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1.用矩阵的直接三角分解法解方程组解设由矩阵的乘法可以求出,解下三角方程组可得再解上三角方程组可得
2.设有迭代格式其中,试证明该迭代格式收敛,并取,计算证明
(1)设为的特征值,则,即,故所以,从而迭代法收敛
(2)由计算可得
3.给定线性方程组问用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解是否收敛?解所给线性方程组的系数矩阵为
(1)雅可比迭代矩阵的特征方程为因为,故雅可比迭代法发散
(2)高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵的特征方程为因为,故高斯-赛德尔迭代法发散
4.给定方程,
(1)证明方程在[1,2]内有且仅有一个根;
(1)用迭代法求出方程的根,精确到5位有效数字;
(1)说明所用迭代法是收敛的证明
(1)因为所以由零点存在定理知方程在[1,2]内有一根又由,可得方程在[1,2]内只有一个根
(2)将方程改写为构造迭代格式,计算可得,所以
(3)记,则,当时,又,所以迭代格式对任意均收敛
5、给出下列函数表,求的牛顿插值多项式给余项1246741011解
(1)构造差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-340-4/35/661-3/53/5-7/6071-1/21/2-1/91/180
(2)由差商表可得4次牛顿插值多项式为
(3)插值余项为
6.利用显式欧拉公式求解初值问题,其中步长解。