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第六章自旋和角动量内容简介在本章中,我们将先从实验上引入自旋,分析自旋角动量的性质,然后讨论角动量的耦合,并进一步讨论光谱线在磁场中的__和精细结构最后介绍了自旋的单态和三重态§
6.1电子自旋E:\第六章自旋和角动量\
6.1电子的自旋.ppt\t_parent§
6.2电子的自旋算符和自旋函数E:\第六章自旋和角动量\
6.2电子自旋算符和自旋函数.ppt\t_parent§
6.3角动量的耦合E:\第六章自旋和角动量\
6.3两个角动量的耦合.ppt\t_parent§
6.4电子的总动量矩E:\第六章自旋和角动量\
6.4电子的总动量矩.ppt\t_parent§
6.5光谱线的精细结构E:\第六章自旋和角动量\
6.5光谱线的精细结构.ppt\t_parent§
6.6塞曼效应E:\第六章自旋和角动量\
6.6塞曼效应.ppt\t_parent§
6.7自旋的单态和三重态E:\第六章自旋和角动量\
6.7自旋单态和自旋三重态.ppt\t_parent首先,我们从实验上引入自旋,然后分析自旋角动量的性质施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一如右图所示,由源射出的处于基态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场,照射到底片上结果发现射线束方向发生了偏转,__成两条分立的线这说明氢原子具有磁矩,在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转由于这是处于态的氢原子,轨道角动量为零,态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生这是一种新的磁矩另外,由于实验上只有两条谱线,因而这种磁矩在磁场中的取向,是空间量子化的,而且只取两个值假定原子具有的磁矩为,则它在沿方向的外磁场中的势能为(
6.
1.1)为外磁场与原子磁矩之间的夹角则原子方向所受到的力为(
6.
1.2)实验证明,这时__出来两条谱线分别对应于和两个值为了解释施特恩-盖拉赫实验,乌伦贝克和__斯密脱提出了电子具有自旋角动量,他们认为1每个电子都具有自旋角动量,在空间任何方向上的投影只能取两个值若将空间的任意方向取为方向,则(
6.
1.3)2每个电子均具有自旋磁矩,它与自旋角动量之间的关系为(
6.
1.4)在空间任意方向上的投影只能取两个值是玻尔磁子电子自旋的回转磁比率为轨道角动量的回转磁比率为自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍自旋是电子的固有属性,千万不要以为,电子的自旋是因为电子在作机械的自转引起的可以证明,如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球,由于电子的半径约为,要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子,则它表面的转速将超过光速,这显然是与相对论矛盾的电子自旋是一个新的自由度,与电子的空间运动完全无关电子自旋是电子的内禀属性,电子的自旋磁矩是内禀磁矩电子自旋具有下述属性1它是个内禀的物理量,不能用坐标、动量、时间等变量表示;2它完全是一种量子效应,没有经典对应量也就是说,当时,自旋效应消失3它是角动量,满足角动量最一般的对应关系而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取两个值
6.2电子自旋算符和自旋函数
6.3自旋是一个力学量,在量子力学中,它应该用线性厄米算符表示其次,既然是算符,它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定由于自旋具有角动量性质,而角动量算符满足的对易关系是(
6.
2.1)在量子力学中,不要误以为角动量就是,只是轨道角动量,是角动量的一种凡满足(
6.
2.1)的算符都是角动量自旋既然是角动量,那么它自然满足(
6.
2.2)写成分量形式(
6.
2.3)由于自旋在空间中任意方向的投影只能取两个值因此,任意选定坐标系后,三个算符的本征值都是,的值都是即(
6.
2.4)则的本征值为(
6.
2.5)若将任何角动量平方算符的本征值记为,称为角动量量子数,则自旋角动量量子数满足(
6.
2.6)所以为方便起见,引入算符,令即则由(
6.
2.2)及(
6.
2.7)式得(
6.
2.9)写成分量形式(
6.
2.9)而的本征值为,而且(
6.
2.10)定义任意算符和的__易关系为(
6.
2.11)则(
6.
2.12)同理(
6.
2.13)(
6.
2.14)现在来找特定表象下,算符的矩阵形式由于与对易,则在它们的共同表象中,的矩阵必然为(
6.
2.15)这是因为只有两个本征值,因而它对应的矩阵只能是的矩阵,而且在自身表象中,矩阵对角线上的元素就是它的本征值为求出,在表象中的矩阵形式,注意到与__易,则与也只能是矩阵令(
6.
2.16)由于是厄米矩阵,也是厄米矩阵,则(
6.
2.17)则(
6.
2.18)又由于则即则若取,则(
6.
2.19)由对易关系得(
6.
2.20)综上所述(
6.
2.21)(
6.
2.22)称为泡利矩阵因为任何的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和三个矩阵的线性组合,所以泡利矩阵非常有用现在求电子自旋算符对应的波函数在表象中,由本征函数(
6.
2.23)即(
6.
2.24)(
6.
2.25)所以,的本征函数为(
6.
2.26)自旋算符用矩阵表示后,自旋算符的任一波函数也可表示为的矩阵(
6.
2.27)包含自旋在内的电子波函数可表示为(
6.
2.28)电子波函数的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和,即(
6.
2.29)由给出的几率密度为(
6.
2.30)表示在时刻,在点周围单位体积内找到电子的几率其中和分别表示在点周围单位体积内找到自旋和的电子的几率则算符在态中,对自旋求平均的结果是(
6.
2.31)算符在态中,对坐标和自旋同时求平均的平均值为(
6.
2.32)
6.4两个角动量的耦合
6.5在同一个原子中,电子既有自旋角动量,又有轨道角动量,因此很自然的,总要讨论两个角动量之间的耦合对于多粒子体系,只要粒子具有角动量,总存在角动量之间耦合的问题而且,有许多问题,在耦合后得出的角动量表象中讨论会更方便
1.角动量升降算符设为轨道角动量算符满足对易子(
6.
3.1)对和的共同本征函数,的本征值是,的本征值是,和是角动量量子数和相应的分量角动量量子数显然,在的共同表象中,和的矩阵元分别是(
6.
3.2)(
6.
3.3)引入算符和,令(
6.
3.4)(
6.
3.5)则(
6.
3.6)即(
6.
3.7)(
6.
3.8)上式表明,也是的本征函数,本征值为,因此与最多相差一个常数,即有(
6.
3.9)同理,可以证明(
6.
3.10)(
6.
3.11)(
6.
3.12)和是待定的常数为了求出和,注意到矩阵元(
6.
3.13)(
6.
3.14)又因(
6.
3.15)(
6.
3.16)即(
6.
3.17)另外,由于和是厄米的,所以有(
6.
3.18)将(
6.
3.18)代入(
6.
3.17)得或写成(
6.
3.19)即(
6.
3.20)由(
6.
3.9),(
6.
3.12)及(
6.
3.20),我们最后得出(
6.
3.21)(
6.
3.22)利用这些结果,可以求出在和的共同表象中,和的矩阵元是(
6.
3.23)(
6.
3.24)应该指出,上述各式并非只对轨道角动量成立对于轨道角动量,就是球谐函数,对于其它角动量,虽不是球谐函数,但只要满足角动量定义(
6.
3.1)式,并把和理解为相应的角动量平方和角动量分量的量子数,(
6.
3.21)——(
6.
3.24)式恒成立例如对电子自旋角动量,由(
6.
3.23)及(
6.
3.24)得(
6.
3.25)(
6.
3.26)因此有这正是自旋矩阵的泡利表示
2.无耦合表象和耦合表象讨论两个角动量和的耦合和既可以是自旋角动量,也可以是轨道角动量或其它角动量按定义,应有(
6.
3.27)(
6.
3.28)以及对易关系(
6.
3.29)(
6.
3.30)假定和是两个__的角动量,因此有(
6.
3.31)是四个两两相互对易的算符,可以用它们的共同的本征函数系构成一个表象,称为无耦合表象这个无耦合表象的基矢必定是的共同本征矢与的共同本征矢的乘积即若(
6.
3.32)(
6.
3.33)则无耦合表象中的基矢是(
6.
3.34)现在转而讨论耦合表象角动量和之和是(
6.
3.35)容易证明,也是角动量,也满足(
6.
3.36)而且和与等满足下述对易关系
6.
3.37因为与向量的任何分量对易同理
6.
3.38另外,显然还有
6.
3.
396.
3.40这些对易关系表明,这四个算符两两对易,它们具有共同的正交、归
一、完备、封闭的本征函数系记相应的量子数的本征函数为,有
6.
3.
416.
3.42显然,总角动量量子数,它的分量量子数与有关,为了找出它们之间的关系,必须先将耦合表象和无耦合表象这两个表象__起来为此,将耦合表象的基矢按无耦合表象的基矢展开
6.
3.43(
6.
3.43)式中的系数称为矢量耦合系数或克莱布希-戈尔登系数以算符分别作用于(
6.
3.43)式两端
6.
3.44于是有(
6.
3.45)(
6.
3.43)可写为(
6.
3.46)公式(
6.
3.43)或(
6.
3.46)其实就是将耦合表象和无耦合表象__起来的表象变换公式表象变换是个幺正变换,克莱布希-戈尔登系数其实就是幺正变换的所对应的幺正矩阵的矩阵元我们已经找到了和之间的关系,进一步,现在来求量子数和之间的关系由于的最大值依次为,而且,因此的最大值必然是(
6.
3.47)当同时给定时,无耦合表象中基矢的数目是个由于表象变换不改变基矢的数目,所以,耦合表象的基矢的数目与无耦合表象基矢的数目相等再注意到对于确定的的取值是共个值,于是(
6.
3.48)由以上两式可求得(
6.
3.49)由此得出,当给定时,的可能取值为(
6.
3.50)
6.4电子的总动量矩
6.5若无自旋角动量和轨道角动量的耦合,自旋的存在并不影响能级的位置和电子的空间运动(即轨道运动),而只能将能级的简并度加倍,并在空间波函数上乘以自旋波函数在中心力场中,电子的自旋波函数可写为(
6.
4.1)式中为自旋的本征函数,与其相应的本征值为,(自旋磁量子数)显然上式为的共同本征函数此时组成一组完备力学量__,相应的量子数为好量子数但若考虑自旋轨道耦合,则电子的哈密顿量将变为(
6.
4.2)其中由于(
6.
4.3)同理(
6.
4.4)可见与都与哈密顿量不对易,故它们都不再是好量子数为了考察能与可对易的量子数,考虑总角动量(
6.
4.4)由于(
6.
4.5)可见,彼此之间相互对易,称为一组同时具有确定值的力学量完备集在的共同表象中其本征函数可记为(
6.
4.6)因为是的本征态,则(
6.
4.7)即(
6.
4.8)(
6.
4.9)即都是的本征态,且本征值相同,因此它们必然具有相同的量子数另外,因为是的本征态有(
6.
4.10)又由于(
6.
4.11)则(
6.
4.12)即(
6.
4.13)(
6.
4.14)记的本征值为,则由可得与对应的的本征值为,与对应的的本征值为则于是有其共同本征函数可写为(
6.
4.15)此外,是的本征态,而(
6.
4.16)其中则(
6.
4.17)(
6.
4.18)相应方程为(
6.
4.19)有非零解的条件(
6.
4.20)这两个根分别为(
6.
4.21)写成后,可知(
6.
4.22)当有(
6.
4.23)则(
6.
4.24)利用归一化条件,得(
6.
4.25)最后得出(
6.
4.26)同理,当时(
6.
4.27)
6.6光谱线的精细结构
6.7作为角动量耦合计算的一个例子,本节讨论在无外场情况下,电子自旋对类氢原子的能级和谱线结构的影响电子自旋与轨道角动量之间存在相互作用,但这种相互作用的能量和电子的动能,以及电子在核的力场中的势能相比是很小的如果不考虑电子自旋与轨道相互作用的能量,则类氢原子的哈密顿量可写为(
6.
6.1)对于类氢原子,如果不考虑核外电子对核的屏蔽,则(
6.
6.2)都相互对易,它们有共同本征函数(无耦合表象)(
6.
6.3)其中,,是自旋的本征值,是磁量子数描写电子态的四个量子数由来确定电子的能级有度简并考虑电子自旋,可取两个值,因而能级的简并度为以表示电子的总角动量算符因为两两相互对易,所以,体系的定态也可用的共同本征函数来描写(
6.
5.4)(
6.
5.4)所表示的波函数是耦合表象的基矢现在我们把自旋和轨道运动之间的相互作用能考虑进去,这个能量为(
6.
5.5)于是体系的哈密顿量写为(
6.
5.6)由于(
6.
5.7)(
6.
5.8)因此,都与不对易,这时电子的态不能用量子数和来描述,或者说和不是好量子数另一方面,由于则(
6.
5.9)所以都和对易,都是好量子数的本征函数就是耦合表象的基矢而的本征函数和本征值可由的本征方程(
6.
5.10)求出由与在一般情况下,,我们可以用微扰论的方法进行求解又由于的本征值简并,须采用简并微扰论来讨论将按的本征函数展开考虑到与对易,与不对易,显然用在耦合表象中的本征函数(
6.
5.4)展开计算时要方便得多令(
6.
5.11)简并微扰的久期方程为(
6.
5.12)其中(
6.
5.13)而(
6.
5.14)则(
6.
5.15)所以(
6.
5.12)可化为(
6.
5.16)于是有(
6.
5.17)表示微扰对能量的一级修正值注意到只与有关,而与无关,因此简并只是部分解除,仍存在对量子数的度简并当给定后,的取值为(除外),因此,自旋轨道耦合也消除了部分简并,使原来对应于量子数的能级__为两个能级由于两个能记得差别很小,从而导致了光谱线精细结构的出现下面我们来计算类氢原子项()的精细结构(
6.
5.18)其中则(
6.
5.19)(
6.
5.20)其中称为精细结构常数由于是对角矩阵,因此在耦合表象中的基矢就是零级波函数,用无耦合表象的波函数表示为(
6.
5.21)(
6.
5.22)从无耦合表象到耦合表象波函数的变换,也可以认为是简并微扰中零级波函数的重新组合,以使得在简并子空间中对应的矩阵对角化
6.6塞曼效应碱金属,氢原子和类氢原子核最外层电子有一个价电子在磁场中,由于磁场对电子的作用,将使这些原子的光谱__生__具体的__情况与所考虑的自旋在磁场中附加能量、自旋与轨道相互作用等有关,下面分两种情况讨论
1.简单塞曼效应先考虑磁场的附加能量远大于自旋轨道相互作用能的情况在这种情况下,略去自旋轨道的相互作用能在实验室范围内,磁场近似为均匀磁场,记为选磁场方向为轴,即(
6.
6.1)相应的磁矢势和标势是(
6.
6.2)设一价金属的电子在其它电子屏蔽下与原子核和库仑场为,外加磁场具有(
6.
6.1)的形式,则体系的哈密顿量为(
6.
6.3)由于(
6.
8.3)式中(
6.
6.4)因而(
6.
6.3)式右端正比于的项可以略去,得(
6.
6.5)(
6.
6.5)式右端的第三项实际就是轨道磁矩与外磁场的相互作用能的本征方程为(
6.
6.6)式中是的共同本征函数是本征值显然,由于是的本征函数,因而也是的本征函数,相应的本征值为(
6.
6.7)上式表明加上磁场后,对的度简并被消除,原来的能级__为条能级,相邻两能级之间的间隔为,称为拉摩频率光谱线在外场中__的现象称为塞曼效应上述计算并未考虑到电子的自旋现在考虑电子的自旋,则哈密顿量变为(
6.
6.8)式中上式可写为(
6.
6.9)比较(
6.
6.6)和(
6.
6.8)可见,相应的能谱是(
6.
6.10)(
6.
6.11)在外磁场中,能级与有关,原来有引起的简并被消除,而且,能量与自旋有关
2.反常塞曼效应在强磁场下,不考虑自旋轨道耦合,原子光谱发生__的现象称为简单塞曼效应或正常塞曼效应在磁场较弱时,要考虑电子自旋轨道耦合能的贡献,这时原子光谱线的__现象,称为反常塞曼效应或一般塞曼效应结合上一节的讨论结果,考虑电子的自旋轨道耦合能的贡献,我们可以得出反常塞曼效应的能谱结构为(
6.
6.12)
6.8自旋单态和自旋三重态
6.9本节我们讨论两个自旋都是的粒子,自旋和自旋之间的耦合当两个粒子体系的哈密顿算符不含自旋是,两个自旋为粒子的总的自旋波函数是每个粒子自旋波函数的乘积(
6.
7.1)事实上,利用但个粒子的自旋波函数,可以按以下四种方式构成两个粒子的总自旋波函数(
6.
7.2)(
6.
7.3)(
6.
7.4)(
6.
7.5)脚标表示波函数是对称的,交换两个粒子,将变为后,波函数不变号,脚标表示波函数是__成的,交换两个粒子,将变为后,波函数反号两个自旋为的粒子组成的体系具有三个对称的波函数,是自旋的三重态,一个__称的波函数,是自旋单态现在来计算耦合表象中算符和的本征值令,则有(
6.
7.6)(
6.
7.7)(
6.
7.8)又因(
6.
7.9)(
6.
7.10)(
6.
7.11)(
6.
7.12)(
6.
7.13)(
6.
7.14)由此直接给出(
6.
7.15)(
6.
7.16)类似有(
6.
7.17)(
6.
7.18)(
6.
7.19)(
6.
7.20)(
6.
7.21)(
6.
7.22)综合(
6.
7.15)至(
6.
7.22)式得出,作用在对称波函数上时,其本征值为,若将的本征值表示为,即得总自旋角动量量子数,这正是耦合的结果同理,将作用在__称波函数上,其本征值为零,相应的,这时耦合的结果说明态各不同的表现在作用在这些波函数上,分别得出三个不同的值态,两个粒子的自旋都平行于轴;态两个粒子的自旋都反平行于轴;态两个粒子的自旋虽然平行,但合成后的总自旋角动量与轴垂直;态两个粒子的自旋反平行。