还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
专题五解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系练习
一、选择题
1.2014·全国Ⅰ卷已知抛物线C y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|等于 A.B.C.3D.2解析 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=
3.答案 C
2.2015·四川卷过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于 A.B.2C.6D.4解析 右焦点F2,0,过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为x2-=0,将x=2代入渐近线方程得y2=12,∴y=±2,∴A2,2,B2,-2,∴|AB|=
4.答案 D
3.已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为 A.B.C.D.解析 设Ax1,y1,Px2,y2,根据对称性,B-x1,-y1,因为A,P在双曲线上,所以eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1\fxa2-\fyb2=1,\fxa2-\fyb2=1,两式相减,得kPAkPB==,所以e2==,故e=.答案 D
4.2014·全国Ⅱ卷设F为抛物线C y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 A.B.C.D.解析 易知抛物线中p=,焦点F,直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,结合图象可得O到直线AB的距离d=sin30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=.答案 D
5.2017·湖州一模已知抛物线y2=4pxp>0与双曲线-=1a>0,b>0有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为 A.B.+1C.+1D.解析 依题意,得Fp,0,因为AF⊥x轴,设Ap,y,y0,y2=4p2,所以y=2p.所以Ap,2p.又点A在双曲线上,所以-=
1.又因为c=p,所以-=1,化简,得c4-6a2c2+a4=0,即-6+1=
0.所以e2=3+2,e=+
1.答案 B
二、填空题
6.已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M、N两点,则弦|MN|的长为________.解析 由得11x2-18x-9=
0.由根与系数的关系,得xM+xN=,xM·xN=-.由弦长公式|MN|=|xM-xN|=·==.答案
7.过点M1,1作斜率为-的直线与椭圆C+=1ab0相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.解析 设Ax1,y1,Bx2,y2,则eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1\fxa2+\fyb2=1,\fxa2+\fyb2=1,∴+=0,∴=-·.∵=-,x1+x2=2,y1+y2=2,∴-=-,∴a2=2b
2.又∵b2=a2-c2,∴a2=2a2-c2,∴a2=2c2,∴=.答案
8.2017·郑州模拟已知点A-2,0,B2,0,过点A作直线l与以A,B为焦点的椭圆交于M,N两点,线段MN的中点到y轴的距离为,且直线l与圆x2+y2=1相切,则该椭圆的标准方程是________.解析 根据题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,
①由题意设椭圆方程为+=1a2>4,
②由直线l与圆x2+y2=1相切,得=1,解得k2=.将
①代入
②,得a2-3x2+a2x-a4+4a2=0,设点M的坐标为x1,y1,点N的坐标为x2,y2,由根与系数的关系,得x1+x2=-,又线段MN的中点到y轴的距离为,所以|x1+x2|=,即-=-,解得a2=
8.所以该椭圆的标准方程为+=
1.答案 +=1
三、解答题
9.2015·全国Ⅰ卷在直角坐标系xOy中,曲线C y=与直线l y=kx+aa0交于M,N两点.1当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;2y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解 1由题设可得M2,a,N-2,a,或M-2,a,N2,a.又y′=,故y=在x=2处的导数值为,C在点2,a处的切线方程为y-a=x-2,即x-y-a=
0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点-2,a处的切线方程为y-a=-x+2,即x+y+a=
0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=
0.2存在符合题意的点,证明如下设P0,b为符合题意的点,Mx1,y1,Nx2,y2,直线PM,PN的斜率分别为k1,k
2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=
0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=+==.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P0,-a符合题意.
10.如图,椭圆E+=1a>b>0的离心率是,过点P0,1的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为
2.1求椭圆E的方程;2在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得=恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解 1由已知,点,1在椭圆E上,因此解得a=2,b=,所以椭圆E的方程为+=
1.2当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C、D两点,如果存在定点Q满足条件,则有==1,即|QC|=|QD|,所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为0,y
0.当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为0,,0,-,由=,有=,解得y0=1,或y0=2,所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为0,2,下面证明对任意直线l,均有=,当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立,当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A、B的坐标分别为x1,y1,x2,y2,联立得2k2+1x2+4kx-2=0,其判别式Δ=4k2+82k2+1>0,所以x1+x2=-,x1x2=-,因此+==2k,易知,点B关于y轴对称的点B′的坐标为-x2,y2,又kQA===k-,kQB′===-k+=k-,所以kQA=kQB′,即Q,A,B′三点共线,所以===,故存在与P不同的定点Q0,2,使得=恒成立.
11.2016·四川卷已知椭圆E+=1ab0的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.1求椭圆E的方程及点T的坐标;2设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.1解 由已知,a=b,则椭圆E的方程为+=
1.由方程组得3x2-12x+18-2b2=
0.
①方程
①的判别式为Δ=24b2-3,由Δ=0,得b2=3,此时方程
①的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=
1.点T的坐标为2,
1.2证明 由已知可设直线l′的方程为y=x+mm≠0,由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2=m
2.设点A,B的坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y
2.由方程组可得3x2+4mx+4m2-12=
0.
②方程
②的判别式为Δ=169-2m2,由Δ0,解得-m.由
②得x1+x2=-,x1x2=.所以|PA|==,同理|PB|=.所以|PA|·|PB|====m
2.故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.。