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专题三数列第1讲等差数列、等比数列的基本问题练习理
一、选择题
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m等于 A.3B.4C.5D.6解析 由已知得Sm-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32,故公比q=-2,又Sm==-11,故a1=-1,又am=a1qm-1=-16,代入可求得m=
5.答案 C
2.2014·新课标全国Ⅱ卷等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于 A.nn+1B.nn-1C.D.解析 由a2,a4,a8成等比数列,得a=a2a8,即a1+62=a1+2a1+14,∴a1=
2.∴Sn=2n+×2=2n+n2-n=nn+
1.答案 A
3.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40等于 A.150B.-200C.150或-200D.400或-50解析 依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有S20-S102=S10S30-S20,即S20-102=1070-S20,故S20=-20或S20=
30.又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,则S40=S30+=70+=
150.答案 A
4.2015·浙江卷已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则 A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0解析 ∵a3,a4,a8成等比数列,∴a1+3d2=a1+2d·a1+7d,整理得a1=-d,∴a1d=-d2<0,又S4=4a1+d=-,∴dS4=-<0,故选B.答案 B
5.2016·福州二模若a,b是函数fx=x2-px+qp>0,q>0的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 A.6B.7C.8D.9解析 由题意知a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>
0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有a,-2,b;b,-2,a.∴或解之得或∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选D.答案 D
二、填空题
6.2016·全国Ⅰ卷设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为__________.解析 设等比数列{an}的公比为q,∴⇒解得∴a1a2…an===,当n=3或4时,取到最小值-6,此时取到最大值26,所以a1a2…an的最大值为
64.答案
647.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=am·an,若Sn<t恒成立,则实数t的最小值为________.解析 令m=1,可得an+1=an,所以{an}是首项为,公比为的等比数列,所以Sn==<,故实数t的最小值为.答案
8.2013·新课标全国Ⅱ卷等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.解析 设数列{an}的首项和公差分别为a1,d,则则nSn=n=-n
2.设函数fx=-x2,则f′x=x2-x,当x∈时,f′x<0;当x∈时,f′x>0,所以函数fxmin=f,但6<<7,且f6=-48,f7=-49,因为-48>-49,所以最小值为-
49.答案 -49
三、解答题
9.2014·新课标全国Ⅱ卷已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,1证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;2证明++…+.证明 1由an+1=3an+1,得an+1+=
3.又a1+=,所以{an+}是首项为,公比为3的等比数列.an+=,因此{an}的通项公式为an=.2由1知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=.所以++…+.
10.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点an+1,Sn在直线2x+y-2=0上.1求数列{an}的通项公式;2是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解 1由题意,可得2an+1+Sn-2=
0.
①当n≥2时,2an+Sn-1-2=
0.
②①-
②,得2an+1-2an+an=0,所以=n≥
2.因为a1=1,2a2+a1=2,所以a2=.所以{an}是首项为1,公比为的等比数列.所以数列{an}的通项公式为an=.2由1知,Sn==2-.若为等差数列,则S1+λ+,S2+2λ+,S3+3λ+成等差数列,则2=S1++S3+,即2=1+++,解得λ=
2.又λ=2时,Sn+2n+=2n+2,显然{2n+2}成等差数列,故存在实数λ=2,使得数列{Sn+λn+}成等差数列.
11.2016·太原模拟已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n-2,n∈N*,a1=
2.1证明数列{an-1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;2设bn=n∈N*的前n项和为Tn,证明Tn<
6.证明 1因为Sn=an+1+n-2,当n≥2时,Sn-1=an+n-1-2=an+n-3,两式相减,得an=an+1-an+1,即an+1=2an-
1.设cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2cn+1-1,即cn+1=2cn.又Sn=an+1+n-2,则an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=
3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,故c2=2c
1.综上,对于正整数n,cn+1=2cn都成立,即数列{an-1}是等比数列,其首项a1-1=1,公比q=
2.所以an-1=1×2n-1,故an=2n-1+
1.2由Sn=an+1+n-2,得Sn-n+2=an+1=2n+1,故Sn-n+1=2n.所以bn=.所以Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=++…+,
①2×
①,得2Tn=3+++…+,
②②-
①,得Tn=3+++…+-=3-=3×-=6-.因为>0,所以Tn=6-<
6.。