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补充1初等子框架定义
1.1子框架F=WR是框架,WW,R=R|W框架F=WR称为由W生成的F的子框架任给xyW,都有xRy当且仅当xRy为了表示R和R之间的__,可以将WR记为WR,对xyW,可以将xRy记为xRy一般的子框架和原框架没有什么__,我们考虑一种特殊的子框架如果从xW且xRy能够得到yW,则称W对R封闭定义
1.2初等子框架F=WR是框架,WW,如果W对R封闭,则称子框架WR是F的初等子框架定理
1.3F=WR是框架,F=WR是F的初等子框架任给F上的赋值V,存在F上的赋值V,使得任给xW,任给公式,都有Vx=Vx证任给F上的赋值V,取V如下任给命题变项p,Vpx=Vpx如果xW1否则归纳证明任给xW,任给公式,都有Vx=Vx1是命题变项,按定义Vx=Vx2=,由归纳假设Vx=Vx,所以Vx=1当且仅当Vx=1当且仅当Vx=0当且仅当Vx=0当且仅当Vx=1当且仅当Vx=1因此,Vx=Vx3=,由归纳假设Vx=VxVx=Vx,所以Vx=1当且仅当Vx=1当且仅当Vx=1且Vx=1当且仅当Vx=1且Vx=1当且仅当Vx=1当且仅当Vx=1因此,Vx=Vx4=□,由归纳假设任给yW,都有Vy=Vy因为W对R封闭,所以任给xW,都有yW且xRy当且仅当yW且xRy所以Vx=1当且仅当V□x=1当且仅当y如果yW且xRy则Vy=1当且仅当y如果yW且xRy则Vy=1当且仅当y如果yW且xRy则Vy=1当且仅当V□x=1当且仅当Vx=1因此,Vx=Vx■定理
1.4F=WR是F=WR的初等子框架任给公式,如果任给F|=,则F|=证任给F上的赋值V,任给xW,由定理
1.3得存在F上的赋值V,使得Vx=Vx,由F|=得Vx=1,所以Vx=1,因此F|=■定理
1.5F=WR是框架,F=WR是F的初等子框架任给F上的赋值V,存在F上的赋值V,使得任给xW,任给公式,都有Vx=Vx证任给F上的赋值V,取V如下任给命题变项p,Vpx=Vpx归纳证明同定理
1.3■F=WR是框架,={Fi=WiRi|iI}是F的初等子框架类(即任给iI,Fi都是F的初等子框架)如果W=∪{Wi|iI},则称是F的完备的初等子框架类定理
1.6F=WR是框架,={Fi=WiRi|iI}是F的完备的初等子框架类,则F等价(即任给公式,都有F|=当且仅当|=)证证明如果F|=,则|=任给Fi,Fi都是F的初等子框架,由定理
1.4得Fi|=,因此|=证明如果|=,则F|=任给F上的赋值V,任给xW,由W=∪{Wi|iI}得存在iI,使得xWi,由定理
1.5得存在Wi上的赋值Vi,使得Vix=Vx,由|=得Fi|=,所以Vix=1,由Vix=Vx得Vx=1,因此F|=■什么样的子框架类可以成为一个框架的完备的初等子框架类?定义
1.7相容={Fi=WiRi|iI}是框架类,称为相容的,如果满足以下条件1任给ijI,任给xyWiWj,都有xRiy当且仅当xRjy2任给xWiWj,任给yWj,如果xRjy,则yWiWj定理
1.8={Fi=WiRi|iI}是相容的框架类,令W=∪{Wi|iI},R=∪{Ri|iI},构造框架F=WR,则是完备的初等子框架类证证明任给iI,Fi是F的初等子框架
1.证明WiRi是WR的子框架,即证明R|Wi=Ri,也就是证明任给xyWi,都有xRy当且仅当xRiy如果xRiy,由R的定义得xRy如果xRy,由R的定义得存在jI,使得xRjy由xRjy得xyWj,所以xWiWj,yWj,由相容条件2得yWiWj,由相容条件1得xRiy当且仅当xRjy,因此xRiy
2.证明WiRi是WR的初等子框架,即证明Wi对R是封闭的任给xWi,yW,如果xRy,则存在jI,使得xRjy由xRjy得xyWj,所以xWiWj,yWj,由相容条件2得yWiWj,因此yWi完备性显然■定理
1.8中的框架称为相容的框架类的并框架记为F由定理
1.6和定理
1.8得定理
1.9是相容的框架类,则存在框架F,使得和F等价■={Fi=WiRi|iI}是框架类,如果{Wi|iI}是不交的,则称的不交的框架类定理
1.10是不交的框架类,则存在框架F,使得和F等价证不交的框架类是相容的框架类■定义
1.11同构F=WR和F=WR是两个框架1f是W到W的双射,如果f保持关系不变(即xRy当且仅当fxRfy),则称f是F到F的同构映射2如果存在F到F的同构映射,则称F和F同构,记为F≌F定理
1.12同构是等价关系,即1WR≌WR2如果WR≌WR,则WR≌WR3如果WR≌WR,WR≌WR,则WR≌WR证1恒等映射iW是WR到WR的同构映射2如果f是WR到WR的同构映射,则f1是WR到WR的同构映射3如果f是WR到WR的同构映射,g是WR到WR的同构映射,则g○f是WR到WR的同构映射■定理
1.13F=WR和F=WR是两个框架,如果F同构F,则F等价F证取f是WR到WR,证明F|=,则F|=任给F上赋值V,取F上赋值V如下Vpx=1当且仅当Vpfx=1,归纳证明任给公式,都有Vx=Vfx1是命题变项,由V的定义得Vx=Vfx2=,由归纳假设得Vx=Vfx,所以Vx=1当且仅当Vx=1当且仅当Vx=0当且仅当Vfx=0当且仅当Vfx=1当且仅当Vfx=1因此,Vx=Vfx3=,由归纳假设Vx=VfxVx=Vfx,所以Vx=1当且仅当Vx=1当且仅当Vx=1且Vx=1当且仅当Vfx=1且Vfx=1当且仅当Vfx=1当且仅当Vfx=1因此,Vx=Vx4=□,由归纳假设任给yW,都有Vy=Vy,所以Vx=1当且仅当V□x=1当且仅当y如果yW且xRy则Vy=1当且仅当y如果yW且xRy则Vfy=1当且仅当y如果fyW且fxRfy则Vfy=1当且仅当u如果uW且fxRu则Vu=1当且仅当V□fx=1当且仅当Vx=1因此,Vx=Vx由F|=得Vx=1,所以Vx=1,因此F|=从F同构F得F同构F,类似可证F|=,则F|=■定理
1.14F=WR是框架,令Wa={xa|xW},xaRaya当且仅当xRy,构造框架Fa=WaRa,则F和Fa同构证取W到Wa的双射f W到Wafx=xa,则xRy当且仅当xaRaya当且仅当fxRfy,因此f是F到Fa的同构映射■定理
1.15是框架类,存在不交的框架类,使得等价证设={Fi=WiRi|iI},取={Fii=WiiRii|iI},任给iI,Fi同构Fii,所以Fi等价Fii,因此等价显然是不交的框架类■由定理
1.10和定理
1.15得定理
1.16是框架类,存在框架F,使得等价F■定义
1.17是一个关于框架的性质如果存在公式,使得F|=当且仅当F有性质,则称是模态可定义的定义
1.18是一个关于框架的性质满足以下条件任给相容的框架类,如果任给F,F都有性质,则的并框架F也有性质就称对于并框架保持定理
1.19是一个关于框架的性质,如果是模态可定义的,则对于并框架保持证取公式,使得F|=当且仅当F有性质任给相容的框架类,如果任给F,F都有性质,则F|=,所以|=,由定理
1.8得F|=,所以F有性质因此,对于并框架保持■定理
1.20全通性不是模态可定义的证取ab,取F1={a}{aa},F2={b}{bb},它们都有全通性框架类={F1F2}是相容的,并框架F={ab}{aabb},没有全通性因此全通性对于并框架不保持,所以全通性不是模态可定义的■定理
1.21良序性不是模态可定义的证Z是整数,任给aZ,令Za={x|ax},取Fa=Za,则Fa有良序性,取={Fa=Za|aZ},则是相容的,但的并框架F=Z没有良序性因此良序性对于并框架不保持,所以良序性不是模态可定义的■习题
1.1给出定理
1.5的详细证明
1.2给出定理
1.9和定理
1.16的详细证明
1.3证明可比较性不是模态可定义的15。