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2017届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形训练文
一、选择题
1.已知α∈,sin=,则cosα等于 A.-B.C.-或D.-解析 ∵α∈,∴α+∈.∵sin=,∴cos=-,∴cosα=cos=coscos+sinsin=-×+×=-.答案 A
2.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC= A.5B.C.2D.1解析 S△ABC=AB·BCsinB=×1×sinB=,∴sinB=,若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2×1××=5,∴AC=.故选B.答案 B
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=a-b2+6,C=,则△ABC的面积是 A.3B.C.D.3解析 c2=a-b2+6,即c2=a2+b2-2ab+6
①.∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab
②,由
①和
②得ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×=,故选C.答案 C
4.2016·山东卷△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b21-sinA,则A= A.B.C.D.解析 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,∵b=c,∴a2=2b21-cosA,又∵a2=2b21-sinA,∴cosA=sinA,∴tanA=1,∵A∈0,π,∴A=,故选C.答案 C
5.2016·全国Ⅲ卷在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA= A.B.C.D.解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA==-3,所以sinA=.答案 D
二、填空题
6.2016·四川卷sin750°=________.解析 ∵sinθ=sink·360°+θ,k∈Z,∴sin750°=sin2×360°+30°=sin30°=.答案
7.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.解析 在△ABC中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,由正弦定理得=,即=,所以BC=
300.在Rt△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=300·tan30°=
100.答案
1008.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________.解析 ∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=,S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24,又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=52-2×24×=64,∴a=
8.答案 8
三、解答题
9.2016·江苏卷在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.1求AB的长;2cos的值.解 1由cosB=,且0Bπ,则sinB==,又∵C=,AC=6,由正弦定理,得=,即=⇒AB=
5.2由1得sinB=,cosB=,sinC=cosC=,则sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC=,cosA=-cosB+C=-cosBcosC-sinBsinC=-,则cos=cosAcos+sinAsin=.
10.2016·广西南宁测试在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos2A-3cosB+C=
1.1求角A的大小;2若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.解 1由cos2A-3cosB+C=1,得2cos2A+3cosA-2=0,即2cosA-1cosA+2=0,解得cosA=或cosA=-2舍去,因为0<A<π,所以A=.2由S=bcsinA=bc·=bc=5,得bc=20,又b=5,知c=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sinBsinC=sinA·sinA=sin2A=×=.
11.2016·南昌调研△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.1求B;2若b=2,求△ABC面积的最大值.解 1由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB,
①又A=π-B+C,故sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC.
②由
①,
②和C∈0,π得sinB=cosB.又B∈0,π,所以B=.2△ABC的面积S=acsinB=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c2≥2ac,故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为+
1.。