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专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习理
一、选择题
1.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α等于 A.B.C.-D.-解析 ∵sinα+2cosα=,∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=.用降幂公式化简得4sin2α=-3cos2α,∴tan2α==-.故选C.答案 C
2.2016·宁波二模已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b= A.10B.9C.8D.5解析 化简23cos2A+cos2A=0,得23cos2A+2cos2A-1=0,又角A为锐角,解得cosA=,由a2=b2+c2-2bccosA,得b=
5.答案 D
3.2016·全国Ⅲ卷在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA= A.B.C.-D.-解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA==-3,所以cosA=-.答案 C
4.2014·新课标全国Ⅰ卷设α∈,β∈,且tanα=,则 A.3α-β=B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=解析 由tanα=得=,即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,∴sinα-β=cosα=sin.∵α∈,β∈,∴α-β∈,-α∈,∴由sinα-β=sin,得α-β=-α,∴2α-β=.答案 B
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=a-b2+6,C=,则△ABC的面积是 A.3B.C.D.3解析 c2=a-b2+6,即c2=a2+b2-2ab+6
①.∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab
②,由
①和
②得ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×=,故选C.答案 C
二、填空题
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________.解析 ∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=,S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24,又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=52-2×24×=64,∴a=
8.答案
87.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.解析 在△ABC中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,由正弦定理得=,即=,所以BC=
300.在Rt△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=300·tan30°=
100.答案
1008.2016·南昌模拟若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是________.解析 ∵sinA+sinB=2sinC.由正弦定理可得a+b=2c,即c=,cosC===≥=,当且仅当3a2=2b2即=时等号成立.∴cosC的最小值为.答案
三、解答题
9.2016·北京卷在△ABC中,a2+c2=b2+ac.1求角B的大小;2求cosA+cosC的最大值.解 1由a2+c2=b2+ac得a2+c2-b2=ac.由余弦定理得cosB===.又0<B<π,所以B=.2A+C=π-B=π-=,所以C=-A,0<A<.所以cosA+cosC=cosA+cos=cosA+coscosA+sinsinA=cosA-cosA+sinA=sinA+cosA=sin,∵0<A<,∴<A+<π,故当A+=,即A=时,cosA+cosC取得最大值为
1.
10.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos2A-3cosB+C=
1.1求角A的大小;2若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.解 1由cos2A-3cosB+C=1,得2cos2A+3cosA-2=0,即2cosA-1cosA+2=0,解得cosA=或cosA=-2舍去,因为0<A<π,所以A=.2由S=bcsinA=bc·=bc=5,得bc=20,又b=5,知c=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sinBsinC=sinA·sinA=sin2A=×=.
11.2015·山东卷设fx=sinxcosx-cos
2.1求fx的单调区间;2在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.解 1由题意知fx=-=-=sin2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以fx的单调递增区间是k∈Z;单调递减区间是k∈Z.2由f=sinA-=0,得sinA=,由题意知A为锐角,所以cosA=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,当且仅当b=c时等号成立.因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.。