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专题
6.2等差数列与等比数列试题文【三年高考】
1.【2016高考新课标2文数】等差数列{}中,.(Ⅰ)求{}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如[
0.9]=0[
2.6]=
2.2.【2016高考北京文数】已知是等差数列,是等差数列,且,,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.【解析】(I)等比数列的公比,所以,.设等差数列的公差为.因为,,所以,即.所以(,,,).(II)由(I)知,,.因此.从而数列的前项和.3.【2016高考山东文数】已知数列的前n项和,是等差数列,且.(I)求数列的通项公式;(II)令.求数列的前n项和.4.【2015高考新课标1,文7】已知是公差为1的等差数列,为的前项和,若,则()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】∵公差,,∴,解得=,∴,故选B.
5.【2015高考陕西,文13】中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________【答案】5【解析】若这组数有个,则,,又,所以;若这组数有个,则,,又,所以;故答案为
56.【2015高考福建,文17】等差数列中,,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求的值.
7.【2015高考天津,文18】已知是各项均为正数的等比数列是等差数列且.(I)求和的通项公式;(II)设求数列的前n项和.
8.【2015高考广东,文19】设数列的前项和为,.已知,,,且当时,.
(1)求的值;
(2)证明为等比数列;
(3)求数列的通项公式.【解析】
(1)当时,,即,解得
(2)因为(),所以(),即(),因为,所以,因为,所以数列是以为首项,公比为的等比数列
(3)由
(2)知数列是以为首项,公比为的等比数列,所以即,所以数列是以为首项,公差为的等差数列,所以,即,所以数列的通项公式是
9.【2014高考江西卷文第13题】在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取最大值,则的取值范围_________.【答案】【解析】由题意得,所以,即
10.【2014高考辽宁卷文第9题】设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则()A.B.C.D.【答案】C11.【2014高考福建卷文第17题】在等比数列中,.
(1)求;
(2)设,求数列的前项和.【解析】1设的公比为q,依题意得,解得,因此,.
(2)因为,所以数列的前n项和.
12.【2014高考重庆文第16题】已知是首项为1,公差为2的等差数列,表示的前项和.(I)求及;(II)设是首项为2的等比数列,公比满足,求的通项公式及其前项和.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题对等差数列和等比数列的考查,主要以等差数列和等比数列为素材,围绕着等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式的运用设计试题,而等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性,是高考必考内容,着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法,题型不仅有选择题、填空题、还有解答题,题目难度中等.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出对于等差与等比数列的综合考查也频频出现.考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力,这个“灵活”就集中在“转化”的水平上.在解答题中,有的考查等差数列、等比数列通项公式和求和知识,属于中档题,有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查,难度较大.等差数列和等比数列的判定,可能会在解答题中的第一问,或者渗透在解题过程中.等差数列、等比数列的通项公式,以小题形式或者在解答题中考查,是解决等差数列和等比数列的瓶颈,要熟练掌握.等差数列和等比数列性质的运用,主要以选择或者填空的形式考查,难度较低.对等差数列、等比数列前n项和的考查,直接考查或者通过转化为等差数列、等比数列后的考查.在2017年对数列的复习,除了加强“三基”训练,同时要紧密注意与函数、不等式、解析几何结合的解答题.故预测2017年高考可能以等差数列与等比数列的基本性质为主要考查点,重点考查学生基本运算能力以及转化与化归能力,试题难度中等.【2017年高考考点定位】高考对等差数列和等比数列的考查有四种主要形式一是考察等差数列和等比数列的判定,主要以定义为主;二是考察通项公式,直接求或者转化为等差数列和等比数列后再求;三是对等差数列和等比数列的性质的考查;第四是求和.【考点1】等差数列和等比数列的判定【备考知识梳理】1.等差数列的判定
①(为常数);
②;
③(为常数);
④(为常数).其中用来证明方法的有
①②.
2.等比数列的判定
①();
②();
③;
④其中用来证明方法的有
①②.【规律方法技巧】判断等差数列和等差数列的判断方法判断等差数列和等比数列,可以先计算特殊的几项,观察其特征,归纳出等差数列或者等比数列的结论,证明应该首先考虑其通项公式,利用定义或者等差中项、等比中项来证明,利用通项公式和前n项和只是作为判断方法,而不是证明方法,把对数列特征的判定渗透在解题过程中,可以帮助拓展思维和理思路.【考点针对训练】
1.【2016年安徽淮北高三考前质量检测】如图,已知点为的边上一点,,为边的一列点,满足,其中实数列中,则的通项公式为()A.B.C.D.【答案】D
2.【2016届石家庄市高三二模】设是数列的前项和,且,则使取得最大值时的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,所以有,即为首项等于公差为的等差数列所以,则,因为当且仅当时取等号,因为为自然数,所以根据函数的单调性可从与相邻的两个整数中求最大值,,,所以最大值为,此时,故本题正确选项为D.【考点2】等差数列和等比数列的通项公式与前n项和【备考知识梳理】1.等差数列的通项公式,2.等比数列的通项公式,3.等差数列前n项和公式Sn=Sn=
4.等比数列前n项和公式当q=1时,Sn=na1是关于n的正比例式;当q≠1时,Sn=Sn=
5.当公差时,等差数列递增;当时,等差数列递减;当时,等差数列为常数列
6.对于等比数列an=a1qn-
1.可用指数函数的性质来理解.当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列是递增数列;当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,等比数列{an}是递减数列.当q=1时,是一个常数列.当q<0时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列.【规律方法技巧】1.等差数列和等比数列通项公式有两个,一个表示的是项与首项关系和;另一个表示的是数列任意两项的关系和,有时候选择后组,可以很快求出答案.1.满足或者的数列为等差数列;满足或者的数列为等比数列.1.等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素(或)、、、,“知三求二”是等差(等比)的基本题型,通过解方程的方法达到解题的目的.【考点针对训练】
1.【2016年河南郑州高三第二次联考】设数列满足,且,则的值是()A.B.C.D.【答案】D.【解析】∵,∴数列是以为首项,为公差的等差数列,∴,故选D.
2.【2016届淮南市高三.二模】已知数列满足,且,则前10项和等于()A.B.C.D.【答案】B【考点3】等差数列和等比数列的性质【备考知识梳理】1等差数列{an}中,若m+n=p+q,则2等比数列{an}中,若m+n=p+q,则3等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列、……仍为等差数列4等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列……仍为等比数列(当m为偶数且公比为-1的情况除外)5两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列6两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列
7.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列8等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列9.等差中项公式A=(有唯一的值)
10.等比中项公式G=(ab0,有两个值)【规律方法技巧】
1.等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的.
1.在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.
1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.【考点针对训练】
1.【2016届河北省衡水中学高三下练习五】在等比数列中,若,则()A.B.C.D.【答案】C
2.【2016届福建福州三中高三最后模拟】在等比数列中,,则()A.18B.24C.32D.34【答案】D【解析】设等比数列的公比为,因为,所以或;若,则;若,则,故选D.【应试技巧点拨】1.等差、等比数列的判定与证明方法1定义法为常数⇔是等差数列;为非零常数⇔是等比数列;2利用中项法⇔是等差数列;⇔是等比数列注意等比数列的,;3通项公式法为常数⇔是等差数列;为非零常数⇔是等比数列;4前项和公式法为常数⇔是等差数列;为常数,⇔是等比数列;5若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列,只需用验证即可.2.等差比数列的通项公式、求和公式中一共包含或,与这五个量,如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其中或是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.[易错提示] 等差比数列的基本运算中,容易出现的问题主要有两个方面一是忽视题中的条件限制,如公差与公比的符号、大小等,导致增解;二是不能灵活利用等差比数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.
3.等差数列前项和的最值问题对于等差数列前项和的最值问题,取决于首项和公差的正负即,时,有最大值;,时,有最小值.常用下面两个方法去解决1若已知,可用二次函数最值的求法();2若已知,则最值时的值()可如下确定或.
4.利用等比数列求和公式注意的问题在利用等比数列前n项和公式求和时,如果公比未知,且需要利用求和公式列方程时,一定要对公比分两种情况进行讨论.二年模拟
1.【2016届邯郸市一中高三十研】已知等比数列的前项和为,,且,则()A.B.C.D.【答案】D
2.【2016年九江市三模】设是等差数列的前项和,若,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】由得,∴.
3.【2016届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考】设为等差数列,公差d=2,为其前n项和,若,则A.18B.20C.22D.24【答案】B【解析】由得即.由于所以.故B正确.
4.【2016河南省八市重点高中质检】5个数依次组成等比数列,且公比为-2,则其中奇数项和与偶数项和的比值为()A.B.-2C.D.【答案】C【解析】由题意可设这5个数分别为故奇数项和与偶数项和的比值为.故选C
5.【2016河北省石家庄市高三二模】设为等差数列的前项和,若,公差,则的值为()A.B.C.D.【答案】C
6.【2016年安庆市高三二模】数列满足(且)若数列是等比数列则的值等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】由得.由于数列是等比数列所以得.故选D.
7.【2016年河南六校高三联考】已知正项数列的前项和为,若和都是等差数列,且公差相等,则()A.B.C.D.1【答案】A.【解析】由题意得,,又∵是等差数列,且公差相同,∴,∴,∴故选A.
8.【河南商丘市高2016年高三三模】在等差数列中,首项,公差,若,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】所以.9.【2016年江西九江市高三三模】已知数列满足.(Ⅰ)求证数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前项和.
10.【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知等差数列的前项和为,公差为,且,,成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设(),求数列的前项和.
11.【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列中,,则前12项和的最小值为()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】因为,当且仅当时取等号,所以的最小值为,选D.
12.【2015届北京市西城区高三二模】数列为等差数列,满足,则数列前项的和等于()A.B.21C.42D.84【答案】B.【解析】∵等差数列,∴,∴,∴,故选B.
13.【2015届福建省泉州五中高三模拟】已知数列为递增等比数列,其前项和为.若,,则A.B.C.D.【答案】C【解析】由于数列是递增的等比数列,,,代入得,整理得,数列是递增的等比数列,,故答案为C.
14.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】设等差数列的前项和为,且满足,对任意正整数,都有,则的值为A.1006B.1007C.1008D.1009【答案】C
15.【2015届山东省实验中学高三6月份模拟】数列的前n项和记为,等差数列的各项为正,其前n项和为,且,又成等比数列.(Ⅰ)求,的通项公式;(Ⅱ)求证当n2时,【解析】(Ⅰ)由,得,两式相减得,所以,所以,又所以,从而,而,不符合上式,所以,因为为等差数列,且前三项的和,所以,可设,由于,于是,因为成等比数列,所以,或(舍),所以(Ⅱ)因为,所以,当时.拓展试题以及解析
1.已知在等差数列中,前项的和为,,且,则()A.B.C.D.【答案】D【入选理由】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识,意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考试题要求,故选此题.
2.在等比数列中,,,且数列的前项和,则此数列的项数等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【入选理由】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式,等比数列的性质等基础知识,意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考试题要求,故选此题.
3.设公差不为零的等差数列的前项和为,若,则()A.B.C.7D.14【答案】C.【解析】根据等差数列的性质,,化简得,∴,故选C.【入选理由】本题考查等差数列的通项公式及其前项和,,等差数列的性质等基础知识,意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考试题要求,故选此题.
4.已知等比数列的前项和为,满足,且,则的值为【答案】【解析】由题意得,,两式相减得,因此公比满足,即.因为,所以当时,,与矛盾,舍去;当时,,满足题意,因此【入选理由】本题考查等比数列的通项公式及其前项和,,等比数列的性质等基础知识,意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考试题要求,故选此题.
5.已知数列{}中,,,则数列{}的前20项和为.【答案】1123【解析】由题知数列{}是首项为1,公比为2的等比数列,数列是首项为1,公差为2的等差数列,故数列{}的前20项和为=
1123.【入选理由】本题主要考查等比数列、等差数列的定义与前n项和公式及分组求和等基础知识,意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考试题要求,故选此题.
6.已知数列{}的前n项和为,且满足.(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)若=,求数列{}的前n项和.【入选理由】本题主要考查等比数列的概念、构造法求数列通项公式、裂项相消法求和等基础知识,意在考查学生的学生运算能力,观察分析,解决问题的能力,以及转化与化归思想.本题考查知识基础,难度适中,故选此题.
7.已知数列是等差数列,且.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)若,数列的前项和为,对于整数m,恒有成立,求m的最小值.【入选理由】本题主要考查等差数列的通项公式、裂项相消法求和等基础知识,考查学生分析问题、解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用数列是等差数列,求出公差和首项,再求出数列的通项公式,从而得出的通项公式;第二问,将第一问的结论代入中,利用裂项相消法求和,求出,本题考查知识基础,难度适中,故选此题.
8.已知数列的前项和为,数列为公比大于1的等比数列,且,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.【解析】
(1)对于数列当时,;当时,,当时也满足此式.所以.对于数列设其公比为,由已知条件得解得或又因为数列的公比大于1,所以,从而得.
(2)由
(1)得当为偶数时
①②1-
②得=所以【入选理由】本题主要考查由已知求、等比数列的基本运算与性质以及错位相减法求和等,考查基本的运算能力以及转化与化归思想、函数与方程思想等.本题求和时需分类讨论,从而求和,有一定的新意,故选此题.。