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6.1Gram-Schmidt正交化过程
1.用Schmidt正交化方法将向量组标准正交化解设,那么 则
2.证明对于任意的可逆实矩阵,恒有上三角正线矩阵,使为正交矩阵证明可逆实矩阵是实的列满秩矩阵,故有本节的命题3知,有上三角正线矩阵,使的列向量组为标准正交向量组,所以为正交矩阵 §
6.2实对称矩阵的标准形(一
1.求正交矩阵,使为对角矩阵,其中为.解的特征多项式为 故的特征根为1,3,7下面求它们对应的一个特征向量解方程,可得它的一个解为;解方程,可得它的一个解为;解方程,可得它的一个解为把它们分别正交化得 令,则即为所求的正交矩阵 2.将上题中的矩阵化为规范形,并求出合同变换矩阵解于是的规范形为,合同变换矩阵
3.设是阶实对称矩阵,如果对任意维列向量都有,则 证明对任意的,有取,有,即;再取,有,而 于是有,而是对称矩阵,故,所以 4.设为三阶实对称矩阵,且满足,求的两个边准形解由知满足方程,故的极小多项式因为实对称,特征根均为实数,极小多项式在实数域上可分解到一次式,而是实数域上的质式,所以,即,于是的法式为 的特征根为,从而在正交变换下的标准形为的规范形为 ) §
6.3二次型,正定矩阵与恒定型
(一)
1.将下列二次型化成规范形,并求出所用的可逆线性变换 解 令,再令,则得规范型为, 而这里的就是所要求的可逆线性变换
2.若为正定矩阵,则亦为正定矩阵 证明正定,则有非奇异矩阵使得,那么 令,则非奇异,而,所以正定 3.若为半正定矩阵,则>1证明为半正定,故有正交矩阵使得 这里是的特征根,,于是 而不全为零,否则,因此>
14.若为半正定矩阵,为正定矩阵,则> 证明由于为正定矩阵,故存在非奇异矩阵,使得所以即.又因为,所以亦为半正定矩阵,由上题知>
1.而 >1故 > 5.若矩阵正定矩阵,则亦为正定矩阵证明若为正定矩阵,则其为实对称矩阵故所以 即为对称矩阵取非奇异矩阵则 为正定矩阵,显然其子块亦为正定矩阵 6.若矩阵为正定矩阵且,则<证明因为 所以 又因为为正定矩阵,所以都正定,从而亦正定,于是存在非奇异矩阵,使得,从而 由于,所以,故且为半正定矩阵,由上面的第4题知 >因此< 7.两个半正定矩阵之和仍为半正定矩阵证明设均为半正定矩阵,于是有矩阵使得从而 所以为半正定矩阵
8.如果都正定且,则亦正定 证明因,所以即为对称矩阵又因为都正定,所以存在非奇异矩阵使得于是.因为且非奇异,故正定,其特征根均大于零,而与有相同的特征多项式,从而有相同的,即均大于零的特征根,故正定9.如果和都是实对称的,且还是正定的,则有非奇异矩阵使得 其中是对角矩阵证明由于正定,于是有非奇异矩阵使得设对称矩阵的特征根是,则有正交矩阵使令,则 这时10.为何值时才能使二次型为正定的解二次型的矩阵为由于有一个二阶主子式< 故知无论为何值,二次型都不能是正定的11.设是分块矩阵其中为阶正定矩阵,为列满秩矩阵,证明有个正的特征根,个负的特征根证明令,则有因正定,故亦正定,从而有列满秩矩阵使得,由此得因显然仍为列满秩矩阵,于是也是正定矩阵,所以有非奇异矩阵使得令则 注意到非奇异及合同变换不变正、负惰性指标知的正惰性指标为,负惰性指标为,并且由同样的理由知对进行正交变换时二指标亦不变,所以知必有个正特征根,个负特征根 芈莇薇螃肀芃薇袆芆薁蚆羈聿蒇蚅肀芄莃蚄螀肇艿蚃羂芃芅蚂肄膅薄蚁螄莁蒀蚁袆膄莆蚀罿荿节蝿肁膂薁螈螁羅蒇螇袃膀莃螆肅羃荿螆螅芈芅螅袇肁薃螄羀芇葿螃肂肀莅袂螂芅芁袁袄肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈蒅羀膄芄蒄肃莀薂蒃螂膃蒈蒃袅莈莄薂羇膁芀薁聿羄虿薀衿腿薅蕿羁肂蒁薈肄芈莇薇螃肀芃薇袆芆薁蚆羈聿蒇蚅肀芄莃蚄螀肇艿蚃羂芃芅蚂肄膅薄蚁螄莁蒀蚁袆膄莆蚀罿荿节蝿肁膂薁螈螁羅蒇螇袃膀莃螆肅羃荿螆螅芈芅螅袇肁薃螄羀芇葿螃肂肀莅袂螂芅芁袁袄肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈蒅羀膄芄蒄肃莀薂蒃螂膃蒈蒃袅莈莄薂羇膁芀薁聿羄虿薀衿腿薅蕿羁肂蒁薈肄芈莇薇螃肀芃薇袆芆薁蚆羈聿蒇蚅肀芄莃蚄螀肇艿蚃羂芃芅蚂肄膅薄蚁螄莁蒀蚁袆膄莆蚀罿荿节蝿肁膂薁螈螁羅蒇螇袃膀莃螆肅羃荿螆螅芈芅螅袇肁薃螄羀芇葿螃肂肀莅袂螂芅芁袁袄肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈蒅羀膄芄蒄肃莀薂蒃螂膃蒈蒃袅莈莄薂羇膁芀薁聿羄虿薀衿腿薅蕿羁肂蒁薈肄芈莇薇螃肀芃薇袆芆薁蚆羈聿蒇蚅肀芄莃蚄螀肇艿蚃羂芃芅蚂肄膅薄蚁螄莁蒀蚁。