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限时规范训练七 圆锥曲线中的最值、范围问题建议用时45分钟解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤1.如图,已知抛物线C1x2=2py的焦点在抛物线C2y=x2+1上.1求抛物线C1的方程及其准线方程;2过抛物线C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM,PN,切点为M,N.若PM,PN的斜率乘积为m,且m∈
[24],求|OP|的取值范围.解1C1的焦点为F,所以=0+1,p=
2.故C1的方程为x2=4y,其准线方程为y=-
1.2任取点P2t,t2,设过点P的C2的切线方程为y-t2=kx-2t.由得x2-2kx+4tk-2t2+2=
0.由Δ=-2k2-44tk-2t2+2=0,化简得k2-4tk+2t2-2=0,设PM,PN斜率分别为k1,k2,则m=k1k2=2t2-2,因为m∈
[24],所以t2∈
[23],所以|OP|2=4t2+t4=t2+22-4∈
[1221],所以|OP|∈[2,]2.2016·河北石家庄市模拟在平面直角坐标系xOy中,一动圆经过点且与直线x=-相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线E.1求曲线E的方程;2设P是曲线E上的动点,点B、C在y轴上,△PBC的内切圆的方程为x-12+y2=1,求△PBC面积的最小值.解1由题意可知圆心到的距离等于到直线x=-的距离,由抛物线的定义可知,曲线E的方程为y2=2x.2法一设Px0,y0,B0,b,C0,c,直线PB的方程为y0-bx-x0y+x0b=0,又圆心10到PB的距离为1,所以=1,整理得x0-2b2+2y0b-x0=0,同理可得x0-2c2+2y0c-x0=0,所以b,c是方程x0-2x2+2y0x-x0=0的两根,所以b+c=,bc=,依题意bc0,即x02,则b-c2=,因为y=2x0,所以|b-c|=,所以S=|b-c|x0=x0-2++4≥8,当x0=4时上式取得等号,所以△PBC面积的最小值为
8.法二设Px0,y0,直线PB y-y0=kx-x0,由题意知PB与圆x-12+y2=1相切,则=1,整理得x-2x0k2+21-x0y0k+y-1=0,k1+k2=-,k1k2=,依题意x02,则|yB-yC|=|y0-k1x0-y0-k2x0=|k1-k2|x0,又|k1-k2|=,则|yB-yC|=,所以S=|yB-yC||x0|=x0-2++4≥8,当且仅当x0=4时上式取得等号,所以△PBC面积的最小值为
8.3.已知圆E x2+2=经过椭圆C+=1ab0的左、右焦点F1,F2且与椭圆C在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线.直线l交椭圆C于M,N两点,且=λλ≠0.1求椭圆C的方程;2当△AMN的面积取到最大值时,求直线l的方程.解1∵F1,E,A三点共线,∴F1A为圆E的直径,∴AF2⊥F1F
2.由x2+2=,得x=±,∴c=,|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,2a=|AF1|+|AF2|=4,a=
2.∵a2=b2+c2,∴b=,∴椭圆C的方程为+=
1.2由题知,点A的坐标为,1,∵=λλ≠0,∴直线的斜率为,故设直线l的方程为y=x+m,联立得,x2+mx+m2-2=0,设Mx1,y1,Nx2,y2,∴x1+x2=-m,x1x2=m2-2,Δ=2m2-4m2+8>0,∴-2<m<
2.又|MN|=|x2-x1|==,点A到直线l的距离d=,∴S△AMN=|MN|·d=×|m|=≤×=,当且仅当4-m2=m2,即m=±时等号成立,此时直线l的方程为y=x±.4.已知圆C1x2+y2=r2r>0的一条直径是椭圆C2+=1a>b>0的长轴,过椭圆C2上一点D的动直线l与圆C1相交于点A,B,弦AB长的最小值是.1求圆C1和椭圆C2的方程;2椭圆C2的右焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线m,n,设直线m交圆C1于点P,Q,直线n交椭圆C2于点M,N,求四边形PMQN面积的取值范围.解1当l垂直于OD时|AB|最小,因为|OD|==,所以r==2,因为圆C1x2+y2=r2r>0的一条直径是椭圆C2的长轴,所以a=
2.又点D在椭圆C2+=1a>b>0上,所以+=1⇒b=,所以圆C1的方程为x2+y2=4,椭圆C2的方程为+=
1.2椭圆C2的右焦点F的坐标是10,当直线m垂直于x轴时,|PQ|=2,|MN|=4,四边形PMQN的面积S=4;当直线m垂直于y轴时,|PQ|=4,|MN|=3,四边形PMQN的面积S=6,当直线m不垂直于坐标轴时,设n的方程为y=kx-1k≠0,此时直线m的方程为y=-x-1,圆心O到直线m的距离为d=,所以|PQ|=2=2,将直线n的方程代入椭圆C2的方程得到4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0,|MN|=,所以四边形PMQN的面积S=|PQ|·|MN|===4·∈64,∵4+>4∴0<<∴-<<0∴<+1<1∴<<1综上,四边形PMQN的面积的取值范围是
[64].。