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第5章控制系统的频域分析
5.1频率特性及其描述
5.
1.1频率特性的基本概念及求取
5.
1.2频率特性的表示方法
1.代数表示方法
2.几何表示方法
5.2典型环节的频率特性
5.3控制系统开环幅相频率特性的绘制及奈奎斯特稳定判据
5.
3.1系统开环极坐标图的绘制
5.
3.2最小相位系统与非最小相位系统
5.
3.1应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性
1.奈奎斯特稳定判据
2.应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性
5.4控制系统开环对数频率特性的绘制及对数稳定判据
5.
4.1系统开环对数频率特性的绘制
5.
4.2应用对数稳定判据判断系统的稳定性
5.5非单位反馈控制系统和多回路系统的稳定性分析
5.
5.1非单位反馈控制系统的稳定性分析
5.
5.2多回路系统的稳定性分析
5.6控制系统的相对稳定性
5.
6.1增益裕量
5.
6.2相角裕量
5.
6.3控制系统的相对稳定性分析
5.7闭环系统的频率特性分析
5.
7.1闭环频率特性与开环频率特性的关系
5.
7.2等M圆与等N圆
5.
7.3闭环频域性能指标与时域性能指标
5.8应用__TLAB绘制系统的频率特性
5.9例题精解本章小结习题第五章控制系统的频域分析本章将研究频率特性的基本概念、典型环节和系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据、稳定裕度、根据频率特性求过渡过程性能指标的方法及__TLAB在绘制系统的频率特性中的应用§5-1频率特性及其描述
5.
1.1频率特性的基本概念及求取
1.频率特性的基本概念频率特性又称频率响应,它是系统或元件对不同频率正弦输入__的响应特性,对于线性系统,若其输入__为正弦量,则其稳态输出__也将是同频率的正弦量,但其幅值和相位一般都不同于输入量下面以RC电路为例,说明频率特性的基本概念图5-1所示的RC电路,uit和uot分别为电路的输入电压和输出电压,电路的微分方程为式中T=RC为电路的时间常数RC电路的传递函数为(5-1)当输入电压为正弦函数uit=Uisinωt,则由式5-1可得经拉氏反变换得电容两端的输出电压式中,第一项为输出电压的暂态分量,第二项为稳态分量当t→∞时,第一项趋于零,于是(5-2)式中,由式5-2可见,电路的稳态输出仍然是正弦电压,其频率和输入电压的频率相同,幅值是输入幅值的倍相角比输入迟后显然和都是ω的函数,前者称为RC电路的幅频特性,后者称为RC电路的相频特性,图5-2绘出了RC电路的幅频和相频曲线由曲线可见,输入电压的频率ω较低时,输出和输入的幅值相等,相角迟后不大,ω增大时,输出的幅值减小,相角迟后增大,ω→∞时,输出幅值为零,相角迟后90°一般的线性系统如图5-3所示,当输入__为时,在t→∞,即稳态情况下,由分析法或实验的方法也可得出输出__为,显然yt也是正弦函数,如图5-4所示yt和xt具有相同的频率,但幅值和相角不同进一步研究可知稳态输出分量的振幅Y与输入正弦函数的振幅X的比值Y/X和相角差都是角频率的函数我们定义正弦输出量与正弦输入量的幅值之比为幅频特性,它描述系统对不同频率输入__,在稳态情况下的衰减(或放大)特性定义输出量与输入量的相角之差为相频特性,它描述系统的稳态输出对不同频率正弦输入__在相位上产生的相角迟后对应或相角超前对应的特性幅值和相角在复平面上构成一个完整的向量,如图5-5所示用表示这一向量,当然它也是的函数,称为系统的频率特性,记为(5-3)利用和可将输出正弦函数的幅值和相角表示为(5-4)(5-5)
2.频率特性的求取频率特性和传递函数以及微分方程一样,也表征了系统的运动规律,因此频率特性也是数学模型的一种,是频率域的数学模型,传递函数是复数域的数学模型,微分方程是时间域的数学模型它们都反映了系统的固有特性,一个系统可以用这三种不同的数学模型来描述,知道其中一种数学模型便可求出另一种数学模型它们三者之间的关系可用图5-6表示例如系统的传递函数为令s=ω代入上式,则得系统的频率特性为也就是说,知道了系统的微分方程、传递函数便很容易求,反之也一样
5.
1.2频率特性的表示方法
1.代数表示方法显然,频率特性是一复数,所以它和其它复数一样,可表示为直角坐标形式、极坐标形式和指数形式直角坐标表示式(5-6)极坐标表示式(5-7)指数表示式(5-8)在以上各式中,通常称Pω为实频特性;Qω为虚频特性;Aω为幅频特性;为相频特性;|Gjω|为Gjω的模;为Gjω的相角显然实频特性5-9虚频特性5-10幅频特性5-11相频特性(5-12)由式5-2可得图5-1所示RC电路的幅频特性和相频特性分别为若将线性系统或装置在正弦输入作用的稳态情况下,输入、输出正弦函数用向量表示,即正弦函数xt,yt分别用表示为式中,X,Y和,分别表示xt,yt的幅值和相角则即5-13由此可知,频率特性等于输出量傅氏变换与输入量傅氏变换之比,它表示线性系统稳态情况下输出、输入正弦__之间的数学关系,与频率有关,是频率域中的数学模型
2.几何表示方法除了数学表达式外,图形比数学表达式更形象,使用也更方便在工程分析和设计中,通常把频率特性画成曲线,从这些频率特性曲线出发进行研究,常用的频率特性曲线有幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线,下面介绍前两种频率特性曲线
①、幅相频率特性曲线极坐标频率特性曲线幅相频率特性曲线简称幅相曲线,也叫极坐标频率特性曲线它是在复平面上用一条曲线表示ω由零变化到无穷大时的频率特性,其特点是把频率ω看成参变量,将频率特性的幅频和相频特性同时表示在复平面上根据幅相特性曲线上任一点的实部、虚部和由原点到这一点向量的幅值、相角可以得相应于该点频率的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性,如图5-7所示前面讲过RC电路的传递函数为式中T=RC,由上式可求得频率特性幅频特性相频特性对于一个确定的频率,必有一个幅频特性的幅值和相频特性的相角与之对应时,,幅值
0.71和相角-45°在复平面上就代表一个向量ω=0时,A0=1,,同样幅值1和相角0°在复平面上又代表一个向量,当ω从0变化到∞时,相应向量的矢端就描绘出一条曲线,这条曲线就是幅相曲线极坐标曲线或Nyquist曲线,RC电路的幅相曲线如图5-8所示根据频率特性和传递函数的关系,频率特性曲线是以平面上变量s沿正虚轴变化时在Gs平面得到的映射同理,变量在s平面上沿负虚轴变化时,也可在Gs平面上得到它的映射幅频特性是ω的偶函数,相频特性是ω的奇函数,因此ω从0~-∞的频率特性曲线和ω从0~∞的频率特性曲线是对称于实轴的为了表示频率特性和传递函数的关系,通常绘有频率特性曲线的复平面标注为Gs平面,将在Gs平面上绘有频率特性的图称为频率特性的极坐标图或奈奎斯特图
②、对数频率特性曲线对数频率特性曲线又称伯德曲线,包括对数幅频和对数相频两条曲线,是广泛使用的一组曲线,这两条曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图或称伯德图对数频率特性曲线的横坐标是频率ω,并按ω的对数值logω进行线性分度的,对数分度和线性分度的区别如图5-9所示频率轴上每一线性单位表示频率的十倍变化称十倍频程或十倍频,用符号dec表示例如ω2=10ω1,则频率ω从
1.0到10的对数分度见表5-1所示由于横坐标按logω线性分度,所以零频率在线性分度的-∞处,横坐标对ω而言是不均匀分度的,但对logω来讲却是均匀的表5-1ω12345678910log
0.
0000.
3010.
4770.
6020.
6990.
7880.
8450.
9030.
9541.000对数幅频特性曲线的纵坐标是以对数值Lω=20logAω表示,单位是分贝,用符号dB表示,和横坐标不同的是通常直接将20logAω值标注在纵坐标上对数相频特性的纵坐标,一般用度或弧度为单位进行线性分度所以对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在半对数坐标纸上,频率轴为对数坐标采用对数坐标轴的优点是
(1)可以将幅值的乘除化为加减
(2)可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线
(3)将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲线,能方便地确定频率特性的函数表达式或传递函数另一种曲线是对数幅相曲线又称尼柯尔斯曲线,对应的曲线图称为对数幅相图又称尼柯尔斯图,对数幅相曲线在这里就不介绍了
5.2典型环节的频率特性
5.
2.
1、比例环节的频率特性比例环节的传递函数K为比例系数频率特性(5-14)由此可得比例环节的实频特性(5-15)虚频特性(5-16)幅频特性(5-17)相频特性(5-18)对数幅频特性(5-19)比例环节幅相曲线为实轴上的K,j0点,对数幅频特性为平行于频率轴Lω=20logKdB的一直线,相频特性为零度线,如图5-10所示
5.
2.
2、积分环节的频率特性积分环节的传递函数频率特性5-20由此可得积分环节的实频特性5-21虚频特性(5-22)幅频特性(5-23)相频特性5-24对数幅频特性5-25积分环节的幅相曲线如图5-11所示,重合于负虚轴频率ω从0~∞时,特性曲线由虚轴的-j∞处趋向原点积分环节的对数幅频特性的频率轴是以logω分度,由式5-25可知,Lω对logω的关系是直线方程-20dB/dec是直线的斜率直线的位置由下式确定当ω=1时,logω=0,Lω=20logK,直线过点120logK,或当logω=logKω=K时,Lω=0,即直线与ω轴的交点在ω=K处积分环节的对数频率特性如图5-12所示
5.
2.
3、惯性环节的频率特性惯性环节的传递函数频率特性(5-26)实频特性(5-27)虚频特性(5-28)幅频特性(5-29)相频特性(5-30)式中K为比例系数,T为时间常数
1.幅相特性曲线对于任一给定频率ω,可由上列公式计算出相应的和或和,从而得到复平面上的一个点,当ω由0~∞时,则可得到一条曲线,如图5-13所示惯性环节的幅相曲线是一个半圆证明如下用式5-28除以式5-27可得(5-31)将式5-31代入式5-27,则有即5-32最后整理得5-33显然,在P-Q的直角坐标平面上,惯性环节的幅相曲线是圆心为半径为,位于第Ⅳ象限的半圆当ω从-∞~0时,得实轴上方的半圆,它是实轴__第Ⅳ象限的半圆的镜像
2.对数频率特性曲线惯性环节对数幅频特性为5-34当ω由0到∞取值时,计算出相应的对数幅值,即可绘制对数幅频特性曲线但工程上常用分段直线近似表示对数幅频特性曲线在低频段,ω很小,当时,对数幅频特性可以近似为5-35这是一条纵坐标分贝值为20logK,平行于横轴的直线,称为低频渐近线在高频段ω很大,当时,对数幅频特性可近似为5-36这是一条斜率为-20dB/dec的直线,当时,这一直线的分贝值,称这一直线为高频渐近线如图5-14所示当ω→0时,对数幅频特性曲线趋于低频渐近线当ω→∞时,对数幅频特性曲线趋于高频渐近线低频和高频渐近线的交点的频率为,称为交接频率或转折频率可用这两条渐近线组成的分段直线近似表示惯性环节的对数幅频特性其误差可由下式确定当时(5-37)当时(5-38)显然,最大误差发生在交接频率处,最大误差为对数幅频特性的交接频率与T有关,但对数幅频特性的形状是不变的图5-15绘出了惯性环节用分段直线表示的近似特性的误差曲线惯性环节的对数相频特性为(5-39)表5-2给出了ω/ω0为不同值时的值,根据表5-2可绘出惯性环节的对数相频特性曲线,如图5-14b所示表5-
20.
010.
050.
10.
20.
30.
50.
71.
02.
03.
05.
07.01020100-
0.6-
2.9-
5.7-
11.3-
16.7-
26.6-35-45-
63.4-
71.6-76-
81.9-
84.3-
87.1-__.
45.
2.
4、振荡环节的频率特性振荡环节的传递函数(5-40)式中,T为时间常数,K为比例系数,为阻尼系数,0≤≤1以代替s可得振荡环节的频率特性当K=1时,振荡环节的频率特性为(5-41)实频特性(5-42)虚频特性(5-43)幅频特性(5-44)相频特性(5-45)
1.振荡环节的幅相特性曲线以为参变量,计算ω为不同值时的Pω和Qω〔或Aω和〕,可在复平面上绘出振荡环节的幅相特性曲线曲线形状和值有关,如图5-16所示当ω=0时,Aω=1,=0,频率特性在正实轴上;当时,,,频率特性和负虚轴相交值愈小,虚轴上的交点离原点愈远,当ω→∞时,Aω→0,→-180°,即特性沿负实轴方向趋向原点图5-17绘出了以相对频率为横坐标的幅频特性曲线当值较小时,幅频特性有极大值,称谐振峰值这一特点,在绘制振荡环节的幅相曲线时应予以注意令dAω/dω=0,可求得幅频特性出现峰值的频率(5-46)显然ωP和值有关ωP称为谐振频率或峰值频率当时,ωP=0;当时,ωP为虚数,说明幅频特性不存在谐振峰值当时,将式5-46代入式5-44可得幅频特性的谐振峰值为5-
472.振荡环节的对数频率特性曲线振荡环节的对数幅频特性为(5-48)在低频段,当时,即时(5-49)在高频段,当时,即时(5-50)式5-49表示一条和横坐标轴相重合的直线即零dB线,称为振荡环节的低频渐近线式5-50表示一条斜率为-40dB/dec的直线,当时,该直线和横坐标轴相交,称此直线为振荡环节的高频渐近线可用这两条渐近线组成的分段直线近似表示振荡环节的对数幅频特性两渐近线交点的频率为,称为振荡环节的交接频率或转折频率图5-18a绘出了以相对频率ωT为横坐标的振荡环节的渐近线和按式5-48得到的准确曲线准确曲线的形状和值有关不同值下,分段直线的近似表示和准确曲线的误差绘于图5-19中由式5-45可绘出振荡环节的相频特性,其特点是当ω=0时,;当ω→∞时,→-180°;当时,=-90°相频特性的这三个相角值和无关,其它频率的相角值均和有关,如图5-18b所示在低频段,相频特性也可用下列近似公式当ω<
0.4时(5-51)当T>
2.5时(5-52)
5.
2.
5、微分环节的频率特性根据各种微分环节的传递函数,可以写出它们的频率特性纯微分环节、一阶微分环节、二阶微分环节的传递函数分别为频率特性分别为(5-53)5-545-55当各环节的比例系数K=1时,上述各微分环节的频率特性分别为积分环节、惯性环节和振荡环节的频率特性的倒数,所以不难绘制各微分环节的频率特性纯微分环节的幅相曲线和对数频率特性分别如图5-20和图5-21所示一阶微分环节的实频特性5-56虚频特性5-57幅频特性5-58相频特性5-59对数幅频特性5-60一阶微分环节的幅相曲线如图5-22所示对数频率特性如图5-23所示二阶微分环节的幅相曲线如图5-24所示对数频率特性如图5-25所示
5.
2.
6、延迟环节的频率特性延迟环节的传递函数频率特性(5-61)幅频特性5-62相频特性5-63延迟环节的幅相曲线是圆心在坐标原点,半径为1的圆即单位圆,其相角的大小随频率增大而线性增加如图5-26所示延迟环节的对数幅频特性所以,对数幅频特性为0分贝线对数相频特性为指数曲线,它不是直线因为对数相频特性的横坐标是按logω划分的当时,相角值为延迟环节的对数频率特性如图5-27所示§5-3开环系统幅相频率特性的绘制及奈奎斯特稳定判据系统在开环时频率特性和它在闭环时的频率特性是有密切__的,因此可以利用开环频率特性来分析研究系统闭环时的工作特性,如可以利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性等
5.
3.1系统开环极坐标图的绘制设已知系统的开环传递函数为(5-64)在式5-64中没有二次因式表示,这并不影响以后的分析将s=jω代入5-64式,可得系统的开环频率特性为5-65可用复数运算求得它的实频、虚频特性开环系统的幅频、相频特性表示如下5-66用不同ω值代入式5-
65、5-66就可以逐点描绘系统的开环幅相特性开环幅相特性有如下特点
(1)开环幅相特性曲线的起点,即ω=0的点起点与系统的类型有关,也就是与系统积分个数v有关对于0型系统,当ω=0时,由式5-65可得A0=K,即幅值等于开环增益;而=0°由此可知,曲线由实轴上的K,j0点开始,如图5-28所示对于Ⅰ型系统,当ω→0时,,或者由ω→0,A0→∞,,可知曲线开始于负虚轴的无穷远处,此时的幅相特性如图5-28所示对于Ⅱ型系统,当ω→0时,,或者由ω→0A0→∞,,可知曲线起始于负实轴的无穷远处,此时的幅相特性如图5-28所示图5-28绘出0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统的幅相曲线低频部分的一般形状同理,可推知其它各型系统幅相曲线的起始情况,即若系统有v个积分环节,则开环幅相特性将开始于相位为,幅值为∞的地方但要注意,实际的起点可能在坐标轴的任一边,这要用求渐近线的方法来确定
(2)开环幅相曲线的终点对最小相位系统开环零极点都在左半复平面上的系统来说,当ω由0~∞时,各一次因子的相位为,都由0°~90°显然,若有二次因子,它的相位将变化2×90°因此,开环系统的相位将由-v×90°变化到-n-m×90°例如对0型系统来说,特性曲线由正实轴处开始,顺时针转了n-m个象限,且由于n>m,故必有ω→∞时,Aω→0,即最后转到原点上同理任意v型系统的特性曲线,必由相位为-v×90°处的始点开始,顺时针转动n-v-m个象限后到达原点,如图5-29所示
(3)开环幅相特性曲线与虚、实轴的交点如果特性曲线转过了几个象限,它必定与实轴或虚轴有交点交点确定方法如下由Pω=0求得ω值,它就是特性曲线和虚轴相交时的频率用此ω值求得的Qω,即可得曲线与虚轴的交点值由Qω=0求解出曲线与实轴相交时的ω值,用此ω求得的Pω即为曲线与实轴的交点值利用上述特点就可较快地大致画出幅相特性的图形,如果局部需要更精细些,则可再确定若干个点来画已知开环系统的频率特性,根据不同的ω值,计算出相应的Pω和Qω或Aω和,可在复平面上得到不同的点并连成频率特性曲线例5-1设开环系统的传递函数为,试绘出系统的开环幅相曲线解分母有理化实频特性5-67虚频特性5-68幅频特性5-69相频特性5-
701.起点当ω=0时,P0=K,Q0=0,A0=K=0°
2.终点当ω→∞时,P∞=0,Q∞=0,A∞=0,=-180°
3.与虚轴的交点令Pω=0,即,得,将ω1代入式5-68得设K=10=1=5时,代入5-67和5-68式,取ω为不同值时Pω和Qω结果如表5-3表5-
300.
050.
10.
150.
20.
30.
40.
60.
81.
02.0∞
10.
09.
277.
55.
563.
851.
550.34-
0.59-
0.79-
0.77-
0.3800-
2.82-
4.75-
5.63-
5.77-
5.08-
4.14-
2.65-
1.72-
1.15-
0.240在Gs平面上绘出幅相频率特性曲线如图5-30所示例5-2设开环系统的传递函数为试绘出幅相曲线解经分母有理化可得(5-71)(5-72)幅频特性和相频特性为(5-73)(5-74)这是Ⅰ型系统
1.起点当ω=0时,由式5-73和式5-74可计算出,Q0=-∞,A0=∞,显然当ω→0时,Gjω的渐近线是一条过实轴上点,且平行于虚轴的直线,即幅相曲线起始于负虚轴方向的无穷远处,它的渐近线是
2.终点当ω→∞时,P∞=0,Q∞=0,A∞=0,该系统m=0,n=3,故特性曲线的高频部分沿正虚轴方向趋于原点
3.幅相曲线与实轴的交点令Qω=0,可得,将此ω1值代入式5-71,可得幅相曲线与实轴的交点为,交点对应的频率为可以证明幅相曲线如图5-31所示
5.
3.2最小相位系统与非最小相位系统若系统的开环传递函数在右半s平面无零、极点,称为最小相位系统否则,称为非最小相位系统如果两个系统有相同的幅频特性,那么对大于零的任__率,最小相位系统的相角位移总小于非最小相位系统的相角位移例如最小相位系统和非最小相位系统的传递函数分别为式中0<T<T1两者幅频特性相同而相频特性却不同,且参见图5-32最小相位系统的幅频特性和相频特性直接关联,也即一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应;反之亦然因此,对于最小相位系统,只要根据对数幅频曲线就能写出系统的传递函数例5-3某最小相角系统,其近似对数幅频曲线如图5-33所示试写出该系统传递函数解由图5-33可见,最左端直线斜率是-20dB/dec,故系统包含一个积分环节v=1又ω为1时最左端直线的纵坐标为15dB,由式5-88可求得比例环节K=
5.6因为ω为2时,近似特性从-20dB/dec变为-40dB/dec,故2是惯性环节交接频率类似的分析得知,7是一阶微分环节交接频率于是系统的传递函数
5.
3.2应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性
1.奈奎斯特稳定判据频率法稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的,称为奈奎斯特判据简称奈氏判据奈氏判据与劳斯判据不同,它是根据开环幅相曲线判断闭环系统稳定性的一种方法开环系统频率特性可由分析法给出,在系统数学表达式不能确切知道时,也可用实验测得奈氏判据不仅能判别闭环系统的绝对稳定性,而且根据相对稳定性的概念,它还可用于讨论闭环系统的暂态性能及指出改善系统性能指标的途径,成为设计系统的依据奈奎斯特判据及其证明奈氏判据可以通过对辅助函数Fs应用复变函数幅角原理得到证明
①.辅助函数Fs研究图5-34所示系统图中设Gs和Hs是两个多项式之比如果Gs和Hs无极点与零点对消,则系统开环传递函数5-75闭环传递函数5-76奈氏判据是从研究闭环和开环特征多项式之比这一函数着手的,这个函数仍是复变量s的函数,并称之为辅助函数,记作Fs,即5-77辅助函数和开环传递函数有以下简单关系考虑到物理系统中,开环传递函数分子的最高次幂必小于分母的最高次幂,故Fs可改写为5-78式Zi和Pi分别为Fs的零点和极点由上可知,辅助函数Fs具有如下特点第一,其零点和极点分别是闭环和开环特征根;第二,零点和极点个数相同;第三,Fs和GsHs只差常数1
②.幅角原理在s平面上任选一点s,通过复变函数Fs的映射关系,在Fs平面可以找到相应的象若在Fs的极点-零点分布图5-35a上选择A点,使s从A开始,绕Fs的某零点zi顺时针沿封闭曲线ΓsΓs不包围也不通过任何极点和其它零点转一周回到A相应地,Fs则从Fs平面上B出发且回到B,也描出一条封闭曲线ΓF,如图5-35b所示若s沿Γs变化时,Fs相角的变化为,则由方程5-78可得5-79式中i=1,2,…n表示s沿Γs变化时,向量相角的变化;j=1,2,…,n的含义类似由图5-35a可知,除外,式5-79右端其他各项都为零故=5-80式5-80表明,在Fs平面上,Fs曲线从B开始,绕其原点0顺时针方向转一圈同理,当s从s平面A开始,绕着Fs的某个极点Pk顺时针转一圈时,在Fs平面上,Fs曲线绕其原点0反时针转一圈幅角原理如果封闭曲线Γs内有Z个Fs的零点、P个Fs的极点,则s沿Γs顺时针转一圈时,在Fs平面上,Fs曲线绕其原点反时针转过的圈数R为P和Z之差,即5-81R若为负,表示Fs曲线绕原点顺时针转过的圈数
③.奈氏判据如果把s平面虚轴和半径ρ为无穷大的右半圆取为封闭曲线Γs,那么Γs就扩大为包括虚轴的整个右半s平面这样的封闭曲线Γs也叫奈氏路径幅角原理表达式5-81中的P和Z则分别表示辅助函数Fs位于右半s平面的极点和零点数鉴于辅助函数Fs的第三个特点,Fs曲线绕原点反时针转过的圈数R就是开环传递函数GKs曲线绕-1,j0点反时针转过的圈数此外,由于物理系统中,开环传递函数分母的最高次幂总大于分子的最高次幂,当s沿ρ为无穷的半圆取值时,通过GKs映射到GKs平面的象是原点,这恰好是s平面虚轴无穷远点映射到GKs平面的象于是,式5-81中R、P和Z如今分别具有如下含义R——奈氏曲线〔即s沿虚轴-j∞到j∞取值,频率特性GKjω的幅相曲线〕绕临界点-1,j0反时针转过的圈数;当奈氏曲线反时针包围-1,j0点时R取正,顺时针包围-1,j0点时R取负P——辅助函数Fs在右半s平面极点数;即开环传递函数在右半s平面的极点数Z——辅助函数Fs在右半s平面零点数;即闭环传递函数在右半s平面的极点数根据第三章所得结论可知,闭环系统稳定的充要条件是Z=0,由式5-81可知,此即要求R=P需要指出闭环系统临界稳定时,特征方程有纯虚根,奈氏曲线过临界点,这时奈氏曲线绕临界点反时针转过圈数R是不定的奈氏判据反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线反时针包围临界点的圈数R等于开环传递函数在右半s平面的极点数P,即R=P,Z=0;否则闭环系统不稳定,Z≠0,存在闭环正实部的特征根,闭环正实部特征根的个数Z可按下式确定5-
822.应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性应用奈奎斯特稳定判据判断系统的稳定性通过例题说明例5-4设系统开环传递函数为,试用奈氏判据判闭环系统的稳定性解绘出该系统的开环幅相曲线如图5-36所示,曲线起点在实轴P0=
5.2处,终点在原点,用分析法可得ω=
2.5时,曲线与负虚轴相交,交点为-j
5.06当ω=3时,曲线与负实轴相交,交点为-
2.0开环系统右半s平面的极点数为0当ω从-∞~+∞时,奈氏曲线以顺时针包围-1,j0点两圈,即R=-2Z=P-R=0--2=2,Z≠0,故系统不稳定,在右半s平面有2个根
三、奈氏判据在Ⅰ型和Ⅱ型系统中的应用设开环系统传递函数在原点具有v重极点上述奈氏路径经过原点,所以不能应用幅角定理为使奈氏路径不经过原点,而且仍然能包围整个右半s平面,现以原点为圆心作一半径为无穷小的右半圆并由以下四段线组成奈氏路径i正虚轴s=jω频率由0+变化到+∞;ii半径为无穷大的右半圆R→∞,由→;iii负虚轴s=jω频率由-∞变化到0-;iv半径为无穷小的右半圆R′→0,′由c→,如图5-37对于Ⅰ型系统或Ⅱ型系统,当ω→0+时,频率特性曲线趋于无穷远处,当ω→0-时频率特性曲线也趋于无穷远处频率特性曲线及其镜象在无穷远处的连接线就是奈氏路径中半径为无穷小的半圆在Gs平面的象将半径为无穷小的半圆上的点表示为5-83将式5-83代入上面GKs中,对于Ⅰ型系统,则有5-84它是半径为无穷大的右半圆当′由变化到时,由变化到,如图5-38所示图中a1,b1,c1,d1和e1分别为奈氏路径上a,b,c,d和e各点的象jjRiR0图5-37包含积分环节时的奈氏路径edcbaR-jRiiiiis平面ivjQ0pGs平面图5-38包含一个积分环节时的奈氏路径在G(s)平面的映射将式5-83代入上面GKs中,对于Ⅱ型系统则有5-85它是半径为无穷大的圆→∞时,,当由变化到时,是+π变化到-π,如图5-39所示图中a2,b2,c2,d2和e2分别为奈氏路径上a,b,c,d和e各点的象也就是说,对于Ⅰ、Ⅱ型系统,s平面上以原点为圆心以无穷小为半径,位于该平面右半侧的小半圆在Gs平面上,映射轨迹将是按反时针方向从ω=0+变化到ω=0-分别以无穷大为半径的圆弧转过π及2π弧度以图5-37所示的奈氏路径进行讨论,则上述的奈奎斯特判据仍可应用于Ⅰ型和Ⅱ型系统由奈氏判据判断系统稳定性的实际方法用奈氏判据判断反馈系统稳定性时,一般只需绘制ω从0到+∞时的开环幅相曲线,再加上正实轴后形成封闭曲线,然后按其包围-1,j0点圈数N反时针方向包围时为正,顺时针方向包围时为负和开环传递函数在右半s平面上的极点数P,再根据公式5-86确定闭环特征方程在右半s平面上的根的个数如果Z=0,闭环系统稳定,否则闭环系统不稳定如果开环传递函数包含v个积环节,则绘制开环幅相曲线后应从ω=0+对应的点开始,反时针方向补画v/4个半径无穷大的圆但圆随增大的方向是顺时针的例5-5设Ⅰ型系统的开环频率特性如图5-40所示,开环系统在右半s平面上没有极点,试用奈氏判据判断稳定性解由于系统是Ⅰ型系统,需要从幅相曲线ω=0+对应的点反时针方向补画个半径趋于无穷大的圆,如图5-41中虚线部分由幅相曲线看到曲线没有包围-1,j0点,故N=0又因为开环系统在右半s平面上没有极点,即P=0因此,闭环特征方程位于右半s平面上的根的个数Z=P-2N=0,故闭环系统稳定例5-6一单位反馈系统,其开环传递函数,试用奈氏判据判断系统稳定性解这是一个Ⅱ型系统,开环幅相曲线如图5-42所示,图中虚线是按v=2从幅相曲线ω=0+对应的点反时针方向补画的半径趋于无穷的半圆由幅相曲线看到,曲线顺时针包围-1j0点一圈,即N=-1,而开环传递函数右半s平面的极点数为0,即P=0因此,闭环特征方程在右半s平面上的根的个数Z=P-2N=2,故闭环系统不稳定
5.4控制系统开环对数频率特性的绘制及对数稳定判据
5.
4.1系统开环对数频率特性的绘制设开环系统由两个环节串联组成即如果已知各环节的对数频率特性则开环系统的对数幅频特性和对数相频特性均为各环节相应特性之和在对数坐标图上,加法运算是很容易实现的,如图5-43所示若将开环系统频率特性写成典型环节相乘的形式,则有(5-87)可以分别绘出典型环节的对数幅频特性和对数相频特性,进行相加后可得开环系统的对数频率特性实际绘出系统对数幅频特性时,可不必先绘出各环节的特性,而按以下步骤一次完成
1.确定K值、v值和各个环节的交接频率,,并将各交接频率从小到大标注在频率轴上
2.绘制对数幅频特性的低频渐近线把→0时的对数幅频特性称为对数幅频特性的低频渐近线由式5-87可推得当→0时,低频渐近线的方程为(5-88)所以低频渐近线的斜率为-20vdB/dec,低频渐近线的位置由下式确定当ω=1时,L1=20logKdB,由此可绘出过ω=1,L1=20logKdB点的斜率为-20vdB/dec的一条直线,即为低频渐近线
3.以低频渐近线作为分段直线的第一段,从低频端开始沿频率增大的方向,每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率当遇到ωi时,斜率的变化量为+20dB/dec;当遇到ωk时,斜率的变化量为+40dB/dec;当遇到ωj时,斜率的变化量为-20dB/dec;当遇到ωl时,斜率的变化量为-40dB/dec依次得到的分段直线即为近似的对数幅频特性利用典型环节修正的方法对分段直线进行修正,可得到准确的对数幅频特性曲线修正时应考虑相邻各环节的互相影响分段直线的最后一段是开环系统对数幅频特性的高频渐近线高频渐近线的斜率为-20n-mdB/dec,式中n=v+n1+2n2,m=m1+2m2分别为传递函数分母多项式和分子多项式的次数对数相频特性也可利用典型环节的各对数相频特性相加而得,或直接利用相频特性表达式进行计算,开环系统频率特性以式5-87表示时,其相频特性为(5-__)以及例5-7设系统的开环传递函数,试绘出系统的对数幅频特性和对数相频特性解
1.K=10,v=0,交接频率ω1=1,
2.低频渐近线的斜率为-20vdB/dec=0dB/dec当ω=1时,Lω=20logK=20dB即低频渐近线的斜率为0,且过点1,20当ω=1时,斜率变为-20dB/dec;当ω=10时,斜率变为-40dB/dec,对数幅频特性如图5-44a所示ω→0时,=0°;ω→∞时,=-180°对数相频特性如图5-44b所示例5-8延迟环节的开环系统传递函数为试绘制系统的对数频率特性解将频率特性表示为其中,为延迟环节的频率特性,为开环系统不包括延迟环节部分的频率特性分别绘出G1jω和G2jω的对数幅频特性L1ω、L2ω和对数相频特性、则对数频率特性如图5-45所示
5.
4.2应用对数稳定判据判断系统的稳定性对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同,只是前者按对数幅频和对数相频曲线的相互关系来确定公式5-86中的N而已在图5-46上,绘制了一条幅相曲线及其对应的对数频率特性曲线由图5-46a可知,幅相曲线包围-1j0点的圈数N=0此结果也可根据ω增加时幅相曲线自下向上相角减小和自上向下相角增加穿越实轴区间-∞,-1的次数决定如果把自上向下的穿越称为正穿越,自实轴区间-∞,-1开始向下称为半次正穿越,正穿越次数用N+表示,而把自下向上的穿越称为负穿越,从实轴区间-∞,-1开始向上称为半次负穿越,负穿越次数用N-表示,则N可以由N+和N-之差确定,即(5-__)在图5-46a上,正负穿越分别以+和-标出,今N+=1,N-=1,故N=0比较幅相曲线和对数频率特性曲线得知,正负穿越数完全可以根据对数幅频特性曲线在大于0dB的频率范围里,对数相频曲线穿越-180°线次数确定这时,正负穿越的含义如下ω增大时,相角增加的穿越为正穿越从-180°线开始的正穿越为半次正穿越;相角减少的穿越为负穿越从-180°线开始的负穿越为半次负穿越图5-46b上,也用+和-标出了正、负穿越,同样得N+=N-=1,因而N=0当GKs包含积分环节时,在对数相频曲线ω为0+的地方,应该补画一条从相角到的虚线,这里v是积分环节个数计算正负穿越数时,应将补上的虚线看成对数相频曲线的一部分对数稳定判据一个反馈控制系统,其闭环特征方程正实部根个数Z,可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内,对数相频曲线与180°线的正负穿越数之差N=N+-N-确定,即Z=P-2NZ=0,闭环系统稳定;否则,不稳定例5-9一反馈控制系统,其开环传递函数试用对数频率稳定判据判断系统稳定性解系统的开环对数频率特性曲线如图5-47所示GKs有两个积分环节,故在对数相频曲线ω为0+处,补画了0°到-180°的虚线,作为对数相频曲线的一部分显见N+=0,N-=1N=N+-N-=-1根据GKs表达式知道,P=0由于Z=P-2N=2,故系统不稳定,闭环特征方程在右半s平面的根数为2
5.5非单位反馈控制系统和多回路系统的稳定性分析
5.
5.1非单位反馈控制系统的稳定性分析如图5-52a所示的非单位反馈系统,可将其闭环系统传递函数写为式中,GKs=GsHs为开环系统的传递函数非单位反馈系统可以看成是传递函数为的环节和开环传递函数GKs的单位反馈闭环系统所组成如图5-48b所示当环节和单位反馈闭环系统Φ′s都是稳定时,图5-48a所示的非单位反馈闭环系统才是稳定的Φ′s的稳定性可由奈氏判据判别
5.
5.2多回路系统的稳定性分析判别多回路系统稳定性时,首先应判别其局部反馈部分即内环的稳定性如图5-49所示,内环为非单位反馈时应按上述方法分析然后根据内环部分在右半s平面的极点数和整个控制系统其余开环部分在右半s平面的极点数判别整个控制系统的稳定性多环控制系统需多次利用奈氏判据才能最后确定整个系统的稳定性奈氏判据是根据开环系统的频率特性来判别闭环系统的稳定性对于实际系统,应将其化为可应用奈氏判据的形式,然后再进行判别给定输入作用下的系统和扰动输入作用下的系统,均可应用奈氏判据对于复合控制系统,只有当开环部分和闭环部分都是稳定的,系统才是稳定的开环部分的稳定性容易判别,闭环部分的稳定性则应用奈氏判据进行判别
5.6控制系统的相对稳定性
5.
6.1增益裕量本节介绍表征系统稳定程度的两个指标相角裕度和幅值裕度h,它们常作为第六章频率法校正的指标根据奈氏判据,当开环幅相频率特性曲线穿过-1,j0点时,系统处于临界稳定状态,稳定系统的幅相曲线越远离-1,j0点,系统稳定的程度越好习惯上常用和h来表示幅相频率特性曲线接近临界点-1j0点的程度,表示相对稳定性定义幅值裕度为幅相曲线上,相角为-180°时对应幅值的倒数即(5-90)式中ωg称为相角交界频率,在ωg处,ωg=-180°h的物理意义在于稳定系统在相角交界频率ωg处,若幅值增大h倍,系统将处于临界稳定状态
5.
6.2相角裕度定义相角裕度为180°加开环幅相曲线幅值等于1时的相角,即(5-91)式中,ωc称为截止频率或称剪切频率,在ωc处,Aωc=1它的含义是如果系统在频率ωc处的相角迟后再增大度,则系统将处于临界稳定状态在对数坐标图上,采用Lg表示h的分贝值,即5-92Lg称为对数幅值稳定裕度或对数增益稳定裕度如图5-50a,b所示
5.
6.3控制系统的相对稳定性分析对于最小相位系统,相角裕度大于零,幅值裕度h大于1,系统稳定,和h越大,系统稳定程度越好;=0,h=1,系统处于临界稳定状态;<0,h<1,系统处于不稳定状态例5-10某单位反馈系统的开环传递函数为求相角裕度和幅值裕度,并判闭环系统的稳定性解系统的开环对数频率特性如图5-51所示由曲线2和3可知,K=2时,相角裕度和幅值裕度分别是因为>0,Lg>0,故对应的闭环系统是稳定的K=20时,由曲线1和3看到因为<0,Lg<0,故对应的闭环系统是不稳定的上面求相角裕度和幅值裕度20logh都是在图形上查出来的,下面以此题为例介绍另一种求ωc和相角裕度的方法由已知的开环传递函数得按定义由Aω=1就可以求出ωc来,但系统阶数高时,由Aω=1求ωc是很麻烦的可以采用近似处理的办法求ωc在本例中,由图可知因1<ωc<5,故可取认为1[认为]则当K=20时,当K=2时,知道了ωc后,便可利用公式5-88求相角裕度当时,当时,从计算结果看,这种求法有一定的误差,但此方法在要求不太高的情况下,还是很实用的应该指出,为了获得满意的过渡过程,通常要求系统有45°~70°的相角裕度这可以通过减小开环增益K的办法来达到但是,减小K一般会使斜坡输入时稳态误差变大因此,有必要应用校正技术,使系统兼顾稳态误差和过渡过程的要求
5.7闭环频率特性
5.
7.1闭环频率特性与开环频率特性的关系在单位负反馈系统中,开环和闭环频率特性有如下固定的关系,即(5-93)如果单位负反馈系统的开环幅相曲线如图5-52所示,则由图可知时,开环频率特性而即可用图解计算法逐点求得不同频率对应的闭环幅值和相角,就可求得闭环频率特性但此方法比较麻烦,在工程上常用等M圆和等N圆图或尼柯尔斯图线,直接由单位负反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率特性曲线
5.
7.2等M圆与等N圆如果将函数Gjω和Φjω表示成下列形式(5-94)(5-95)式中Mω和分别为闭环系统的幅频和相频特性,由式5-94可得将方程两边平方,经变换得(5-96)若令M为常数,由上式在Gjω平面上表示一个圆圆心为〔M2/1-M2,j0〕,半径为|M/1-M2|在Gjω平面上,等M轨迹是一簇圆,对于给定的M值,很容易算出它的圆心和半径例如:M=
1.3,则圆心为-
2.45,j0半径为
1.88,图5-53是一簇等M圆图,由图可见M>1时,等M圆在P=-直线的左边,随着M的增大,M圆愈来愈小,最后收敛于-1,j0,当M<1时,等M圆在P=-直线的右边,随着M的减少,M圆愈来愈小,最后收敛于原点下面求Gjω平面的等N图,因为设即(5-97)依三角函数公式由5-94得整理得(5-98)令N为常数,上述方程表示半径,圆心为-
0.5,的圆无论N等于多少,P=Q=0和P=-1,Q=0时,方程5-95总成立,故每个圆都过原点和-1,j0点图5-54是将作为参变量的等N圆图图上=60°和=-120°对应同一等N图,这是因为tg60°=tg-120°的原因利用等M图和等N图,由开环幅相曲线与等M圆和等N圆交点,可得相应频率的M值和N值,即可得在交点频率处闭环频率特性的幅值和相角图5-59的a和b是画在等M圆图和等N圆图上的开环幅相曲线,c是求得的闭环频率特性曲线不难看出,ω=ω1时,幅相曲线与M=
1.1的圆相交,故闭环频率特性的幅值为
1.1图5-55a上,M=2的圆与幅相曲线相切,对应频率是ω4,因此ω=ω4时,闭环频率特性幅值达到极大值2,与开环幅相曲线相切,且有最小半径的圆的M值,即为闭环幅频特性的谐振峰值§5-8系统的频率法分析
5.
8.
1、系统稳态误差和开环频率特性的关系在第三章中给出了由开环系统传递函数求取系统稳态误差的公式,下面将讨论频率特性和稳态误差的关系0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统,其频率特性如图5-56所示,我们在第三章中学过稳态误差与开环系统积分个数v和开环增益K有关由开环对数幅频特性曲线的低频渐近线斜率就可确定v又因为低频渐近线的位置与K有关,所以就可求出稳态误差对于0型系统,其对数幅频特性如图5-56a所示,v=0在低频区,GKjω=K,即对数幅频特性的低频渐近线是一条20logK分贝的水平线,由其纵坐标就确定了系统的开环增益K,便可求稳态误差对于Ⅰ型系统,其对数幅频特性曲线如图5-56b所示,v=1幅频特性低频渐近线斜率为-20dB/dec,由Lω=20logK-20logω,令Lω=0,渐近线与0分贝线的交点确定K=ω0对于Ⅱ型系统,其对数幅频特性曲线如图5-56c,v=2,低频渐近线斜率为-40dB/dec,低频渐近线与0分贝线的交点决定了
5.
8.
2.带宽频率和带宽(0~ωb)如图5-57所示,闭环幅频特性下降到频率为0时的分贝值以下3dB时,或闭环频率特性幅值,由其初值M0减小到
0.707M0时,对应频率ωb称为带宽频率,由或求得的ω就是ωb带宽越宽,重现输入__的能力越强,上升时间越短,但对于高频干扰的过滤能力越差
5.
8.
3、典型一阶、二阶系统的频率特性和瞬态性能的关系具有单位负反馈的典型一阶系统,其开环传递函数闭环传递函数(5-99)式中为一阶系统的时间常数频带宽度为根据第三章研究的结论可知,取5%误差带时,ts=3T,tr=
2.20T,因此可见,ωb不仅与上升时间tr成反比,而且和调节时间ts也成反比典型二阶系统开环频率特性为(5-100)在0<<1时,最大超调量(5-101)峰值时间(5-102)调节时间5%现在计算二阶系统的频率特性以及讨论频域性能指标和特征参数之间的关系由式5-100得令Aω=1,可求得截止频率为5-103当ω=ωc时,相角大小为系统相角裕度为5-104式5-103和式5-104表示了典型二阶系统开环频域性能指标,ωc和,ωn的关系典型二阶系统的闭环频率特性为5-105闭环系统的幅频特性为当0<<时,Mω曲线具有峰值,令,可求得谐振频率和谐振峰值分别为5-1065-107由式5-106可知,当>时无实解,即不存在峰值令5-108可求得带宽频率(5-109)式5-106,式5-107和式5-108表示了典型二阶系统闭环频率特性的Mp,ωp,ωb和,ωn之间的关系将表征频率特性的参数,ωc及,,ωb等与,ωn的关系式和时域性能指标%,等与,ωn的关系式相__,消去,ωn,则可得到频率特性参数和时域性能指标之间的关系,这些关系也可用曲线表示
1.相角裕度,谐振和最大超调量%的关系相角裕度,谐振峰值和最大超调量%有确定的关系,图5-58绘出了,和的关系曲线由图可见愈大,愈小,相应的%也愈小
2.频带宽度ωb和确定关系图5-59绘出了和的关系曲线由图可见,和随的变化趋势相反,ωb愈大,tp愈小,系统反应迅速,快动作性好ωc和ts也有一定关系,一般说来,ωc愈大,ωb愈大,ts愈小,谐振频率ωp和阻尼振荡频率ωd的关系为当0<<时,ωp愈大,ωd也愈大,如图5-60综上所述,对于
一、二阶频域指标,,,与时域性能指标%,有着确定的关系高阶系统频域指标和时域性能指标没有确定的关系式,只能凭经验进行估算,在这里不作介绍了
5.8应用__TLAB绘制系统的频率特性5-11例题精解通过以下例题掌握本章内容例5-9设单位负反馈系统的开环传递函数,试求时,系统的稳态误差和时系统的稳态输出解系统开环传递函数表明V=1K=1求斜坡输入时的稳态误差
(2)求正弦输入时稳态输出由可得稳态输出例5-12单位负反馈系统开环系统为,试用奈氏判据判闭环系统的稳定性解实频特性虚频特性幅频特性相频特性当ω=0时,P0=-K,Q0=0,起始于-K,0点;ω=∞时,P∞=0,Q∞=0,A∞=0,=-90°,沿负虚轴趋于原点当ω由0~∞时,Pω<0,Qω<0,亦即在-180°到-90°之间,故幅相曲线在第三象限,开环幅相曲线如图5-61所示开环传递函数在右半s平面上的开环极点数P=1当ω从-∞变化到+∞,奈氏曲线反时针包围-1,j0点的圈数R与K有关当K>1时,R=+1,Z=P-R=1-1=0,故闭环稳定;当K<1时,R=0,Z=P-R=1-0=1,故闭环不稳定,右半s平面有一个根例5-13已知反馈控制系统的开环传递函数试用奈氏判据分析当时系统的稳定性解由已知的开环传递函数可求得系统的开环频率特性为幅频特性相频特性当ω=0时,
①当时,,ω由0~+∞时在Ⅲ象限内由—180°变到-180°,其幅相曲线如图5-62a所示,这是Ⅱ型系统,需要从ω=0+对应的点到ω=0-对应的点,反时针补画半径∞的圆,如图中虚线部分由于幅相曲线左端无穷远处时开口的,它没有包围-1,j0点,故R=0,又已知系统无右半s平面的开环极点P=0,由奈氏判据知Z=P—R=0,所以系统是稳定的
②当时,=-180°,与频率ω无关,其幅相曲线如图5-62b所示,为整个负实轴由于幅相曲线恰好过-1,j0)点,这说明系统处于临界稳定状态
③当时,,ω由0~+∞时在Ⅱ象限内由—180°变到-180°,其幅相曲线如图5-62c所示,虚线是补画的半径∞的圆从图中可知R=-2,又因为P=0,故Z=P—R=0-2×-1=2,所以当时,该系统是不稳定的例5-14设开环系统的频率特性为试绘制用分段直线表示的对数幅频特性解
1.K=10-3,v=2,各个环节的交接频率,,
2.低频渐近线的斜率为-20vdB/dec=-40dB/dec当ω=1时,低频渐近线的坐标,L1=20log=-60dB,即低频渐近线过点1,-60
3.当ω=ω1=
0.01时,因为系统是具有两个时间常数为100的一阶微分环节,分段直线的斜率变化量为+2×20dB/dec,原来是-40dB/dec,过ω=
0.01后,斜率变为0dB/dec当ω=ω2=
0.1时,在此频率上作斜率为-20dB/dec的直线当ω=ω3=8时,在此频率上作斜率为-40dB/dec的直线当ω=ω4=20时,在此频率上作斜率为-60dB/dec的直线这五段直线即是系统的近似对数幅频特性
4.由于最小的交接频率ω=
0.01,分段直线近似表示的第一段只包括ω<
0.01那一部分的低频渐近线所以,当ω=1时,分段直线的纵坐标值不等于20logK但其延长线的纵坐标值在ω=1时,等于20logK
5.ω→∞时,对数频率特性的高频渐近线的斜率为-n-m20dB/dec=-60dB/dec近似对数幅频特性如图5-63所示例5-15已知某最小相位系统的对数幅频特性曲线如图所示,试确定系统的传递函数并用对数频率稳定判据判定闭环系统的稳定性-40dB/dec-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec51050120ωrad/sLωdB图5-64例5-15的对数幅频特性解由特性曲线低频段的斜率-20dB/dec,系统积分环节个数为1,转折频率=5时,斜率变化-20dB/dec,对应惯性环节,转折频率=10时,斜率变化20dB/dec,对应比例微分环节,转折频率=120时,斜率变化-20dB/dec,对应惯性环节因此,系统传递函数为且对数频率特性在=50时,穿越零分贝线,即,精确求得K=
106.4,由近似取K=100所以,系统的传递函数为求解裕度闭环系统稳定本章小结本章介绍了频率特性的基本概念、典型环节和系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据、稳定裕度、根据频率特性求过渡过程性能指标的方法及__TLAB在绘制系统的频率特性中的应用频域分析法和根轨迹分析法一样,也是工程上常用的一种研究方法,它可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统性能的影响,并能指明改进系统的方向根据系统的频率特性,能间接地揭示系统的暂态特性和稳态特性,它作为一种图解方法,使用方便且具有较高的精确度频率特性是系统的一种数学模型系统频率特性的3种图形为极坐标图、对数频率特性图(Bode图)和对数幅相图系统开环对数频率特性(Bode图)可根据典型环节的频率特性的特点绘制若系统开环传递函数的极点和零点均位于s平面的左半平面,该系统称为最小相位系统反之,若系统的传递函数具有位于右半平面的零点或极点或有延迟环节,则该系统称为非最小相位系统对于最小相位系统,幅频和相频特性之间存在唯一的对应关系,即根据对数幅频特性,可以唯一地确定相频特性和传递函数;对非最小相位系统,则不然用Nyquist稳定判据,可用开环频率特性判别闭环系统的稳定性同时可用相角裕度和幅值裕量来反映系统的相对稳定性运用__TLAB有关函数可以方便准确地绘制各种频率特性图,根据图形可对系统的性能进行分析习题5-
1.什么是控制系统的频率特性?5-
2.控制系统的频率特性都有哪些表示方法?5-
3.什么是幅频特性曲线?5-4.对数频率特性有哪些优点?5-5.试画出各种典型环节的对数频率特性曲线图5-
6.给定系统的开环传递函数,能够顺利地作出对数频率特性曲线吗?5-
7.给定系统的对数频率特性曲线,能够顺利地求出系统的开环传递函数吗?5-
8.什么叫最小相位系统?最小相位系统有什么显著地特点?5-
9.简述系统的开环频率特性与闭环频率特性之间的关系5-
10.求图5-65所示RC网络的频率特性���CR1R2ucur���CR1R2ucurab图5-65习题5-10图5-
11.简述奈氏稳定判据5-
12.当系统在原点有开环极点时,如何应用奈氏判据?5-
13.叙述对数频率特性曲线上的奈氏变换5-
14.什么是系统的稳定裕度?如何用稳定裕度来描述系统的稳定性?5-
15.什么是截止频率?什么是带宽频率?5-
16.从开环对数频率特性上如何求得系统的稳态性能?5-
17.设单位反馈系统如图5-66所示,根据频率特性的物理意义,求时,系统的稳态输出和稳态误差RsCsEs_图5-66习题5-17图5-
18.设开环系统福相曲线如图5-67所示,试判定闭环系统的稳定性,表示右半s平面上的开环极点数,若不稳定,判断右半s平面的闭环极点数0a0000000图5-67开环系统福相曲线5-
19.绘制下列开环传递函数的幅相曲线,并用奈氏判据判断闭环系统的稳定性
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)5-
20.试绘制下列开环传递函数的对数频率特性曲线并判定系统的稳定性及计算相角裕度
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)5-
21.已知最小相位系统的开环对数幅频特分段直线近似表示如图5-68所示,写出系统的开环传递函数40-40dB/dec-20dB/dec0dB/dec0LωdB-40dB/dec-20dB/dec-40dB/dec0LωdBabC图5-68对数幅频特性曲线5-
22.最小相位系统的开环频率特性如图5-69所示
(1)试写出开环传递函数;
(2)用奈氏判据判别闭环系统的稳定性图5-69习题5-22图5-
23.已知单位反馈系统的开环传递函数为试计算
(1)使得开环系统的幅值裕度为20dB的增益K值;
(2)使得开环系统的相位裕度为的增益K值5-
24.已知单位反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的对数频率特性曲线,并由奈氏判据确定使系统临界稳定的增益K值5-
25.已知某控制系统如图5-70所示,试计算系统的开环截止频率和相位裕度RsCs_图5-70习题5-25图5-26.设单位负反馈系统的开环传递函数为
(1)
(2)试确定闭环频域性能指标和,为使,试确定开环增益增大的倍数图5-1RC电路图5-2RC电路的幅频特性和相频特性a幅频特性b相频特性图5-3线性系统示意图图5-4线性系统的正弦输入、输出图5-5频率特性向量表示法s=jω微分方程系统频率特性传递函数jω=ps=p图5-6频率特性、微分方程、传递函数三种数学模型之间的关系复平面图5-7幅相曲线图5-8RC电路的幅相曲线图5-9对数坐标与线性坐标a对数分度b线性分度图5-10比例环节的对数频率特性a对数幅频特性b对数相拼特性图5-11积分环节的幅相曲线图5-12积分环节的对数频率特性a对数幅频特性b对数相频特性平面图5-13惯性环节的幅相曲线交接频率精确特性高频渐近线(斜率-20dB/dec低频渐近线交接频率图5-14惯性环节的对数频率特性a对数幅频特性b对数相频特性图5-15惯性环节的误差曲线图5-17振荡环节的幅频特性平面图5-16振荡环节的幅相曲线渐近线图5-18振荡环节的对数频率特性a对数幅频特性b对数相频特性图5-19振荡环节的曲线+20dB/dec图5-21纯微分环节的对数频率特性平面图5-20纯微分环节的幅相曲线精确特性高频渐近线低频渐近线交接频率+20dB/dec图5-23一阶微分环节的对数频率特性平面图5-22一阶微分环节的幅相曲线精确特性高频渐近线低频渐近线交接频率+40dB/dec图5-25二阶微分环节的对数频率特性平面图5-24二阶微分环节的幅相曲线图5-26延迟环节的幅相曲线平面图5-27延迟环节的对数频率特性图5-280型、Ⅰ型、Ⅱ型系统幅相曲线的起点平面平面图5-29幅相曲线的终点平面图5-30例题5-1的幅相曲线图5-31例题5-2的幅相曲线平面图5-32对应的相频特性曲线图5-33某最小相位系统的近似对数幅频曲线图5-34反馈控制系统结构图图5-35s和Fs的映射关系aFs的极点-零点分布和封闭曲线bFs曲线示意图图5-40Ⅰ型系统的开环幅相曲线图5-43两个环节相串联的对数频率特性图5-44例5-7的对数频率特性a对数幅频特性b对数相频特性图5-45例题5-8的对数频率特性+--+正穿越负穿越图5-46幅相曲线及其对应的对数频率特性曲线a幅相曲线b对数频率特性曲线图5-48非单位反馈系统及等效框图a非单位反馈系统框图b非单位反馈系统等效框图图5-49多回路反馈系统框图a幅值裕度和相角裕度示意图b对数幅值裕量和相角裕量示意图图5-
501.时的对数幅频曲线;
2.时的对数幅频曲线;
3.对数相频曲线图5-51系统对数频率特性曲线10dB-10dB24°-24°图5-52由幅相曲线确定闭环频率特性图5-53等圆图M图5-54等N圆图图5-55由等圆图a和等圆图b确定闭环频率特性曲线cMN-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-40dB/dec图5-560,Ⅰ,Ⅱ型系统的对数幅频特性曲线带宽图5-57闭环对数幅频特性曲线和带宽图5-59的关系曲线图5-58的关系曲线图5-60的关系曲线图5-61例题5-12的幅相曲线平面图5-62例5-13幅相曲线abcaTZ的幅相曲线bT=Z的幅相曲线cTZ的幅相曲线斜率单位dB/dec图5-63例题5-14的对数幅频特性。