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《第4章相似图形》单元检测题
一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)1.若两个相似三角形的面积比为49,那么它们的相似比是( )A.23B.49C.1681D.
12.252.一个三角形三条高的比是643,那么三条高所在的边的长度之比为( )A.643B.346C.234D.1233.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD DFFB=123,则S△ADE S四边形DFGE S四边形FBCG等于( )A.1936B.149C.1827D.18364.用放大镜看一个Rt△ABC,该三角形边长放大10倍后,下列结论正确的是( )A.∠B是原来的10倍B.周长是原来的10倍C.∠A是原来的10倍D.面积是原来的10倍5.(2000•山西)若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段,这两条线段的比是32,则梯形的上、下底分别是( )A.3,B.6,9C.12,18D.2,36.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现在要做一个和它相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种或四种以上7.(2000•金华)已知=k(a+b+c≠0),那么y=kx+k的图象一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(1999•西安)已知M是平行四边形ABCD的BC边的中点,DM与AC交于E,则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD面积之比为( )A.B.C.D.
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)9.已知两个三角形相似,且其对应中线之比为25,则它们周长的比是 _________ .10.(2000•海淀区)如图,△ABC中,MN∥BC,若∠C=68°,AM MB=12,则∠MNA= _________ 度,AN NC= _________ .11.若,则= _________ .12.已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且AD=2,AB=3,AE=
2.4,AC=
3.6,则S△ADE S四边形BCED= _________ .13.平行于△ABC的边BC的直线平分△ABC的面积,且把BC边上的高AD分为AG,GD两段,则AG GD的值是 _________ .14.如果两个相似三角形最短边长为45,而且周长和为36cm,那么这两个三角形的周长分别为 _________ .15.(2001•江西)如图,在△ABC中,AB>AC,过AC上一点D作直线DE,交AB于E,使△ADE和△ABC相似,这样的直线可作 _________ 条.16.(2002•重庆)如图,雨后初晴,一个学生在运动场上玩耍,在他前面2m远处有一块小积水,他看到了旗杆的倒影.若旗杆底端到积水处的距离为40m,该生的眼部高度为
1.5m,则旗杆的高度是 _________ m.
三、解答题(共6小题,满分52分)17.如图,E,F分别为矩形ABCD的边AD,BC的中点,若矩形ABCD∽矩形EABF,AB=1.求矩形ABCD的面积.18.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB上的一点,EF∥BC,并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似,若AD=4,BC=9,求AE EB.19.如图,已知点D在BC上,BD DC=21,点E在AD上,AE ED=23,BE的延长线交AC于点F,求BE EF的值.20.(2004•长沙)如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作∠APE=∠B,交DC于E.
(1)求证△ABP∽△PCE;
(2)求等腰梯形的腰AB的长;
(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE EC=53?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.21.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证BC2=2AC•CD.22.(2007•常德)如图,已知AB=AC,
(1)若CE=BD,求证GE=GD;
(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)《第4章相似图形》单元检测题参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)1.若两个相似三角形的面积比为49,那么它们的相似比是( )A.23B.49C.1681D.
12.25考点相似三角形的性质分析本题可根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.解答解∵两个相似三角形的面积比为49,∴它们的相似比是23.故本题选A.点评本题考查对相似三角形性质的理解,相似三角形的面积比等于相似比的平方.2.一个三角形三条高的比是643,那么三条高所在的边的长度之比为( )A.643B.346C.234D.123考点三角形的面积分析根据角形的面积公式,已知三条高的比是643,可求三条高所在的边的长度之比为234.解答解三条高的比是643,可以设高是6x,则另两高是4x,3x,设对应的三边分别是a,b,c,则三角形的面积=•6x•a=•4x•b=•3x•c,因而a bc=234,三条高所在的边的长度之比为234.故选C.点评本题解决的关键是利用了三角形的面积的表示法.3.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD DFFB=123,则S△ADE S四边形DFGE S四边形FBCG等于( )A.1936B.149C.1827D.1836考点相似三角形的判定与性质分析由于DE∥FG∥BC,那么△ADE∽△AFG∽△ABC,根据AD DFFB=123,可求出三个相似三角形的面积比.进而可求出△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积比.解答解∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC,∵AD DFFB=123,∴AD AFAB=136,∴S△ADE S△AFG S△ABC=1936,设△ADE的面积是a,则△AFG和△ABC的面积分别是9a,36a,则S四边形DFGE和S四边形FBCG分别是8a,27a,∴S△ADE S四边形DFGE S四边形FBCG等=1827.故本题选C.点评本题主要考查了相似三角形的性质相似三角形的面积比等于相似比的平方.求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键.4.用放大镜看一个Rt△ABC,该三角形边长放大10倍后,下列结论正确的是( )A.∠B是原来的10倍B.周长是原来的10倍C.∠A是原来的10倍D.面积是原来的10倍考点相似图形专题几何图形问题分析根据相似图形的定义,对选项一一分析,排除错误答案.解答解A、∠B是原来的10倍,放大镜放大后,角度不会变化,故错误;B、三角形边长放大10倍后,它的边长放大10倍,所以,周长是原来的10倍,故正确;C、∠A是原来的10倍,放大镜放大后,角度不会变化,故错误;D、三角形边长放大10倍后,面积是原来的100倍,故错误.故选B.点评本题考查的是相似形的识别,关键要联系实际,根据相似图形的定义得出.5.(2000•山西)若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段,这两条线段的比是32,则梯形的上、下底分别是( )A.3,B.6,9C.12,18D.2,3考点梯形中位线定理分析首先根据梯形的中位线定理,得到梯形的上、下底的和;再根据三角形的中位线定理得到梯形的上、下底的比,最后分别求得梯形的上、下底的长.解答解∵梯形的中位线长为15,∴梯形的上底与下底的和为30.又∵一条对角线把中位线分成两条线段比是32,∴根据三角形的中位线定理,得下底上底=32.∴梯形的上、下底分别是12,18.故选C.点评本题综合运用了梯形的中位线定理和三角形的中位线定理.6.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现在要做一个和它相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种或四种以上考点相似三角形的应用专题分类讨论分析根据相似三角形对应边成比例,列方程即可解答.解答解由相似三角形对应边成比例可知,只能将30cm长的作为一边,将50cm长的截成两段,设从50cm的钢筋上截下的两段分别长xcm,ycm,当30cm长的边对应20cm长的边时,,x=75(cm),x>50cm,不成立;当30cm长的边对应50cm长的边时,,x=12(cm),y=36(cm),x+y=48cm<50cm,成立;当30cm长的边对应60cm长的边时,,x=10(cm),y=25(cm),x+y=35cm<50cm,成立.故有两种截法.故选B.点评本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出等式,求解即可得出另一边的长度.7.(2000•金华)已知=k(a+b+c≠0),那么y=kx+k的图象一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点一次函数的性质;比例的性质专题常规题型分析利用比例的等比性质正确求得k的值,然后根据直线解析式中的k,b的值正确判断直线经过的象限.解答解当a+b+c≠0时,根据比例的等比性质,得k==2,则直线解析式是y=2x+2,根据k和b的符号,则图象一定经过
一、
二、三象限.故选D.点评此题注意能够利用比例的等比性质正确求得k的值,然后根据直线解析式中的斜率和截距即可正确判断直线经过的象限.8.(1999•西安)已知M是平行四边形ABCD的BC边的中点,DM与AC交于E,则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD面积之比为( )A.B.C.D.考点相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质分析根据相似三角形的相似比推出阴影部分面积.解答解设平行四边形的边AD=2a,AD边上的高为3b;过点E作EF⊥AD交AD于F,延长FE交BC于G∴平行四边形的面积是6ab∴FG=3b∵AD∥BC∴△AED∽△CEM∵M是BC边的中点,∴=2∴EF=2b,EG=b∴△CDE的面积=△ACD的面积﹣△AED的面积=•2a•3b﹣•2a•2b=ab∵△AEM的面积=△CDE的面积=ab∴阴影部分面积是2ab∴阴影部分面积与平行四边形ABCD面积之比为故选A.点评本题主要考查了相似三角形的性质,相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比.
二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)9.已知两个三角形相似,且其对应中线之比为25,则它们周长的比是 25 .考点相似三角形的性质分析利用相似三角形周长的比等于相似比可求.解答解∵两个三角形相似,且其对应中线之比为25,∴它们的相似比是25,∴它们周长的比是25.点评本题考查对相似三角形性质的理解.
(1)相似三角形周长的比等于相似比;
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方;
(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.10.(2000•海淀区)如图,△ABC中,MN∥BC,若∠C=68°,AM MB=12,则∠MNA= 68 度,AN NC= 12 .考点相似三角形的判定与性质分析由于MN∥BC,因此△AMN∽△ABC;根据相似三角形的对应角相等,对应边成比例;即可求出∠MNA的度数和AN、NC的比例关系.解答解∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC∴∠MNA=∠C=68°,∴AN NC=AM MB=12.点评本题主要考查了相似三角形的判定和性质.11.若,则= 8 .考点比例的性质专题计算题分析根据题意,用未知数k分别表示出a、b和c,代入原式中直接求值即可.解答解根据题意,设a=2k,则b=3k,c=4k,∴==8.点评已知几个量的比值时,常用的解法是设一个未知数,把题目中的几个量用所设的未知数表示出来,实现消元.12.已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且AD=2,AB=3,AE=
2.4,AC=
3.6,则S△ADE S四边形BCED= 45 .考点相似三角形的判定与性质分析先判断出△ADE∽△ABC,同时求出三角形的相似比,由于相似三角形的面积比等于相似比的平方,进而计算出面积比.解答解因为AD=2,AB=3,AE=
2.4,AC=
3.6所以=,==即=又∠A=∠A故△ADE∽△ABC由于相似三角形的面积比等于相似比的平方∴S△ADE S△ABC=49S△ADE S四边形BCED=4(9﹣4)=45.点评本题主要考查了相似三角形的性质,相似三角形面积的比等于相似比的平方.13.平行于△ABC的边BC的直线平分△ABC的面积,且把BC边上的高AD分为AG,GD两段,则AG GD的值是 .考点相似三角形的判定与性质分析根据相似三角形的性质,可求AG GD的值是+1.解答解∵平行于△ABC的边BC的直线平分△ABC的面积∴两三角形相似,且面积比为12∴它们的相似比为1∴它们对应高的比为1∴AG GD的值是1(﹣1)∴AG GD的值是+1.点评本题考查对相似三角形性质的理解.
(1)相似三角形周长的比等于相似比.
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.14.如果两个相似三角形最短边长为45,而且周长和为36cm,那么这两个三角形的周长分别为 16cm,20cm .考点相似三角形的性质分析根据最短边的比也是相似比,相似三角形的周长比等于相似比计算则可.解答解根据题意,两三角形的相似比是45,因为周长和是36cm,36÷(4+5)=4,所以两个三角形的周长分别是4×4=16(cm),5×4=20(cm).点评本题考查对相似三角形性质的理解
(1)相似三角形周长的比等于相似比;
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方;
(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.15.(2001•江西)如图,在△ABC中,AB>AC,过AC上一点D作直线DE,交AB于E,使△ADE和△ABC相似,这样的直线可作 2 条.考点相似三角形的判定分析根据已知及相似三角形的判定方法即可求得这样的直线的数量.解答解如图,
①作DE∥BC,则△ADE∽△ACB;
②作AE AC=AD AB,因为∠A=∠A,所以△ADE∽△ABC;所以这样的直线有两条.点评考查相似三角形的判定定理的理解及运用.16.(2002•重庆)如图,雨后初晴,一个学生在运动场上玩耍,在他前面2m远处有一块小积水,他看到了旗杆的倒影.若旗杆底端到积水处的距离为40m,该生的眼部高度为
1.5m,则旗杆的高度是 30 m.考点相似三角形的应用专题转化思想分析因为学生和旗杆平行,且光的入射角等于反射角,所以有一组相似三角形,利用对应边成比例即可解答.解答解∵CD⊥BD,AB⊥BD∴∠D=∠B=90°又∠COD=∠AOB∴△ABO∽△COD∴∴AB=30.点评本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求出旗杆的高度,体现了转化的思想.
三、解答题(共6小题,满分52分)17.如图,E,F分别为矩形ABCD的边AD,BC的中点,若矩形ABCD∽矩形EABF,AB=1.求矩形ABCD的面积.考点相似多边形的性质专题计算题分析要求矩形的面积只要求出BC的长就可以,可以依据相似多边形的对应边的比相等,可以求出.解答解由矩形ABCD∽矩形EABF可得,设AE=x,则AD=BC=2x,又AB=1,∴,∴BC=2x=2×=,∴S矩形ABCD=BC×AB=×1=.点评掌握相似多边形的对应边的比相等.18.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB上的一点,EF∥BC,并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似,若AD=4,BC=9,求AE EB.考点相似多边形的性质专题计算题分析梯形AEFD、EBCF相似,AE与EB是相似梯形的对应边,根据相似多边形的对应边相等,因而可以把求AE EB转化为求AD EF.解答解梯形AEFD∽梯形EBCF,∴,又∵AD=4,BC=9,∴EF2=AD•BC=4×9=36,∵EF>0,∴EF=6,∴.点评本题考查了相似多边形的对应边的比相等.19.如图,已知点D在BC上,BD DC=21,点E在AD上,AE ED=23,BE的延长线交AC于点F,求BE EF的值.考点相似三角形的判定与性质专题计算题分析已知把BD DC=21和AE ED=23,通过作平行线转移到BF上,然后找出BE EF的值.解答解作DH∥AC交BF于点H,连接EH,∴BH HF=BD DC=21=105,∴△DHE∽△AFE.∴EF EH=AE ED=23,∴BH HF=105.∴BE EF=(BH+HE)EF=132.点评本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定,关键的把它们的比转移到同一条线段上就容易了.20.(2004•长沙)如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作∠APE=∠B,交DC于E.
(1)求证△ABP∽△PCE;
(2)求等腰梯形的腰AB的长;
(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE EC=53?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.考点等腰梯形的性质;解分式方程;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质专题几何综合题分析
(1)欲证△ABP∽△PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C,根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP;由此得证;
(2)可过作AF⊥BC于F,由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半,在Rt△ABF中,根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值;
(3)在
(2)中求得了AB的长,即可求出DE EC=53时,DE、CE的值.设BP的长为x,进而可表示出PC的长,然后根据
(1)的相似三角形,可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式,由此可得出关于x的分式方程,若方程有解,则x的值即为BP的长.若方程无解,则说明不存在符合条件的P点.解答
(1)证明由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP;∵∠B=∠APE∴∠EPC=∠BAP∵∠B=∠C∴△ABP∽△PCE;
(2)解过A作AF⊥BC于F;∵等腰梯形ABCD中,AD=3cm,BC=7cm,∴BF=,Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2;∴AB=4cm;
(3)解存在这样的点P.理由是∵解之得EC=cm.设BP=x,则PC=7﹣x由△ABP∽△PCE可得=,∵AB=4,PC=7﹣x,∴=解之得x1=1,x2=6(舍去)经检验都符合题意,即BP=1cm或BP=6cm.点评此题主要考查了等腰梯形的性质,以及相似三角形的判定和性质.21.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,求证BC2=2AC•CD.(要求用三种方法解题)考点相似三角形的判定与性质专题证明题分析通过不同的添加辅助线的方法运用相似三角形的判定方法判定其相似,再根据相似三角形的对应边对应成比例,从而便可得到结论.解答证明如图一延长CA到E,CA=AE,则有∵AB=AC,∴AB=CE.∴△CBE是直角三角形.∴∠CBE是直角(一边上的中线等于这一边长的一半的三角形是直角三角形).∴△BCD∽△ECB.∴BC2=EC•CD=2AC•CD.如图二作AE⊥BC于E,则有△ACE∽△BCD.得.即CE•BC=CD•AC.从而得BC2=2AC•CD.如图三在DA上截取DE=DC,则有△BCE∽△ACB.得.从而BC2=2AC•CD.点评此题主要考查辅助线的添加及相似三角形的判定方法的运用.综合性比较强,对学生分析问题的能力要求比较高.22.(2007•常德)如图,已知AB=AC,
(1)若CE=BD,求证GE=GD;
(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)考点全等三角形的判定与性质专题证明题;探究型分析
(1)要证GE=GD,需证△GDF≌△GEC,由已知条件可根据AAS判定.
(2)若CE=m•BD(m为正数),那么GE=m•GD.解答证明
(1)过D作DF∥CE,交BC于F,则∠E=∠GDF.∵AB=AC,DF∥CE,∴∠DFB=∠ACB=∠ABC.∴DF=DB.又∠DGF=∠EGC,∴△GDF≌△GEC(AAS).∴GE=GD.
(2)GE=m•GD.点评本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本题的辅助线是解决题目的关键.。