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四函数与导数21．2016·课标全国丙设函数fx＝lnx－x＋
1.1讨论fx的单调性；2证明当x∈1，＋∞时，1x；3设c1，证明当x∈01时，1＋c－1xcx.1解 由题设，fx的定义域为0，＋∞，f′x＝－1，令f′x＝0解得x＝
1.当0x1时，f′x0，fx单调递增；当x1时，f′x0，fx单调递减．2证明 由1知，fx在x＝1处取得最大值，最大值为f1＝
0.所以当x≠1时，lnxx－
1.故当x∈1，＋∞时，lnxx－1，ln－1，即1x.3证明 由题设c1，设gx＝1＋c－1x－cx，则g′x＝c－1－cxlnc．令g′x＝0，解得x0＝.当xx0时，g′x0，gx单调递增；当xx0时，g′x0，gx单调递减．由2知1c，故0x
01.又g0＝g1＝0，故当0x1时，gx
0.所以当x∈01时，1＋c－1xcx.2．2016·课标全国甲已知函数fx＝x＋1lnx－ax－1．1当a＝4时，求曲线y＝fx在1，f1处的切线方程；2若当x∈1，＋∞时，fx0，求a的取值范围．解 1fx的定义域为0，＋∞，当a＝4时，fx＝x＋1lnx－4x－1，f′x＝lnx＋－3，f′1＝－2，f1＝0，曲线y＝fx在1，f1处的切线方程为2x＋y－2＝
0.2当x∈1，＋∞时，fx0等价于lnx－0，设gx＝lnx－，则g′x＝－＝，g1＝
0.
①当a≤2，x∈1，＋∞时，x2＋21－ax＋1≥x2－2x＋10，故g′x0，gx在1，＋∞单调递增，因此gx0；
②当a2时，令g′x＝0得，x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x21和x1x2＝1得x11，故当x∈1，x2时，g′x0，gx在1，x2单调递减，因此gx0，综上，a的取值范围是－∞，2]．3．2016·北京设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0，f0处的切线方程；2设a＝b＝4，若函数fx有三个不同零点，求c的取值范围；3求证a2－3b＞0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．1解 由fx＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′x＝3x2＋2ax＋b，切线斜率k＝f′0＝b.又f0＝c，所以切点坐标为0，c．所以所求切线方程为y－c＝bx－0，即bx－y＋c＝
0.2解 由a＝b＝4得fx＝x3＋4x2＋4x＋c，所以f′x＝3x2＋8x＋4＝3x＋2x＋2，令f′x＝0，得3x＋2x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－，f′x，fx随x的变化情况如下x－∞，－2－2－f′x＋0－0＋fx↗c↘c－↗所以，当c＞0且c－＜0时，存在x1∈－∞，－2，x2∈，x3∈，使得fx1＝fx2＝fx3＝
0.由fx的单调性知，当且仅当c∈时，函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点．3证明 当Δ＝4a2－12b＜0，即a2－3b＜0时，f′x＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈－∞，＋∞，此时函数fx在区间－∞，＋∞上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点．当Δ＝4a2－12b＝0时，f′x＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x
0.当x∈－∞，x0时，f′x＞0，fx在区间－∞，x0上单调递增；当x∈x0，＋∞时，f′x＞0，fx在区间x0，＋∞上单调递增．所以fx不可能有三个不同零点．综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有Δ＝4a2－12b＞0，故a2－3b＞0是fx有三个不同零点的必要条件．当a＝b＝4，c＝0时，a2－3b＞0，fx＝x3＋4x2＋4x＝xx＋22只有两个不同零点，所以a2－3b＞0不是fx有三个不同零点的充分条件．因此a2－3b＞0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．4．2016·山东已知fx＝ax－lnx＋，a∈R.1讨论fx的单调性；2当a＝1时，证明fxf′x＋对于任意的x∈
[12]成立．1解 fx的定义域为0，＋∞，f′x＝a－－＋＝.当a≤0时，x∈01时，f′x0，fx单调递增，x∈1，＋∞时，f′x0，fx单调递减．当a0时，f′x＝.
①0a2时，1，当x∈01或x∈时，f′x0，fx单调递增，当x∈时，f′x0，fx单调递减．
②a＝2时，＝1，在x∈0，＋∞内，f′x≥0，fx单调递增．
③a2时，01，当x∈或x∈1，＋∞时，f′x0，fx单调递增；当x∈时，f′x0，fx单调递减．综上所述，当a≤0时，fx在01内单调递增，在1，＋∞内单调递减；当0a2时，fx在01内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当a＝2时，fx在0，＋∞内单调递增；当a2时，fx在内单调递增，在内单调递减，在1，＋∞内单调递增．2证明 由1知，a＝1时，fx－f′x＝x－lnx＋－＝x－lnx＋＋－－1，x∈
[12]．设gx＝x－lnx，hx＝＋－－1，x∈
[12]，则fx－f′x＝gx＋hx．由g′x＝≥0，可得gx≥g1＝1，当且仅当x＝1时取得等号．又h′x＝.设φx＝－3x2－2x＋6，则φx在x∈
[12]内单调递减．因为φ1＝1，φ2＝－10，所以∃x0∈12，使得x∈1，x0时，φx0，x∈x0，2时，φx
0.所以hx在1，x0内单调递增，在x0，2内单调递减．由h1＝1，h2＝，可得hx≥h2＝，当且仅当x＝2时取得等号．所以fx－f′xg1＋h2＝，即fxf′x＋对于任意的x∈
[12]成立．。
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