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四函数与导数21.2016·课标全国丙设函数fx=lnx-x+
1.1讨论fx的单调性;2证明当x∈1,+∞时,1x;3设c1,证明当x∈01时,1+c-1xcx.1解 由题设,fx的定义域为0,+∞,f′x=-1,令f′x=0解得x=
1.当0x1时,f′x0,fx单调递增;当x1时,f′x0,fx单调递减.2证明 由1知,fx在x=1处取得最大值,最大值为f1=
0.所以当x≠1时,lnxx-
1.故当x∈1,+∞时,lnxx-1,ln-1,即1x.3证明 由题设c1,设gx=1+c-1x-cx,则g′x=c-1-cxlnc.令g′x=0,解得x0=.当xx0时,g′x0,gx单调递增;当xx0时,g′x0,gx单调递减.由2知1c,故0x
01.又g0=g1=0,故当0x1时,gx
0.所以当x∈01时,1+c-1xcx.2.2016·课标全国甲已知函数fx=x+1lnx-ax-1.1当a=4时,求曲线y=fx在1,f1处的切线方程;2若当x∈1,+∞时,fx0,求a的取值范围.解 1fx的定义域为0,+∞,当a=4时,fx=x+1lnx-4x-1,f′x=lnx+-3,f′1=-2,f1=0,曲线y=fx在1,f1处的切线方程为2x+y-2=
0.2当x∈1,+∞时,fx0等价于lnx-0,设gx=lnx-,则g′x=-=,g1=
0.
①当a≤2,x∈1,+∞时,x2+21-ax+1≥x2-2x+10,故g′x0,gx在1,+∞单调递增,因此gx0;
②当a2时,令g′x=0得,x1=a-1-,x2=a-1+.由x21和x1x2=1得x11,故当x∈1,x2时,g′x0,gx在1,x2单调递减,因此gx0,综上,a的取值范围是-∞,2].3.2016·北京设函数fx=x3+ax2+bx+c.1求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程;2设a=b=4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围;3求证a2-3b>0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件.1解 由fx=x3+ax2+bx+c,得f′x=3x2+2ax+b,切线斜率k=f′0=b.又f0=c,所以切点坐标为0,c.所以所求切线方程为y-c=bx-0,即bx-y+c=
0.2解 由a=b=4得fx=x3+4x2+4x+c,所以f′x=3x2+8x+4=3x+2x+2,令f′x=0,得3x+2x+2=0,解得x=-2或x=-,f′x,fx随x的变化情况如下x-∞,-2-2-f′x+0-0+fx↗c↘c-↗所以,当c>0且c-<0时,存在x1∈-∞,-2,x2∈,x3∈,使得fx1=fx2=fx3=
0.由fx的单调性知,当且仅当c∈时,函数fx=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.3证明 当Δ=4a2-12b<0,即a2-3b<0时,f′x=3x2+2ax+b>0,x∈-∞,+∞,此时函数fx在区间-∞,+∞上单调递增,所以fx不可能有三个不同零点.当Δ=4a2-12b=0时,f′x=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x
0.当x∈-∞,x0时,f′x>0,fx在区间-∞,x0上单调递增;当x∈x0,+∞时,f′x>0,fx在区间x0,+∞上单调递增.所以fx不可能有三个不同零点.综上所述,若函数fx有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0,故a2-3b>0是fx有三个不同零点的必要条件.当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,fx=x3+4x2+4x=xx+22只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是fx有三个不同零点的充分条件.因此a2-3b>0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件.4.2016·山东已知fx=ax-lnx+,a∈R.1讨论fx的单调性;2当a=1时,证明fxf′x+对于任意的x∈
[12]成立.1解 fx的定义域为0,+∞,f′x=a--+=.当a≤0时,x∈01时,f′x0,fx单调递增,x∈1,+∞时,f′x0,fx单调递减.当a0时,f′x=.
①0a2时,1,当x∈01或x∈时,f′x0,fx单调递增,当x∈时,f′x0,fx单调递减.
②a=2时,=1,在x∈0,+∞内,f′x≥0,fx单调递增.
③a2时,01,当x∈或x∈1,+∞时,f′x0,fx单调递增;当x∈时,f′x0,fx单调递减.综上所述,当a≤0时,fx在01内单调递增,在1,+∞内单调递减;当0a2时,fx在01内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;当a=2时,fx在0,+∞内单调递增;当a2时,fx在内单调递增,在内单调递减,在1,+∞内单调递增.2证明 由1知,a=1时,fx-f′x=x-lnx+-=x-lnx++--1,x∈
[12].设gx=x-lnx,hx=+--1,x∈
[12],则fx-f′x=gx+hx.由g′x=≥0,可得gx≥g1=1,当且仅当x=1时取得等号.又h′x=.设φx=-3x2-2x+6,则φx在x∈
[12]内单调递减.因为φ1=1,φ2=-10,所以∃x0∈12,使得x∈1,x0时,φx0,x∈x0,2时,φx
0.所以hx在1,x0内单调递增,在x0,2内单调递减.由h1=1,h2=,可得hx≥h2=,当且仅当x=2时取得等号.所以fx-f′xg1+h2=,即fxf′x+对于任意的x∈
[12]成立.。