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专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题练习
一、选择题
1.在平面直角坐标系xOy中,经过点0,且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点,则k的取值范围为 A.B.C.D.∪解析 由已知可得直线l的方程为y=kx+,与椭圆的方程联立,整理得x2+2kx+1=0,因为直线l与椭圆有两个不同的交点,所以Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,即k的取值范围为∪.答案 D
2.F1,F2是椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则·的最大值是 A.-2B.1C.2D.4解析 设Px,y,依题意得点F1-,0,F2,0,·=--x-x+y2=x2+y2-3=x2-2,注意到-2≤x2-2≤1,因此·的最大值是
1.答案 B
3.已知椭圆+=10<b<2的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是 A.1B.C.D.解析 由椭圆的方程,可知长半轴长a=2;由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-|AF2|+|BF2|≥
3.由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中通径最短,即=3,可求得b2=3,即b=.答案 D
4.2017·榆林模拟若双曲线-=1a>0,b>0与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是 A.1,2B.1,2]C.1,D.1,]解析 因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以1<e≤
2.答案 B
5.抛物线y2=8x的焦点为F,点Px,y为该抛物线上的动点,又点A-2,0,则的最大值为 A.1B.C.D.2解析 由点Px,y在抛物线y2=8x上,得y2=8xx≥
0.由抛物线的定义可得|PF|=x+2,又|PA|==,所以===.当x=0时,=1;当x≠0时,=,因为x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,故x++4≥8,0<≤1,所以∈1,].综上,∈[1,].所以的最大值为.答案 B
二、填空题
6.已知双曲线-=1a>0,b>0的渐近线与圆x2-4x+y2+2=0相交,则双曲线的离心率的取值范围是______.解析 双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,圆x2-4x+y2+2=0可化为x-22+y2=2,其圆心为2,0,半径为.因为直线bx±ay=0和圆x-22+y2=2相交,所以<,整理得b2<a2,从而c2-a2<a2,即c2<2a2,所以e2<
2.又e>1,故双曲线的离心率的取值范围是1,.答案 1,
7.已知椭圆+=1内有两点A1,3,B3,0,P为椭圆上一点,则|PA|+|PB|的最大值为________.解析 在椭圆中,由a=5,b=4,得c=3,故焦点为-3,0和3,0,点B是右焦点,记左焦点为C-3,0,由椭圆的定义得|PB|+|PC|=10,所以|PA|+|PB|=10+|PA|-|PC|,因为||PA|-|PC||≤|AC|=5,所以当点P,A,C三点共线时,|PA|+|PB|取得最大值
15.答案
158.2016·江苏卷如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1a>b>0的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.解析 联立方程组解得B、C两点坐标为B,C,又Fc,0,则=,=,又由∠BFC=90°,可得·=0,代入坐标可得c2-a2+=0,
①又因为b2=a2-c
2.代入
①式可化简为=,则椭圆离心率为e===.答案
三、解答题
9.2015·陕西如图,椭圆E+=1a>b>0,经过点A0,-1,且离心率为.1求椭圆E的方程;2经过点1,1,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q均异于点A,证明直线AP与AQ的斜率之和为
2.1解 由题设知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,所以椭圆的方程为+y2=
1.2证明 由题设知,直线PQ的方程为y=kx-1+1k≠2,代入+y2=1,得1+2k2x2-4kk-1x+2kk-2=0,由已知Δ>0,设Px1,y1,Qx2,y2,x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+2-k=2k+2-k=2k+2-k=2k-2k-1=
2.
10.2016·重庆诊断二已知点A0,-2,椭圆E+=1ab0的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.1求E的方程;2设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解 1设Fc,0,由条件知=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=
1.故E的方程为+y2=
1.2当l⊥x轴时不合题意,故设l y=kx-2,Px1,y1,Qx2,y
2.将y=kx-2代入+y2=1,得1+4k2x2-16kx+12=
0.当Δ=164k2-30,即k2时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=.所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ
0.所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-
2.
11.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C+=1a>b>0的离心率为,左、右焦点分别是F1,F
2.以F1为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.1求椭圆C的方程;2设椭圆E+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.ⅰ求的值;ⅱ求△ABQ面积的最大值.解 1由题意知2a=4,则a=2,又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=
1.2由1知椭圆E的方程为+=
1.ⅰ设Px0,y0,=λ,由题意知Q-λx0,-λy
0.因为eq\fx4+y=1,又+=1,即eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fx4+y=1,所以λ=2,即=
2.ⅱ设Ax1,y1,Bx2,y
2.将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得1+4k2x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2,
①则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为0,m,所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|===
2.设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k
2.
②由
①②可知0<t≤1,因此S=2=2,故S≤2,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值
2.由ⅰ知,△ABQ面积为3S,所在△ABQ面积的最大值为
6.。