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薅羂莄蒅袄羂肄蚁螀羁膆蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃薀螃肆莅莃虿肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈蚂蚈螅芀蒄薄螄莃蚀袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁葿莄罿袀腿蕿袅衿芁莂螁袈莄薈蚇袇肃莀薃羇膆薆袁羆芈荿螇羅蒀薄螃羄膀蒇虿羃节蚃薅羂莄蒅袄羂肄蚁螀羁膆蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃薀螃肆莅莃虿肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈蚂蚈螅芀蒄薄螄莃蚀袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁葿莄罿袀腿蕿袅衿芁莂螁袈莄薈蚇袇肃莀薃羇膆薆袁羆芈荿螇羅蒀薄螃羄膀蒇虿羃节蚃薅羂莄蒅袄羂肄蚁螀羁膆蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃薀螃肆莅莃虿肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈蚂蚈螅芀蒄薄螄莃蚀袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂莇蒁蚀袁葿莄罿袀腿蕿袅衿芁莂螁袈莄薈蚇袇肃莀薃羇膆薆袁羆芈荿螇羅蒀薄螃羄膀蒇虿羃节蚃薅羂莄蒅袄羂肄蚁螀羁膆蒄蚆肀艿虿薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃薀螃肆莅莃虿肆肅第3章矩阵特征值与特征向量的计算一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量
3.1特征值的估计较粗估计A||A||欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来
3.
1.1盖氏图定义
3.1-1设A=[aij]nn,称由不等式所确定的复区域为A的第i个盖氏图,记为Gi,i=1,2,…,n定理
3.1-1若为A的特征值,则证明设Ax=xx0,若k使得因为例1估计方阵特征值的范围解G1={z|z–1|
0.6};G2={z|z–3|
0.8};G3={z|z+1|
1.8};G4={z|z+4|
0.6}注定理称A的n个特征值全落在n个盖氏圆上,但未说明每个圆盘内都有一个特征值
3.
1.2盖氏圆的连通部分称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分定理
3.1-2若由A的k个盖氏圆组成的连通部分,含且仅含A的k个特征值证明:令D=diaga11,a12,…,ann,M=A–D,记则显然有A1=A,A0=D,易知A的特征多项式的系数是的多项式,从而A的特征值1,2,…,n为的连续函数A的盖氏圆为因为A0=D的n个特征值a11,a12,…,ann,恰为A的盖氏圆圆心,当由0增大到1时,i画出一条以i0=aii为始点,i1=i为终点的连续曲线,且始终不会越过Gi;不失一般性,设A开头的k个圆盘是连通的,其并集为S,它与后n–k个圆盘严格分离,显然,A的前k个盖氏圆盘与后n–k个圆盘严格分离当=0时,A0=D的前k个特征值刚好落在前k个圆盘G1,…,Gk中,而另n–k个特征值则在区域S之外,从0变到1时,与始终分离(严格)连续曲线始终在S中,所以S中有且仅有A的k个特征值注1每个孤立圆中恰有一个特征值2例1中G2,G4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分,故它们各有一个特征值,而G1,G3构成的连通部分应含有两个特征值3因为例1中A为实方阵,所以若为A的特征值,则也是A的特征值,所以G2,G4中各有一个实特征值
3.
1.3盖氏圆与相似变换由于特征值是相似不变量,所以代数上常用相似变换将矩阵化简以得到特征向量,这里也可用相似变换将盖氏圆的半径变小,以得到更好的估计原理取对角阵作相似变换阵P=diagb1,b2,…,bn其中bi0,i=1,2,…,n则与A有相同特征值.而B的第i个盖氏圆为,适当选取b1,b2,…,bn就有可能使B的某些盖氏圆的半径比A的相应盖氏圆的半径小1欲缩小Gi,可取bi最大2欲缩小除Gi外的圆,可取bi最小例2,估计的特征值范围解A的三个盖氏圆分别为G1={z|z–
0.9|
0.13};G2={z|z–
0.8|
0.14};G3={z|z–
0.4|
0.03}3G3,较好为了更好地估计另外两个特征值可取b3最小取b1=b2=1,b3=
0.1即,则所以G1={z|z–
0.9|
0.022};G2={z|z–
0.8|
0.023};G3={z|z–
0.4|
0.3}三个盖氏圆分离,故有1G1,2G2,3G
33.2幂法与反幂法幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量的一种迭代法
3.
2.1幂法设An有n个线性相关的特征向量v1,v2,…,vn,对应的特征值1,2,…,n,满足|1||2|…|n|
3.
2.
11.基本思想因为{v1,v2,…,vn}为Cn的一组基,所以任给x00,——线性表示所以有
3.2-2若a10,则因知,当k充分大时Akx01ka1v1=cv1属1的特征向量另一方面,记__xx=xi,其中|xi|=||x||,则当k充分大时,若a1=0,则因舍入误差的影响,会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0,迭代下去可求得1及对应特征向量的近似值
2.规范化在实际计算中,若|1|1则|1ka1|,若|1|1则|1ka1|0都将停机须采用“规范化”的方法,k=0,1,2,…
3.2-4定理
3.2-1任给初始向量有,
3.2-5证明而注若的特征值不满足条件
3.
2.1,幂法收敛性的分析较复杂,但若1=2=…=r且|1||r+1|…|n|则定理结论仍成立此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于1的不同特征向量
3.算法求__xax的流程,设数组xn数向量x的n个分量数组x=[n]k=1fori=2toni++若|x[i]||x[k]|Tk=i__x=x[k]幂法流程输入数组x0epsAx1=x0y=x1/__xax1x0=Ay|__xax1–__xax0|eps输出y__xax0例1,用幂法求的最大模特征值及对应特征向量见P312functiony=__xaxk=1;n=lengthx;fori=2:nifabsxiabsxkk=i;end;end;y=xk;A=[246;3915;41636];x0=[1;1;1];y=x0/__xax0x1=A*ywhileabs__xax1-__xax
00.001x0=x1;y=x0/__xax0x1=A*yend;y__xax
13.
2.2加速方法幂法的迭代公式当k时,__xxk1,其中|1||2|…|n|注幂法的收敛速度取决于比值|2|/|1|,考虑收敛加速
1.特征值的Aitken加速法1思想由定理
3.
2.1的证明知
3.
2.6解之得
3.
2.7使用1k+2作为1的近似值的算法称为Aitken加速法2Aitken加速法设{xk}线性收敛到x*,即存在c,|c|1,满足xk+1–x*=c–kxk–x*,其中令则算法计算流程图输入x0计算__xx0,y0=x0/__xx0计算x1=Ay0,__xx1,y1=x1/__xx1x2=Ay1,1=0计算__xx2y2=x2/__xx20=__xx2-[__xx2-__xx1]^2/[__xx2-2__xx1+__xx0]x0=x1,x1=x2|1-0|eps输出0例2用幂法求方阵A的最大模特征值,并用Aitkem加速法解见(P___)x0=[1;1;1];y0=x0/__xax0x1=A*y0;y1=x1/__xax1x2=A*y1;y2=x2/__xax2l0=__xax2-__xax2-__xax1^2/__xax2-2*__xax1+__xax0whileabsl1-l
00.01x0=x1;x1=x2;l1=l0;x2=A*y2__xk=__xax2y2=x2/__xkl0=__xax2-__xax2-__xax1^2/__xax2-2*__xax1+__xax0end;
2.原点平移法思想由矩阵论知,若为A的特征值则–a为A–aI的特征值,且特征向量相同若1–a为A–aI的最大模特征值,且(k–a是A–aI的次最大模特征值),则对A–aI计算1–a及对应的特征向量比对计算收敛得快,此即为原点平移法计算1–a及特征向量的迭代公式特征向量,__xxk1–a,a+__xxk1注a的选取较为困难例3设,,求最大模特征值及特征向量解(P315)幂法A=[-310;1-3-3;0-34];x0=[0;0;1];k=1;y=x0/__xax0x1=A*ywhileabs__xax1-__xax
00.001x0=x1;y=x0/__xax0k=k+1x1=A*yend;y__xax1原点平移法A=[-310;1-3-3;0-34];x0=[0;0;1];k=1;y=x0/__xax0x1=A+4*eye3*ywhileabs__xax1-__xax
00.001x0=x1;y=x0/__xax0k=k+1x1=A+4*eye3*yend;y__xax1-
43.对称矩阵的Rayleigh商加速法定义设A对称,x0,则称为关于的Rayleigh商思想A对称特征值1,2,…,n均为实数,且存在特征向量v1,v2,…,vn为标准正交基设,a10,则当k充分大时,M与k无关注;此比Aitken加速中的
3.2-6更快公式称为Rayleigh商加速法其中注有了Rxk,Rxk+1,Rxk+2,的值,可再用Aitken加速法得到的一个更好的近似值因为所以例4设,用Rayleigh商加速法求的最大模特征值及特征向量,并与幂法相比较解(P317)幂法A=[621;231;111];x0=[1;1;1];k=1;y=x0/__xax0x1=A*ywhileabs__xax1-__xax
00.001x0=x1;y=x0/__xax0x1=A*yk=k+1end;y__xax1Rayleigh商加速法A=[621;231;111];x0=[1;1;1];k=1;r=0;y=x0/__xax0x1=A*ywhileabsr1-r
0.001x0=x1;r1=r;y=x0/__xax0x1=A*yr=y*x1/y*yk=k+1end;y__xax1r
3.
2.3反幂法——用代替作幂法,即反幂法
1.求最小模特征值及相应的特征向量若可逆,|1||2|…|n|为其特征值,则为A-1的最大模特征值迭代公式xk+1=A–1xk,k=0,1,2,…,但A–1不易求,通常可解方程组Axk+1=xk来求xk+1即有
3.
2.12当k时有注为解
3.2-12中的方程组对作LR分解(带行交模)PA=LR则有
2.求任一特征值及相应特征向量——反幂法结合原点平移法思想若已知为j的近似值,则的特征值是而显然非常大(最大)比值很小迭代公式当k时有注1若有分LR解则迭代公式
3.2-162在
3.2-16中直接取z1=1,…,1T作初值开始迭代称为半次迭代法例5设的一个特征值的的近似值,用带原点平移的反幂法求及相应的特征向量见[P320]for__tlong;A=[-121;2-41;11-6];x0=[1;1;1];B=A+
6.42*eye3;C=luB;R=triuC0;L=eye3+trilC-1;y=x0/__xax0;z=
[111];x1=invR*zwhileabs__xax1-__xax
00.001x0=x1;y=x0/__xax0z=invL*yx1=invR*zend;-
6.42+1/__xax1预备知识矩阵论
1.矩阵QR分解定理设可逆,则存在正交阵Q与上三角阵R使A=QR注方法1使用史密斯正交变换2使用Householder变换(反)3使Givens变换
2.矩阵Schur分解定理设,则存在正交阵Q使——实Schur型其中至多2阶若1阶,其元素即A的特征值若2阶其特征值为A的一对共轭复特征值注想加快迭代速度通常先将A化为上Hessenberg阵
3.正交相似于一个n阶上Hessenberg矩阵()证明见(P125)§
3.3QR方法QR方法即使用QR分解构造迭代序列,是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛使用的方法之一
3.
3.1QR方法的计算公式思想从A1=A出发用正交相似变换得序列{Ak}使当k时,Ak本质收敛到块上三角阵方法设A1=Q1R1(QR分解),令A2=R1Q1,设A2=Q2R2,令A3=R2Q2,即k=1,2,…
3.3-1{Ak}的性质
①Ak~A Ak+1=RkQk=Qk-1AkQk=Rk=Qk-1Ak=…=Q1…Qk-1AQ1…Qk记Gk=Q1…Qk——正交,故有Ak~A,且有A1Gk=GkAk+1
②记Hk=Rk…R1,则Ak=GkHk——QR分解GkHk=Q1…QkRk…R1=Gk-1QkRkHk-1=Gk-1AkHk-1=A1Gk-1Hk-1=…=A1k=Ak注为求得A的特征值,只须{Ak}能趋于块上三角阵定义
①矩阵列{Ak},当k时,若其对角元均收敛,且严格下三角部分元素收敛到0,则称{Ak}本质收敛到上三角阵
②矩阵列{Ak},当k时,若其对角子块收敛到1阶或2阶的方阵,其下部收敛到0,则称{Ak}本质收敛到块上三角阵定理
3.3-1设A的特征值满足条件|1||2|…|n|0,vi为i对应的特征向量,i=1,2,…,n记X=v1,v2,…,vn,若有直接三角分解X-1=LU(杜利特尔分解),则
3.3-1序列{Ak}本质收敛于上三角阵,其主对角元素均为的特征值例1用QR方法求的A特征值,其中见(P322)注若A不满足定理条件,{Ak}不一定本质收敛于上三角矩阵
3.
3.2上Hessenberg矩阵的QR方法及带原点平移的QR方法在使用QR方法之前,先A将作正交相似变换化为上Hessenberg矩阵H,然后对H作QR迭代,可大量节省运算量
①Givens变换记s=sin,c=cos,则为旋转变换——正交阵__到n维称为Givens矩阵或Givens变换(旋转变换)易知Ji,k,为正交阵
②对上Hessenberg矩阵用Givens变换作QR分解令hi+1i*=sihii+cihi+1i=0,即选择i使右边第i+1行第i列元素为0,而H的第i行与第i+1行零元素位置上左乘Ji,i+1,i后仍为0,其他行则不变(可以证明)这样i=1,2,…,n-1共n-1次左乘J后H变为上三角阵R即U定理=R,其中UT=Jn-1,n,n-1…J1,2,1正交,且为下Hessenberg阵,U为上Hessenberg阵H=URQR分解
③记H1=H,设H1=U1R1令H2=R1U1上三角,上Hessenberg阵,则H2为上Hessenberg阵此变换约需4n2次乘除和加减运算一般的有得上Hessenberg阵列{Hk}注对n阶上H阵施行几次迭代后,主对角线下的次对角线上会出现小元素近似为0,将上H阵分块,分别使用QR算法这样可节省计算时间且便于并行处理
④带原点平移的QR方法若在上述QR迭代中产生得Hk都不可约(即不能将Hk分块)则可仿照幂法中的原点平移法取平移量对H1–I作QR分解H1–I=Q1R1,令H2=R1Q1+I,即k=1,2,…则有Hk~H1~A若{i}为A的特征值|1–||2–|…|n–|,则Hk的第j个次对角元收敛速度取决于若接近于n收敛将会很快袅袁蒁蒃蚇艿蒀蚆袃膅葿螈螆肁蒈蒈羁羇蒇薀螄芆蒆蚂罿膂薆螅螂肈薅蒄羈羄膁薇螁袀膀蝿羆芈膀蒈衿膄腿薁肄肀膈蚃袇羆膇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈肇芄蚀袄羃芄葿蚇罿芃薂羂芈节蚄螅膄芁螆羀肀芀蒆螃羆荿薈罿袁莈蚁螁膀莈莀羇膆莇薃螀肂莆蚅肅羈莅螇袈芇莄蒇蚁膃莃蕿袆聿蒂蚁虿羅蒂莁袅袁蒁蒃蚇艿蒀蚆袃膅葿螈螆肁蒈蒈羁羇蒇薀螄芆蒆蚂罿膂薆螅螂肈薅蒄羈羄膁薇螁袀膀蝿羆芈膀蒈衿膄腿薁肄肀膈蚃袇羆膇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈肇芄蚀袄羃芄葿蚇罿芃薂羂芈节蚄螅膄芁螆羀肀芀蒆螃羆荿薈罿袁莈蚁螁膀莈莀羇膆莇薃螀肂莆蚅肅羈莅螇袈芇莄蒇蚁膃莃蕿袆聿蒂蚁虿羅蒂莁袅袁蒁蒃蚇艿蒀蚆袃膅葿螈螆肁蒈蒈羁羇蒇薀螄芆蒆蚂罿膂薆螅螂肈薅蒄羈羄膁薇螁袀膀蝿羆芈膀蒈衿膄腿薁肄肀膈蚃袇羆膇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈肇芄蚀袄羃芄葿蚇罿芃薂羂芈节蚄螅膄芁螆羀肀芀蒆螃羆荿薈罿袁莈蚁螁膀莈莀羇膆莇薃螀肂莆蚅肅羈莅螇袈芇莄蒇蚁膃莃蕿袆聿蒂蚁虿羅蒂莁袅袁蒁蒃蚇艿蒀蚆袃膅葿螈螆肁蒈蒈羁羇蒇薀螄芆蒆蚂罿膂薆螅螂肈薅蒄羈羄膁G1G2G3G4aiii。