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(1)培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力
(2)學習應用問題的解題方法
(3)奠定下一階段的數學基礎
(4)培養欣賞數學的態度及能力其中,國民小學階段的目標為
(5)在第一階段(一至三年級)能掌握數、量、形的概念
(6)在第二階段(四至五年級)能熟練非負整數的四則與混合計算,培養流暢的數字感
(7)在小學畢業前,能熟練小數與分數的四則計算;能利用常用數量關係,解決日常生活的問題;能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式;能報讀簡單統計圖形並理解其概念國民中學階段的目標則為
(8)能理解坐標的表示,並熟練代數的運算及數的四則運算
(9)能理解三角形及圓的基本幾何性質,並學習簡單的幾何推理
(10)能理解統計、機率的意義,並認識各種簡易統計方法第二節數學能力結構分析國外許多數學教育研究者與數學家針對其國內的數學教育目標,提出不同的數學能力結構Krutetskii1976從數學思考的基本特質中,提出九項數學能力的要素
一、形成問題的能力
二、一般化的能力
三、以數字與文字符號運算的能力
四、邏輯推理的能力
五、簡捷思考的能力
六、逆向思考的能力
七、彈性思考的能力
八、數學記憶的能力
九、空間概念的能力歐洲方面,丹麥數學家Niss2003認為精熟數學就是擁有數學能力,而數學能力是指能瞭解、判斷、實作,及能在各種不同數學情境與脈絡的內外使用數學由Niss主持的一項研究計畫「能力與數學學習」,目的是為丹麥數學教育的__創造一個平台,研究結果將數學能力結構分成兩群解題與工具的觀點,包括
一、數學思維
1.能提問有數學意義的問題,並能辨識何種答案為數學答案
2.對於給定的概念,能清楚掌握其適用範疇
3.透過抽象化與類化擴展數學概念的範圍
4.辨識各類數學敘述(條件、定義、定理、假設、臆測、數量值的敘述、案例)
二、擬題與解題
1.確認、提出及詳細說明不同類型的數學問題純數的或應數的;開放的或封閉的
2.能解自己或別人提問的不同類型數學問題
3.如果合適,能以不同方法解題
三、數學建模
1.分析既有數學模式的性質與屬性,並評估該模式適用的範疇及其效度
2.轉化或解讀既有數學模式在現實問題中的意義
3.在給定情境中建立數學模型1結構場域2數學化3在模型裡工作,包括解決模型所產生的問題4模型內外的有效性5分析和批判模型6對模型及其結果進行溝通7監控整個建模過程
四、數學推理
1.能理解別人論證的條理,並能評估該論證是否有效
2.知道什麼是數學證明,並能區分數學證明與直觀的不同
3.能從論證的條理中找到基本的想法
4.能將直觀論證轉化成有效的證明
五、數學表徵
1.能解讀、詮釋及辨識數學物件、現象、情境的各類表徵
2.瞭解相同數學物件不同表徵間的關係,並掌握不同表徵的優勢與限制
3.可以在表徵之間進行選擇與轉化
六、符號化與形式化
1.解讀與詮釋符號的形式數學語言,並瞭解他們與日常語言的關係
2.瞭解數學語言的語意及語法
3.日常語言與數學正式/符號語言間的轉換
4.處理和操弄包含符號與公式的敘述與表示式
七、數學溝通
1.瞭解別人以書寫、視覺及口語所傳達的數學資訊
2.能使用精確的數學語言表達自己的意思口語的、視覺的或書寫的
八、工具的使用
1.知道已存的數學活動工具或輔具的性質,並清楚其功能與限制
2.能反思地使用這些工具或輔具Niss認為分析個體所擁有的數學能力需考慮三個面向
1.覆蓋的程度個體精熟這個能力的範圍
2.行動的半徑個體能活化這個能力的脈絡與情境的範圍
3.技術層次個體能活化這個能力時如何在概念上及技術上精進其實體與工具Niss把每項能力看做是由這三個面向所組成的立方體,能力所代表的體積就是三面向之積若其中一個面向的測度為0,則能力亦為0相同的能力可能是無限多種不同面向的組合數學是探究規律的一門學問,透過數學的模式可以描述許多自然與社會的現象,所以數學成為一種語言;同時運用數學也可以解決各種生活上與科學上的問題,此時數學也是一種解決問題的工具所以,功能上顯示有兩種數學能力,一為提問問題與解決問題的能力群,另一為語言與工具的能力群美國方面有NAEP(NationalAsses__entofEducationalProgress)數學科架構用以發展1990年、1992年、1996年、2000年、2003年所進行的數學科評量於1996年,為了反應近來的課程重點及目標,此架構曾做更新並與1990年、1992年的評量持續的做連結此架構主要分為三個部分,描述如下
1、數學內容(__the__ticscontent)分為五個領域,如下(NAEP,2003)
1.數概念、性質與計算(numbersensepropertiesandoperations;)
2.測量(measurement)
3.幾何與空間(geometryandspatialsense)
4.資料分析、統計與機率(data____ysisstatisticsandprobability)
5.代數與函數(algebraandfunctions)
2、將數學能力(__the__ticalabilitieshttp://n__s.ed.gov/nationsreportcard/__the__tics/abilities.asp)分為三種類型,如下(NAEP,2003)
1.概念的了解(con__ptualunderstanding)
(1)能辨認、歸類、產生概念的例子及非例子
(2)能使用相關的模式、圖表、操作方法,及改變概念的表現方式
(3)辨認和應用原理原則
(4)能知道及運用事實及定義
(5)能比較、對照及整合相關的概念及原理原則,以擴展原有的概念及原理原則
(6)能辨認、解釋及應用用來表示概念的符號及術語
(7)能詮釋在數學情境下相關概念的假設和關係
2.程序性知識(pro__duralknowledge)
(1)正確的選擇和應用程序
(2)使用具體的模式或象徵性的方法證明程序的正確性
(3)擴展或修正程序以處理問題情境中原有的因素
3.問題解決(problemsolving)
(1)能以確認及規劃解決問題
(2)決定資料的充分性及一致性
(3)能使用策略、資料、模式及相關的數學
(4)產生、擴展或修正程序
(5)在新的情境中能推理
(6)判斷結果的合理性及正確性
3、數學力(__the__ticalpowerhttp://n__s.ed.gov/nationsreportcard/__the__tics/power.asp)分為三種類型,如下(NAEP,2003)
1.推理(reasoning)
2.溝通(communication)
3.連結(connections)NAEP(NationalAsses__entofEducationalProgress)預計在西元2005年所進行的數學科評量計畫中,將架構做了部分修改,如下
1、數學內容領域ContentAreas
1.數的性質和運算(NumberPropertiesandOperations)
2.測量(Measurement)
3.幾何(Geometry)
4.資料分析和機率(Data____ysisandProbability)
5.代數(Algebra)
2、試題的數學複雜度(__the__ticalComplexityofItems)在1996和2000年的數學科評量架構中包含了三個部分數學內容、數學能力、數學力,此架構意圖使評量活動在數學內容部分有適當的平衡,同時也評估了解和做數學的方法但是「數學能力」這個部分對於學生解決個別試題方法的推論,專家在某種程度上難以同意因此2005年的評量架構保留了原有的優點,並滿足原有缺失之處其目的依舊是確認NAEP在內容部分以及了解和做數學的方法上能滿足平衡的需求此外,主要的改變在於設立一新的向度,此向度是根據試題的特性而非學生的能力試題的數學複雜度可以回答「此試題問學生什麼?」每一個複雜度等級都包含了解數學和做數學的方法,如推理、表現程序、了解概念或解題每個等級是有次序性的,因此較低等級的試題要求學生表現簡單的程序、理解基本的概念,或是解決簡單的問題最高等級的試題會要求學生推理、溝通sophisticated概念、表現複雜的程序,或是解決非例行性的問題.NCTM19__在PrinciplesandStandardsforSchool__the__tics”的CurriculumEvaluation”中指出數學的學習應強調
一、解題
1.能利用解題探究及瞭解數學內容
2.能從日常生活及數學情境中形成問題
3.發展及應用策略解決不同的問題
4.能驗證及詮釋原本問題的結果
5.能將解答與策略一般化到新的情境
6.從有意義地使用數學中獲得信心
二、溝通
1.能使用口語、書寫、具體、圖像、圖表及代數方法模式化情境
2.能指出與數學想法相關的物理材料、圖像與圖表
3.能反思及闡明數學想法與情境
4.能指出日常語言與數學語言、符號的相關
5.瞭解表徵、討論、和讀寫數學是學習和使用數學不可缺少的一部分
三、推理與證明
1.能察覺並應用歸納及演繹推理
2.能使用模式、已知事實、性質及關係解釋自己的思考
3.能解釋答案及解答過程
4.能使用樣式和關係分析數學情境
5.能創造並評估數學臆測與數學推論
四、連結
1.能連結概念與程序性知識
2.能使用圖表、數值、代數和口語的數學模式或表徵,探究問題及描述結果
3.能指出不同概念或程序的表徵之間的關係
4.能察覺不同數學主題之間的關係
5.能利用數學思考與模式解決其他課程領域或日常生活中的問題
6.能重視數學在文化與社會中的角色近年美國國家研究院(NationalResearchCouncil2001)的研究報告指出,學生的數學能力就如同五股相互交織的繩索,五種能力必須同時地、統整地發展,方能成就其功能這五股數學能力包括
一、概念的理解理解數學概念、運算及關係
二、流暢的運算能力彈性地、準確地、有效地及適當地執行程序技巧
三、選擇策略的能力能形成、表徵及解決數學問題
四、適當的推理能力邏輯思維、反思、解釋及辯證的能力
五、具生產力的數學性向習慣性的傾向視數學是有知覺的及有價值的這五股能力在數學能力的發展中是同等重要的,且其間的關係並不是__的,而是相互依賴的,它們表徵了一個複雜全體的不同面向,形成數學能力的定義首先,有能力的學生應能瞭解和應用重要的概念,他們也能從容地計算,形成問題和解決問題,解釋他們的推理過程最後,他們能對自己的能力有信心,並視數學為有知覺的及有價值的學科,如此才能使這樣的數學知識具有生產力國際教育成就評鑑協會(TheInternationalAssociationfortheEvaluationofEducationalAchievementIEA)成立至今作過多次大規模的跨國調查研究與數學有關的研究有1970年舉行第一次國際數學成就調查(FIMS),有19個國家參加;十年後,於1980年又舉行第二次國際數學成就調查(SIMS),共有24個國家參與;自1990年起推動「第三次國際數學與科學教育成就研究」(ThirdInternational__the__ticsandScien__StudyTIMSS)共計有41個國家參與,預定2003將有TIMSS的後續研究TIMSS
(2003)將數學能力分為
一、事實及程序的理解記憶、辨識、計算、工具的使用
二、概念的使用知道、分類、表示法、設計題目、區別
三、解決日常問題選擇策略、形成策略、闡明運用知識、檢驗結果
四、推理假設、推測、預策;分析;評價;創造;連結;整合;解決非例行性問題;證明___於民國87年公佈的九年一貫課程認為國民教育階段的課程設計應以學生為主體,以生活經驗為重心,培養現代國民所需的十種基本能力,而基本能力與數學領域的主要關係如下
一、了解自我與發展潛能了解自己在數量或形上的能力及思考型態的傾向;挑戰並增加自我的數學能力
二、欣賞、表現與創新以數學眼光欣賞各領域中的規律;領會數學本身的美;以數學有組織、有效地表現想法
三、生涯規劃與終身學習具有終身學習所需的數學基本知識;養成凡事都能嘗試用數學的觀點或方法來切入的習慣
四、表達、溝通與__結合一般語言與數學語言說明情境及問題;從數學的觀點推測及說明解答的屬性及合理性;與他人__思考歷程與成果
五、尊重、關懷與團隊合作互相幫助解決問題;尊重同儕解決數學問題的多元想法;關懷同儕的數學學習
六、文化學習與國際了解連結數學發展與人類文化活動間的互動;與其他領域語言、社會、自然、藝能、電腦、邏輯、環境連結
七、規劃、組織與實踐組織數學材料;以數學觀念組織材料;以數學語言與數學思維作系統規劃
八、運用科技與資訊將各領域與數學相關的資料資訊化;用電腦處理數學中潛在無窮類形的問題
九、主動探索與研究形成問題、蒐集、觀察、實驗、分類、歸納、類比、分析、轉化、臆測、推論、推理、監控、確認、反駁、特殊化、一般化
十、__思考與解決問題進行數學式思維;以數、形、量的概念與方法探討並解決問題另外,九年一貫課程
(2003)也於綜合基本理念中及課程目標中所提及四種數學能力
一、演算能力所謂能熟練數學的運算或計算,係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下,所進行的純熟操作這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力,才是演算能力
二、抽象能力抽象化能力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其他數學語言、清楚傳達量化、邏輯關係
三、推論能力發展邏輯思考,用來分析證據、提出支持或否定假設的論點啟發學生自行在不同數學概念之間做連結,並連結數學與其他學習領域
四、溝通能力溝通包括理解與表達兩種能力,所以,數學溝通一方面要能了解別人以書寫、圖形,或口語中所傳遞的數學資訊,另一方面,也要能以書寫、圖形,或口語的形式,運用精確的數學語言表達自己的意思實質上,九年一貫課程並未針對數學領域中,學生所應具備的數學能力作一明確定義比較各國數學能力結構與九年一貫課程後,如下表一本研究採用較符合本國九年一貫課程數學領域的範疇及較架構完整的NAEP之數學能力作為本研究之數學能力架構表一數學能力結構分析Krutetskii1976Niss2003NAEP
(2003)NCTM19__NRC
(2001)TIMSS
(2003)九年一貫
(2003)數學能力結構分析形成問題的能力數學思維概念的理解概念的理解事實及程序的理解演算能力一般化的能力擬題與解題程序性的知識流暢的運算能力概念的使用抽象能力以數字與文字符號運算的能力數學建模問題解決解題選擇策略的能力解決日常問題邏輯推理的能力數學推理推理與證明適當的推理能力推理推論能力簡捷思考的能力數學表徵溝通具生產力的數學性向溝通能力逆向思考的能力符號化與形式化連結彈性思考的能力數學溝通數學記憶的能力工具的使用空間概念的能力出試題作為定錨試題的能力指標四年級五年級數與量*N-2-03能熟練整數四則混合運算,並解決生活中的問題4-n-03能在具體情境中,解決兩步驟問題,並學習併式的記法(包括連乘、連除、乘除混合)4-n-04能作整數四則混合計算(兩步驟)5-n-01能在具體情境中,解決三步驟問題5-n-02能熟練整數四則混合計算說明在具體情境中解決多步驟問題,由四年級的二步驟問題擴充至五年級的三步驟,並學會併式四年級初步學習四則混合計算時併式的約定,並以兩步驟問題為主;五年級為四則混合運算的總結細目,必須熟練性質且數量範圍亦須逐步加大*N-2-06能理解分數之「整數相除」的意涵4-n-06能在平分情境中,理解分數之「整數相除」的意涵5-n-06能在測量情境中,理解分數之「整數相除」的意涵說明皆為理解分數之「整數相除」的意涵,但除法有兩種情境,四年級先處理較簡單之平分情境(等分除),五年級再處理測量的情境(包含除)*N-2-10能認識多位小數,理解其比較,及用直式處理加、減與整數倍的計算,並解決生活中的問題4-n-09能認識
二、三位小數與百分位、千分位的位名,並作比較4-n-11能用直式處理
二、三位小數加、減與整數倍的計算,並解決生活中的問題5-n-08能認識多位小數,並作比較與加、減的計算,以及解決生活中的問題說明◎皆包含認識小數的的位名、比較及加減、整數倍的計算四年級時認識至三位小數;五年級則認識小數的位數可以和大數一樣,一再的細分下去幾何*S-2-02能理解垂直與平行的意義4-s-06能理解平面上直角、垂直與平行的意義5-s-08能認識面的平行與垂直,並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係說明◎在理解垂直平行的意義上,四年級就平面上的而言,並為其下定義,將平行總結為「兩線(段)同時垂直於某線(段)」;五年級則只需具體觀察正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係即可,不必說明面垂直與面平行的定義代數*A-2-03能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題4-a-02能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符號的算式,並能解釋式子與原問題情境的關係5-a-03能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題,並嘗試解題及驗算其解說明◎四年級時將算式填充(含括號)題,類化至未知數符號(以符號代表未知量)的算式;五年級始嘗試發展含未知數符號算式題的解題策略及驗算其解統計與機率*D-2-01能認識生活中資料的統計圖4-d-01能報讀生活中資料的統計圖,如長條圖、折線圖與圓形圖等5-d-02能報讀生活中有序資料的統計圖說明◎皆為報讀生活中資料的統計圖,差異僅在五年級的統計圖表資料為有序資料(有序資料係指因為數量、時間、位置等的有序變化而產生對應資料)研究流程及進度(2004/01/19版)日期研究進度1/20~2/
291.文獻探討各國施測團體的理論架構、九年一貫課程數學領域、數學能力、IRT及等化、順序理論(OT)
2.以NAEP之認知層次架構看九年一貫課程數學領域第二階段能力指標
3.建立內容領域(只做九年一貫N、S、A、D等四大主題確定每個能力指標兩題,連結此一主題不列入研究範圍)及認知技能領域的雙向細目表3/1~3/
212.確立哪些能力指標的試題為定錨試題?
3.確立哪些能力指標無法測量不出題?3/22~5/15建立
四、五年級施測的題本
1.一份試卷約40個試題(含定錨試題?題)(未確定)
2.每個年級各3份試卷
3.定錨試題呈現方式?5/15~5/22影印試卷並郵寄各施測學校6/1~6/30各校施測期間
1.施測學校中部地區學校
2.施測人數?人(未確定)6/30~7/15資料蒐集及輸入電腦7/16~9/30分析資料
1.敘述統計
2.刪除不良試題
3.以無參數形和參數形IRT估計試題參數及能力參數
4.測驗的平行等化
5.以OT分析能力指標的順序性,做為適性測驗的依據袄芆莇螆袃羆薂蚂袂肈莅薈羁膀薁蒄羁芃莃螂羀羂膆螈罿膅莂蚄羈芇芅薀羇羇蒀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蚁肅芃芁薇肄羃蒇蒃肃肅艿袁肂芈蒅螇肁莀莈蚃肀肀薃蕿蚇膂莆蒅蚆芄薂螄蚅羄莄蚀螄肆薀薆螃腿莃蒂螂莁膅袀螂肁蒁螆螁膃芄蚂螀芅葿薈蝿羅节蒄袈肇蒈螃袇腿芀虿袆节蒆薅袆肁艿薁袅膄薄蒇袄芆莇螆袃羆薂蚂袂肈莅薈羁膀薁蒄羁芃莃螂羀羂膆螈罿膅莂蚄羈芇芅薀羇羇蒀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蚁肅芃芁薇肄羃蒇蒃肃肅艿袁肂芈蒅螇肁莀莈蚃肀肀薃蕿蚇膂莆蒅蚆芄薂螄蚅羄莄蚀螄肆薀薆螃腿莃蒂螂莁膅袀螂肁蒁螆螁膃芄蚂螀芅葿薈蝿羅节蒄袈肇蒈螃袇腿芀虿袆节蒆薅袆肁艿薁袅膄薄蒇袄芆莇螆袃羆薂蚂袂肈莅薈羁膀薁蒄羁芃莃螂羀羂膆螈罿膅莂蚄羈芇芅薀羇羇蒀蒆羆聿芃螅羅膁蒈蚁肅芃芁薇肄羃蒇蒃肃肅艿袁肂芈蒅螇肁莀莈蚃肀肀薃蕿蚇膂莆蒅蚆芄薂螄蚅羄莄蚀螄肆薀薆螃腿莃蒂螂莁膅袀螂肁蒁螆螁膃芄蚂螀芅葿薈蝿羅节蒄袈肇蒈螃袇腿芀虿袆节蒆薅袆肁艿薁袅膄薄蒇袄芆莇螆袃羆薂蚂袂肈莅薈羁膀薁蒄羁芃莃螂羀羂膆螈罿膅莂蚄羈芇芅薀羇羇蒀。