∴函数在区间上单调递增.由于.…………9分故使得.……………………………………10分则当时即.∴函数在区间上单调递减.∴即*式不恒成立.………………………………………11分综上所述实数的取值范围是.………………………………………12分
(22)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知都是实数,,.I若,求实数的取值范围;II若对满足条件的所有都成立,求实数的取值范围.解I由得或,解得或.故所求实数的取值范围为.……5分(II)由且得,又∵,…………………………7分∴,∵的解集为,∴的解集为,∴所求实数的取值范围为.……10分降水量X工期延误天数Y051530概率P降水量X工期延误天数Y051530概率P。