高考数学二轮复习大题规范练星期五第二周综合限时练

星期五　综合限时练　2017年____月____日解答题综合练设计意图训练考生在规定时间内得高分，限时80分钟

1.本小题满分14分设数列{an}的前n项之积为Tn，且log2Tn＝，n∈N*.1求数列{an}的通项公式；2设bn＝λan－1n∈N*，数列{bn}的前n项之和为Sn，若对任意的n∈N*，总有Sn＋1＞Sn，求实数λ的取值范围.解　1由log2Tn＝，n∈N*，得Tn＝2，所以Tn－1＝2n∈N*，n≥2，所以an＝＝＝2－＝2n－1，n∈N*，n≥

2.又a1＝T1＝20＝1，适合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.2由bn＝λan－1＝λ2n－1－1，得Sn＝λ·－n＝2n－1λ－n.所以Sn＋1＞Sn⇔2n＋1－1λ－n＋1＞2n－1λ－n⇔2nλ＞1⇔λ＞.因为对任意的n∈N*，≤，故所求的λ取值范围是.

2.本小题满分15分如图，已知空间四边形ABCD在平面α上的射影是梯形FBCE，BC∥EF，BC⊥BF，BC＝2EF＝2AF＝4DE.又平面ABC与平面α所成的二面角的大小为45°.1求异面直线AB与CD所成角的大小；2设直线BD交平面AFC于点O，求比值.解　1如图，以点F为原点，FB，FE，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.因为AF⊥平面FBCE，BC⊥BF，所以BC⊥AB，所以∠ABF就是平面ABC与平面α所成的二面角的平面角，所以∠ABF＝45°，从而|AF|＝|BF|.令|DE|＝a，则|AF|＝|EF|＝|BF|＝2a，|BC|＝4a，A0，0，2a，B2a，0，0，C2a，4a，0，D0，2a，a.所以＝2a，0，－2a，＝－2a，－2a，a，cos〈，〉＝＝－.所以〈，〉＝135°，故异面直线AB与CD所成角的大小为45°.2连接BE、CF交于点G，再连接OG.因为DE∥AF，DE⊄平面AFC，AF⊂平面AFC，所以DE∥平面AFC.又平面BDE∩平面AFC＝OG，所以OG∥DE，所以＝.由△EFG∽△BCG，得＝＝，所以＝＝

2.

3.本小题满分15分某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动每位同学被选到的可能性相同.1求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；2设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.解　1设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则PA＝eq\fC·C＋C·CC＝.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.2随机变量X的所有可能值为0，1，2，

3.PX＝k＝eq\fC·CCk＝0，1，2，

3.所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

4.本小题满分15分如图，椭圆＋＝1a＞b＞0的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点，作平行四边形OCED，点E恰在椭圆上.1求椭圆的离心率；2若平行四边形OCED的面积为2，求椭圆的方程.解　1∵焦点为Fc，0，AB的斜率为，故直线CD的方程为y＝x－c.与椭圆方程联立后消去y得到2x2－2cx－b2＝

0.∵CD的中点为G，点E在椭圆上.∴将E的坐标代入椭圆方程并整理得2c2＝a2，∴离心率e＝＝.2由1知＝，b＝c，则直线CD的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立消去y得到2x2－2cx－c2＝

0.∵平行四边形OCED的面积为S＝c|yC－yD|＝c＝c＝c2＝2，所以c＝2，b＝2，a＝

2.故椭圆方程为＋＝

1.

5.本小题满分15分设函数fx＝x2＋2m－3x＋lnxm∈R.1讨论函数fx在定义域上的单调性；2若对任意的x∈1，2，总有fx＜－2，求m的取值范围.解　1函数fx的定义域为0，＋∞，f′x＝x＋2m－3＋＝.令x2＋2m－3x＋1＝0，则Δ＝2m－32－4＝2m－12m－

5.

①当≤m≤时，Δ≤0，所以x2＋2m－3x＋1≥0，从而f′x≥0；

②当m＞时，因为x＞0，所以x2＋2m－3x＋1＞x2＋x＋1＝x2＋2x＋1＞0，所以f′x＞0；

③当m＜时，Δ＞0，方程x2＋2m－3x＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2不妨设x1＜x

2.因为x1＋x2＝3－2m＞3－2×＝2＞0，x1x2＝1＞0，所以x1＞0，x2＞0，所以当x1＜x＜x2时，x2＋2m－3x＋1＜0，从而f′x＜0；当0＜x＜x1或x＞x2时，x2＋2m－3x＋1＞0，从而f′x＞

0.综上可知，当m≥时，函数fx在定义域0，＋∞上单调递增；当m＜时，函数fx在区间0，x1和x2，＋∞上单调递增，在区间x1，x2上单调递减，其中x1＝，x2＝.2法一　由1知，当m≥时，函数fx在区间1，2上单调递增，所以fx＞f1＝＋2m－3≥＋2×－3＝－＞－2，故fx＜－2不成立.当m＜时，函数fx在区间x1，x2上单调递减，在区间0，x1和x2，＋∞上单调递增.由x1＞0，x2＞0，x1x2＝1，知0＜x1＜1＜x2，所以在区间[1，2]上，fxmax＝max{f1，f2}.因为f1＝＋2m－3＝2m－，f2＝2＋22m－3＋ln2＝4m－4＋ln2，所以解得而－＝＜0，所以m≤.故实数m的取值范围是.法二　fx＜－2，即x2＋2m－3x＋lnx＜－

2.在区间1，2上，x2＋2m－3x＋lnx＜－2⇔2m－3＜－＝－x－.令gx＝－x－，x∈1，2，则g′x＝－－＝.令hx＝－x2＋2lnx＋2，x∈1，2，则h′x＝－2x＋＝＜0，所以函数hx在区间1，2上单调递减.因为h1＝1＞0，h2＝2ln2－2＜0，所以存在唯一的x0∈1，2，使得hx0＝0，且当x∈1，x0时，hx＞0，即g′x＞0；当x∈x0，2时，hx＜0，即g′x＜

0.所以函数gx在区间1，x0上单调递增，在区间x0，2上单调递减，因此在[1，2]上，gxmin＝min{g1，g2}.因为g1＝－－2＝－，g2＝－1－＝－2－，所以g2－g1＝－＝＞0，即g2＞g

1.故当x∈1，2时，gx＞g

1.因此2m－3≤－，m≤.故实数m的取值范围是.。