还剩10页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
二次函数知识点
一、二次函数概念1.二次函数的概念一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数这里需要强调和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数的结构特征⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式的性质a的绝对值越大,抛物线的开口越小
2.的性质上加下减
3.的性质左加右减
4.的性质
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤方法一⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下
2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成(或)⑵沿轴平移向左(右)平移个单位,变成(或)
四、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法五点绘图法利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式(,,为常数,);
2.顶点式(,,为常数,);
3.两根式(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).注意任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然.⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2.一次项系数在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.⑴在的前提下,当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;当时,,即抛物线的对称轴就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;当时,,即抛物线的对称轴就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.的符号的判定对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”总结
3.常数项⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是;关于轴对称后,得到的解析式是;
2.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是;关于轴对称后,得到的解析式是;
3.关于原点对称关于原点对称后,得到的解析式是;关于原点对称后,得到的解析式是;
4.关于顶点对称(即抛物线绕顶点旋转180°)关于顶点对称后,得到的解析式是;关于顶点对称后,得到的解析式是.
5.关于点对称关于点对称后,得到的解析式是根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数
①当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.
②当时,图象与轴只有一个交点;
③当时,图象与轴没有交点.当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
3.二次函数常用解题方法总结⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系图像参考
十一、函数的应用二次函数应用二次函数考查重点与常见题型考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如已知以为自变量的二次函数的图像经过原点,则的值是综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如如图,如果函数的图像在第
一、
二、三象限内,那么函数的图像大致是()yyyy110xo-1x0x0-1xABCD考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如已知一条抛物线经过03,46两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如已知抛物线(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-
1、3,与y轴交点的纵坐标是-
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1
(1)二次函数的图像如图1,则点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论
①a、b同号;
②当x=1和x=3时,函数值相等;
③4a+b=0;
④当y=-2时,x的值只能取
0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个12【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.例
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点-2,O、x1,0,且1x12,与y轴的正半轴的交点在点O,2的下方.下列结论
①ab0;
②2a+cO;
③4a+cO;
④2a-b+1O,其中正确结论的个数为A1个B.2个C.3个D.4个答案D会用待定系数法求二次函数解析式例
3.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为A2,-3B.2,1C2,3D.3,2答案C例
4、(2006年烟台市)如图(单位m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.
(1)写出y与x的关系式;
(2)当x=2,
3.5时,y分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、对称轴.例
5、已知抛物线y=x2+x-.
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.【点评】本题
(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第
(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.例
6.已知二次函数y=ax2-b+1x-3a的图象经过点P4,10,交x轴于,两点,交y轴负半轴于C点,且满足3AO=OB.1求二次函数的解析式;2在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO∠ACO若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.1解如图∵抛物线交x轴于点Ax1,0,Bx2,O,则x1·x2=30,又∵x1x2,∴x2O,x1O,∵30A=OB,∴x2=-3x1.∴x1·x2=-3x12=-3.∴x12=
1.x10,∴x1=-1.∴.x2=3.∴点A-1,O,P4,10代入解析式得解得a=2b=3∴.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.2存在点M使∠MC0∠ACO.2解点A关于y轴的对称点A’1,O,∴直线A,C解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为0,-6,5,24.∴符合题意的x的范围为-1x0或Ox5.当点M的横坐标满足-1xO或Ox5时,∠MCO∠ACO.例
7、“已知函数的图象经过点A(c,-2),求证这个二次函数图象的对称轴是x=3”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整点评对于第
(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式对于第
(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第
(1)小题中的解析式就可以了而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等[解答]
(1)根据的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3,得解得所以所求二次函数解析式为图象如图所示
(2)在解析式中令y=0,得,解得所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是令x=3代入解析式,得所以抛物线的顶点坐标为所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等函数主要关注通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力.同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间.例2某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?【解析】
(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则解得k=-1,b=40,即一次函数表达式为y=-x+40.
(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点
(1)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;
(2)问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.例
3.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A.1.5mB.1.625m C.1.66mD.1.67m分析本题考查二次函数的应用答案B练习题:选择题(每小题3分,共45分)1.已知h关于t的函数关系式为,(g为正常数,t为时间),则函数图象为()(A)(B)(C)(D)2.函数y=kx+1与函数在同一坐标系中的大致图象是( ) (A) (B) (C) (D)3.下列各图是在同一直角坐标系内,二次函数与一次函数y=ax+c的大致图像,有且只有一个是正确的,正确的是()(A)(B)(C)(D)4.函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则下列选项中正确的是( )A.ab0,c0Bab0,c0C.ab0,c0D.ab0,c05.已知a,b,c均为正数,且k=,在下列四个点中,正比例函数的图像一定经过的点的坐标是()A.(l,)B.(l,2)C.(l,-)D.(1,-1)6.如图,在平行四边形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任一点,过P作EF∥AC,与平行四边形的两条边分别交于点E,F.设BP=x,EF=y,则能反映y与x之间关系的图象为……( )x第3题图yPDO7.如图,点P是反比例函数上的一点,PD⊥轴于点D,则△POD的面积为;8.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件可盈利40元.为了扩大销售量,增加盈利,采取了降价措施,经调查发现如果每件计划降价1元,那么商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元,则每件衬衫应降价__________;9.某学生在体育测试时推铅球,千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分,如果这名学生出手处为A(0,2),铅球路线最高处为B(6,5),则该学生将铅球推出的距离是________;10.如图,直线与双曲线在第一象限内的交点R,与x轴、y轴的交点分别为P、Q.过R作RM⊥x轴,M为垂足,若△OPQ与△PRM的面积相等,则k的值等于.二.综合题型
1、已知二次函数的图像经过A(0,1),B(2,-1)两点.
(1)求b和c的值;
(2)试判断点P(-1,2)是否在此函数图像上?2.某工厂设门市部专卖某产品,该产品每件成本40元,从开业一段时间的每天销售统计中,随机抽取一部分情况如下表所示假设当天定的售价是不变的,且每天销售情况均服从这种规律.
(1)观察这些统计数据,找出每天售出件数与每件售价(元)之间的函数关系,并写出该函数关系式.
(2)门市部原设有两名营业员,但当销售量较大时,在每天售出量超过168件时,则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行,设营业员每人每天工资为40元.求每件产品应定价多少元,才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额,其它开支不计)3.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.(Ⅰ)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=,试求m的值;(Ⅱ)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下X=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下X=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.x(元)152030…y(件)252010…每件销售价(元)506070758085…每天售出件数30024018015012090…。