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专题三数列第1讲等差数列、等比数列的基本问题训练文
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则a5的值为 A.2B.3C.4D.5解析 设数列{an}的公差为d,∵a1+a15=2a8,∴2a8+3a3=10,∴2a5+3d+3a5-2d=10,∴5a5=10,∴a5=
2.答案 A
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m等于 A.3B.4C.5D.6解析 由已知得Sm-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32,故公比q=-2,又Sm==-11,故a1=-1,又am=a1qm-1=-16,代入可求得m=
5.答案 C
3.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于 A.nn+1B.nn-1C.D.解析 由a2,a4,a8成等比数列,得a=a2a8,即a1+62=a1+2a1+14,∴a1=
2.∴Sn=2n+×2=2n+n2-n=nn+
1.答案 A
4.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40等于 A.150B.-200C.150或-200D.400或-50解析 依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有S20-S102=S10S30-S20,即S20-102=1070-S20,故S20=-20或S20=
30.又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,则S40=S30+=70+=
150.答案 A
5.2015·浙江卷已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则 A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0解析 ∵a3,a4,a8成等比数列,∴a1+3d2=a1+2d·a1+7d,整理得a1=-d,∴a1d=-d2<0,又S4=4a1+d=-,∴dS4=-<0,故选B.答案 B
二、填空题
6.2016·江苏卷已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是________.解析 设等差数列{an}公差为d,由题意可得解得则a9=a1+8d=-4+8×3=
20.答案
207.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是________.解析 当n≥2时,Sn-1=an-1+,∴an=Sn-Sn-1=an+-an-1-=an-an-
1.∴an=-2an-1,又n=1时,a1=1,∴数列{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,所以an=-2n-
1.答案 an=-2n-
18.2015·全国Ⅱ卷设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=____________.解析 由题意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,所以Sn≠0,所以=1,即-=-1,故数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列,得=-1-n-1=-n,所以Sn=-.答案 -
三、解答题
9.2016·全国Ⅰ卷已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.1求{an}的通项公式;2求{bn}的前n项和.解 1由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=
2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-
1.2由1和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==-.
10.2016·洛阳模拟已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,1证明是等比数列,并求{an}的通项公式;2证明++…+.证明 1由an+1=3an+1,得an+1+=
3.又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+=,因此{an}的通项公式为an=.2由1知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤=.于是++…+≤1++…+=.所以++…+.
11.2016·泉州二模已知等比数列{an}满足|a2-a3|=10,a1a2a3=
125.1求数列{an}的通项公式;2是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.解 1设等比数列{an}的公比为q,则由已知可得eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1aq3=125,|a1q-a1q2|=
10.解得或故an=·3n-1或an=-5·-1n-
1.2若an=·3n-1,则=,则是首项为,公比为的等比数列.从而==·
1.若an=-5·-1n-1,则=--1n-1,故是首项为-,公比为-1的等比数列,从而=故
1.综上,对任何正整数m,总有
1.故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.。