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第19章全等三角形单元测试
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.如图,△ABC≌△DEB,AB=DE,∠E=∠ABC,则∠C的对应角为,BD的对应边为.
2.如图,AD=AE,∠1=∠2,BD=CE,则有△ABD≌△,理由是,△ABE≌△,理由是.(第1题)(第2题)(第4题)
3.已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC的面积为18平方厘米,则EF边上的高是cm.
4.如图,AD、A´D´分别是锐角△ABC和△A´B´C´中BC与B´C´边上的高,且AB=A´B´,AD=A´D´,若使△ABC≌△A´B´C´,请你补充条件(只需填写一个你认为适当的条件)
5.若两个图形全等,则其中一个图形可通过平移、或与另一个三角形完全重合.
6.如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE=___________度(第6题)(第7题)(第8题)7.已知如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为__________.8.如图,在△ABC中,∠B=90o,D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点,连结AD,若∠DAC∠DAB=25,则∠DAC=___________.9.等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90o,BD平分∠ABC交AC于点D,若AB+AD=8cm,则底边BC上的高为___________.10.锐角三角形ABC中,高AD和BE交于点H,且BH=AC,则∠ABC=__________度.(第9题)(第10题)(第13题)
二、选择题(每小题3分,共30分)11.已知在△ABC中,AB=AC,∠A=56°,则高BD与BC的夹角为()A.28°B.34°C.68°D.62°12.在△ABC中,AB=3,AC=4,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,则AD的长的取值范围为()A.1<AD<7B.2<AD<14C.
2.5<AD<
5.5D.5<AD<1113.如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于点E,且AB=6,则△DEB的周长为()A.4B.6C.8D.1014.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是A.(S.S.S.)B.(S.A.S.)C.(A.S.A.)D.(A.A.S.
15.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是()A.∠α=60º,∠α的补角∠β=120º,∠β∠αB.∠α=90º,∠α的补角∠β=900º,∠β=∠αC.∠α=100º,∠α的补角∠β=80º,∠β∠αD.两个角互为邻补角
16.△ABC与△A´B´C´中,条件
①AB=A´B´,
②BC=B´C´,
③AC=A´C´,
④∠A=∠A´,
⑤∠B=∠B´,
⑥∠C=∠C´,则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A´B´C´的是()A.
①②③ B.
①②⑤C.
①③⑤D.
②⑤⑥17.如图,在△ABC中,AB=AC,高BD,CE交于点O,AO交BC于点F,则图中共有全等三角形()A.7对B.6对C.5对D.4对18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,若△DEB的周长为10cm,则斜边AB的长为()A.8cmB.10cmC.12cmD.20cm19.如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,AB<BD,若△ABC不动,将△BDE绕点B旋转,则在旋转过程中,AE与CD的大小关系为()A.AE=CDB.AE>CDC.AE<CDD.无法确定20.已知∠P=80°,过不在∠P上一点Q作QM,QN分别垂直于∠P的两边,垂足为M,N,则∠Q的度数等于()A.10°B.80°C.100°D.80°或100°
三、解答题(每小题5分,共30分)
21.如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明.所添条件为,你得到的一对全等三角形是.(第21题)
22.如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况),并给予证明.
①AB=AC,
②DE=DF,
③BE=CF,已知EG∥AF,=,=,求证证明(第22题)
23.如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,下面有四个条件,请你在其中选择3个作为题设,余下的1个作为结论,写一个真命题,并加以证明.
①AB=DE,
②AC=DF,
③∠ABC=∠DEF,
④BE=CF(第23题)
24.如图,四边形ABCD中,点E在边CD上.连结AE、BF,给出下列五个关系式
①AD∥BC;
②DE=CE
③.∠1=∠2
④.∠3=∠
4.
⑤AD+BC=AB将其中的三个关系式作为假设,另外两个作为结论,构成一个命题.1用序号写出一个真命题,书写形式如如果……,那么……,并给出证明;2用序号再写出三个真命题(不要求证明);
(3)真命题不止以上四个,想一想就能够多写出几个真命题
25.已知,如图,D是△ABC的边AB上一点DF交AC于点EDE=FEAB∥FC.问线段AD、CF的长度关系如何?请予以证明.(第25题)
26.如图,已知ΔABC是等腰直角三角形,∠C=90°.
(1)操作并观察,如图,将三角板的45°角的顶点与点C重合,使这个角落在∠ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E、F两点,然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转,观察在点E、F的位置发生变化时,AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF?写出观察结果.
(2)探索AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形?如果能,试加以证明.
四、探究题(每题10分,共20分)
27.如图
①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题
(1)如图
②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图
③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
28.如图a,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE. 1线段AF和BE有怎样的大小关系请证明你的结论; 2将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,1中的结论还成立吗作出判断并说明理由; 3若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画山一个变换后的图形草图即可,1中的结论还成立吗作出判断不必说明理由;4根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现). 图a图b参考答案
一、
1.∠DBE,CA
2.△ACE,SAS,△ACD,ASA(或SAS)
3.
64.CD=C´D´(或AC=A´C´,或∠C=∠C´或∠CAD=∠C´A´D´)
5.平移,翻折
6.
907.
108.20º
9.
10.45
二、
11.A
12.D
13.B
14.A
15.C
16.C
17.A
18.B
19.A
20.D
三、
21.可选择等条件中的一个.可得到△ACE≌△ADE或△ACB≌△ADB等.
22.结合图形,已知条件以及所供选择的3个论断,认真分析它们之间的内在联系可选
①AB=AC,
②DE=DF,作为已知条件,
③BE=CF作为结论;推理过程为∵EG∥AF,∴∠GED=∠CFD,∠BGE=∠BCA,∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,∴∠B=∠BGE∴BE=EG,在△DEG和△DFC中,∠GED=∠CFD,DE=DF,∠EDG=∠FDC,∴△DEG≌△DFC,∴EG=CF,而EG=BE,∴BE=CF;若选
①AB=AC,
③BE=CF为条件,同样可以推得
②DE=DF,
23.结合图形,认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系由
④BE=CF还可推得BC=EF,根据三角形全等的判定方法,可选论断
①AB=DE,
②AC=DF,
④BE=CF为条件,根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到△ABC≌△DEF,进而推得论断
③∠ABC=∠DEF,同样可选
①AB=DE,
③∠ABC=∠DEF,
④BE=CF为条件,根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到△ABC≌△DEF,进而推得论断
②AC=DF.
24.
(1)如果
①②③,那么
④⑤证明如图,延长AE交BC的延长线于F因为AD∥BC所以∠1=∠F又因为∠AED=∠CEF,DE=EC所以△ADE≌△FCE,所以AD=CFAE=EF因为∠1=∠F∠1=∠2所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4所以AD+BC=CF+BC=BF=AB
(2)如果
①②④,那么
③⑤;如果
①③④,那么
②⑤;如果
①③⑤,那么
②④.3如果
①②⑤,那么
③④;如果
②④⑤,那么
①③;如果
③④⑤,那么
①②.
25.
(1)观察结果是当45°角的顶点与点C重合,并将这个角绕着点C在重合,并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时,AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
(2)AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形,证明如下在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE,使CG=AC,连结EG,FG,∴ΔACE≌ΔGCE,∴∠A=∠1,同理∠B=∠2,∵∠A+∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠EGF=90°,EF为斜边.
四、
27.
(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD
(2)答
(1)中的结论FE=FD仍然成立图
①图
②证法一如图1,在AC上截取AG=AE,连接FG∵∠1=∠2,AF=AF,AE=AG∴△AEF≌△AGF∴∠AFE=∠AFG,FG=FE∵∠B=60°且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线∴∠2+∠3=60°,∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°∴∠CFG=60°∵∠4=∠3,CF=CF,∴△CFG≌△CFD∴FG=FD∴FE=FD证法二如图2,过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H∵∠B=60°且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线∴∠2+∠3=60°∴∠GEF=60°+∠1FG=FH∵∠HDF=∠B+∠1∴∠GEF=∠HDF∴△EGF≌△DHF∴FE=FD
28.
(1)AF=BE. 证明在△AFC和△BEC中, ∵△ABC和△CEF是等边三角形,∴AC=BC,CF=CE,∠ACF=∠BCE=
60.∴△AFC≌△BEC.∴AF=BE. 2成立. 理由在△AFC和△BEC中,∵△ABC和△CEF是等边三角形, ∴AC=BC,CF=CE,∠ACB=∠FCE=60°.∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB. 即∠ACF=∠BCE.∴△AFC≌△BEC.∴AF=BE. 3此处图形不惟一,仅举几例. 如图,1中的结论仍成立. 4根据以上证明、说明、画图,归纳如下如图a,大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C,则以点C为旋转中心,任意旋转其中一个三角形,都有AF=BE. EDABC12BAEDCDABCB´D´A´C´CAFDCBENMAPOABDCEEFBD图
①图
②图
③图
⑤CFDBAE(第14题)-1-。