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1.几何主要包含哪些内容?答:学生的认识规律与人类数学发展的规律呈现极度的相似性,学生对于几何学的学习也是从经验走向抽象、从简单走向复杂、从单一目标走向复合目标同时,初中生是在小学数学学习的基础上进一步学习几何学,而小学数学已经涉及直观几何、实验几何和初步的推理几何,涉及坐标几何初步,和直观层面的运动几何(即变换几何)因而,无论从数学科学发展的视角,还是学生身心发展的视角,初中数学中的几何内容必须立足学生思维发展水平、反映现代数学进展和数学发展的历史,同时,体现现代社会对于学生数学素养的基本要求《全日制义务教育数学课程标准》规定,初中数学中的几何与图形内容主要涉及直观几何、演绎几何、度量几何、运动几何(即变换几何)、坐标几何五个领域的几何学内容
2.包含哪些类别?初中数学课程内容的主体之一就是图形与几何(也称之为空间与图形),俗称几何__以来,我国初中数学中的几何内容,以综合几何为主体,其核心内容是演绎几何,即以欧几里德《原本》为主要内容、按照公理体系的方式呈现有关内容进入21世纪以来,我国初中数学中的几何内容,以经验几何为起点,以演绎几何为终点,涉及到直观几何、实验几何、度量几何、变换几何、演绎几何等几何分支领域在初等几何中,变换主要包括全等变换,相似变换,反演变换
二、论述题
3.学教学中,几何课程的设计有哪些基本特点?其核心课程教学目标是怎样的?1新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为以“立体—平面—立体”为主要线索,强调与学生生活的__;适当地拓宽活动领域,包括图形的认识,图形的变换,图形与位置等方面;以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式,强调学生的直观体验(几何课与实际活动课有天然的__)学习的方法(即“操作”+“推理”);注重发展的空间观念,发展对图形的审美能力;强调几何真理的发现和几何论证并举,主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何,而不是以往习惯的单纯几何计算初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段,七年级仍是直观几何、实验几何,但包含一点点说理,而九年级已经是综合几何、推理几何,虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同在义务教育数学课程标准下,“图形与几何”主要内容有空间和平面基本图形的认识,图形的性质、分类和度量;图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影;平面图形基本性质的证明;运用坐标描述图形的位置和运动在“图形与几何”的核心课程教学在于帮助学生建立空间观念,注重培养学生的几何直观与推理能力其中,空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言描述画出图形等几何直观主要是指利用图形描述和分析问题借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果几何直观不仅在“图形与几何”的学习中,而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推测某些结果演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)出发,按照规定的法则证明(包括逻辑和运算)结论在解决问题的过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论;演绎推理用于证明结论的正确性值得一提的是,我国《数学课程标准》下的几何,如果以世界各国的几何为参照系,仅就关于推理证明的要求这一点而言,在这个年龄段我们是“最高”的从国际几何课程__的发展趋势http://edu
6.teacher.com.cn/tzk025a/kcjj/ch2/se1m.htm\l_ftn1#_ftn1http://edu
6.teacher.com.cn/tzk025a/kcjj/ch2/se1m.htm\l_ftn2#_ftn2看,以直观几何、实验几何、论证几何分段设计中小学几何课程,已经成为国际发展的普遍趋势,只不过各国有所侧重而已,但都没有取消对几何推理的学习2在“图形与几何”的教学中,应帮助学生建立空间观念,注重培养学生的几何直观与推理能力空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言描述画出图形等几何直观主要是指利用图形描述和分析问题借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果几何直观不仅在“图形与几何”的学习中,而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推测某些结果演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)出发,按照规定的法则证明(包括逻辑和运算)结论在解决问题的过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论;演绎推理用于证明结论的正确性基于此,《数学课程标准》把认识或把握空间与图形作为主旋律,以图形的认识、图形与变换、图形与位置(坐标)、图形与证明四条线索展开空间与图形的内容也就是说,《数学课程标准》把过去《数学教学大纲》中“演绎证明”这一条主线变为四条线索,或者说,由一条“通道”变为四条“通道”表现在教学要求上,几何证明由“全局性”的要求下降为“局部性”的要求;几何证明的数量大大减少了,几何证明的繁难程度大大减弱了
三、案例分析题
4.评价欧几里得以及欧几里得几何学的贡献?1欧几里得提出以下公设和公理作为论证的基础.公设1.由任意一点到任意一点可作直线;2.一条有限直线可以不断的延长;3.以任意点为心,任意长为半径可以画圆;4.凡直角皆相等;5.同平面内一直线和两条直线相交,若某侧的两个角之和小于二直角,则这二直线任意延长后在这一侧相交公理1.等于同量的量,彼此相等;2.等量加等量,共和仍相等,3.等量减等量,其差仍相等;4.彼此能重合的物体是相等的;5.整体大于部分.我们知道,这些公设和公理在第一卷前34个命题中都分别被应用了,也可以说第一卷的命题基本上已经奠定了全书论证的基础2首先,指明了几何学的研究对象,即点、线、面等在第一卷开端给出了23个定义3接着,介绍关于角、平角、直角和垂线、钝角、锐角、圆、圆周和中心、直径、半圆、直线形、三角形、四边形、多边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、正方形、菱形、梯形等15个定义,为节省篇幅,这里就不一一列出了最后一条是关于平行线的定义3其次,欧几里得把少数不加数学证明而直接采用的命题作为公设和公理4最后,欧几里得从上述公设和公理出发,运用演绎方法,把当时所知的几何学知识全部推导出来《几何原来》中得出的各种几何命题,即通常所谓的定理,共有467条之多 在历史上,公设和公理是有区别的一般认为,公理是算术与几何所共有的,公设则仅为几何学所有;公理本身是十分自明的,公设也是不加证明而承认的,但没有公理那样自明现代公理论者对公设和公理已不加区分,概用公理一词来替代 特别值得注意的是《原本》第一卷有48个命题叙述了三角形全等的条件、垂线、外角定理、三角形的边角不等关系等,但是从命题27开始叙述平行理论,而从命题29起才用到第五公设
5.评价直观几何、实验几何与综合几何的区别?与综合几何相比,直观几何、实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色1.不同的课程目标和价值取向从课程设计的角度看,直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式,而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式不难发现,两种课程设计模式,一种重视空间观念、几何直觉基础之上的逻辑论证,另一种则主要__逻辑论证和几何公理体系;一种重视“直观感知,操作确认,思辨论证,度量计算”的全过程,而另一种则重视对几何问题的思辨论证和计算;一种主张“通过几何的学习发展发现几何真理的能力和确认几何真理的能力”,而另一种则是仅仅__确认几何真理的能力;一种是过程为本、兼顾结果的课程设计风格,而另一种则是学科中心的课程设计模式2.不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系以论证为主的综合几何课程设计,立足于行为主义心理学,主张师生之间建立“以教为主、以教促学”的师生关系相比之下,直观几何、实验几何课程设计观认为,有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识、经验基础之上,依赖学生的动手实践、自主探索和交流合作,教师在教学中的角色应该定位在学习的__者、引导者和合__、参与者,注意学生在学习中所处的不同文化环境、教室文化、社区文化、家庭文化及自身思维模式的共性与差异,师生之间、学生之间应该努力构建一种和谐、互动的新型关系3.不同的课程设计风格在课程论中,课程有学科型课程与经验型课程之分除了学科型课程和经验型课程外,大多数课程介于两者之间直观几何、实验几何属于典型的经验型课程,而综合几何属于典型的学科型课程学科型课程依托的是作为一门学科的科学体系学科型课程的教材通常由从定义出发的逻辑链条构建而成,一般要分科,而且结构清晰、文字简练、叙述清楚、要点鲜明,教师用起来比较顺手特别地,使用这样的教材比较容易实现教师在备课过程中预先设定的课堂教学目标,短短一节数学课总能按计划完成一个、两个,甚至多个具体任务另一方面,这种教材的面貌一般会比较抽象,题材离学生熟悉的生活比较远,留给学生思考与想象的空间不大,教师虽然好教,可能对学生有挑战性,但未必好学__以来我国中小学数学教材比较接近这种设计模式这种模式也经常成为人们衡量新课程、教材的参照系而经验型课程依托的是学生的经验经验型课程的教材通常是从具体的情景出发,这些情景有的是学生生活中熟知的真情实景,有的可能是学生喜欢的童话、传说、科幻故事中的现成题材,有的就是学生自己已有的数学知识积累从情景出发的教材通常把新的数学内容隐含在情景后面,把原本在学科型课程中的条理清晰的不同学科方向同时“和盘”托出这样的教材一般都题材丰富,读起来引人入胜由于教学的空间主要依赖于学生对情景问题的理解和分析,离不开学生自己的新发现,因而,灌输式的教学方法对此基本无效美国教育百科全书出版社1998年出版的《情景数学》教材就是彻头彻尾的经验型课程教材,这是一套为美国10-14岁(介于我国小学高年级和初中低年级之间)学生编写的教材,整套教材的标题系统没有一点数学的味道,都是诸如“上上下下”、“影子的故事”、“干和湿”等等,如果不深入进去,根本无法判断这些标题下面讲的是什么数学内容,只有看完了、读懂了,才为其中设计的精巧而折服——这套教材从头至尾,用一串串的问题组成,通过一个接一个提出问题,一步一步引导学生走入由代数、几何、统计构成的数学世界当前,我国实行的义务教育课程标准实验___大多介于学科型课程与经验型课程之间,只不过,有的更靠近后者,即比较“前卫”,而有的更靠近前者,“中规中矩”4.不同的教学要求在直观几何、实验几何课程实施过程中,学生的直观__和几何活动经验是学习的基本出发点和必不可少的载体,而且直观教学变得十分重要在这种课程设计时,有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题,有的是把丰富的情景问题沿几何的主线逐步镶嵌与展开按照___教育家乌申斯基的说法,“直观的教学不是以抽象的概念和词语为依据,而是以学生直接感知的具体形式为依据”几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学,培养和提高学生识图、作图能力是学好几何的必要环节因而,在直观几何、实验几何课程设计模式下,采用直观教学至关重要,可使学生一开始便进入到直观教学所创设的情境之中,耳濡目染,受到感染,教师若采用__直观,便可展现情景,给学生以鲜明生动的形象,学生的注意力很快被吸引到__所展示的情境中螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁袄肃蒄蝿袄膆芇蚅袃莈蒂蚁袂肈莅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈袈肄莁薄羈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芇薃肀罿蒃葿聿膂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螀肃薆薂螀芅荿薈蝿莇节袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁袄肃蒄蝿袄膆芇蚅袃莈蒂蚁袂肈莅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈袈肄莁薄羈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芇薃肀罿蒃葿聿膂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螀肃薆薂螀芅荿薈蝿莇节袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁袄肃蒄蝿袄膆芇蚅袃莈蒂蚁袂肈莅薇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈袈肄莁薄羈膇薇蒀羇艿莀螈羆罿膃螄羅膁蒈蚀羄芃芁薆羃羃蒆蒂羃肅艿螁羂膇蒅蚇肁芀芇薃肀罿蒃葿聿膂芆袈肈芄薁螄肇莆莄蚀肇肆薀薆蚃膈莂蒂蚂芁薈螀螁羀莁蚆螀肃薆薂螀芅荿薈蝿莇节袇螈肇蒇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁袄肃蒄蝿袄膆芇蚅袃莈蒂蚁袂肈莅薇袁膀薀蒃袀节莃。